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文檔簡介
1、向時,大拇指所指的方向規(guī)定為f y1乙X1Z1X1y1、y y2z2JX2 zx2 y2(注:1、二階行列式:M二=ad -cb ; 2、適合右手定則。)A1C1已知,a(2,1,0),bl(-1,2,1),試求(1): aK b; (2): b漢a.圖1-1平面法向量的求法及其應(yīng)用一、平面的法向量仁定義:如果a _,那么向量a叫做平面:-的法向量。平面:-的法向量共有兩大類(從方向上分),無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)平面的法向量n-(x,y,1)或44-14 Hn =(x,1,z),或n =(1,y,z),在平面:-內(nèi)任找兩個不共線的向量a,b。
2、由n工,得n a =0且n b =0,由此得到關(guān)于x, y的方程組,解此方程組即可得到n。方法二:任何一個 x, y,z的一次次方程的圖形是平面;反之,任何一個平面的方程是x, y,z的一次方程。Ax By Cz D = 0 (A,B,C不同時為0),稱為平面的一般方程。其法向量n =(A,B,C);若平面與3個坐標(biāo)軸的交點為 R(a,0,0),P2(0,b,0),R(0,0,c),如圖所示,則x y z平面方程為:1,稱此方程為平面的截距式方程,把它化為一般式即可求出它的法a b c向量。方法三(外積法):設(shè),.為空間中兩個不平行的非零向量,其外積 a b為一長度等于|a|b|s d ,(
3、0為.兩者交角,且0 二),而與皆垂直的向量。通常我們采取右手定則,也就是右手四指由.的方向轉(zhuǎn)為的方T TT T T Ta b 的方向,ab-ba。TT T(x1,y1,z1),b =(x2,y2,z2),則:a b 二xT TT TKey: (1) a (12,5) ;(2) b a =(-1,2,5)例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體 ABCD - AB6U 中,/T n廠4/a 8_1平面法向量的應(yīng)用n t t2-5ABT T 兀n AB-arccos 2In|AB|n AB 二 二:n, AB -一二arccos-2t t22In I |AB| 2求平面AEF的一個法向量n。key:
4、法向量n; AF AE二(1,2,2)m1aB所成的角為30m圖2-1圖 2-1-2圖 2-1-2:二T Tn,AB量,AB是平面:-的一條斜線Tn分別是平面:T(2)、求面面角:設(shè)向量m1、求空間角圖 2-1-1:二:的法向量,則二面角-丨-:的平面角為T、求線面角:如圖2-1,設(shè)n是平面的法向A三卅,則AB與平面sin j -| cos :04圖2-2圖2-32-2m n e 、- m, n *= arccos (圖 2-2);|m| |n|T T、m nv - :m, n - : - arccos(圖 2-3)|m| |n|兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角
5、。約定,在圖TT門T中,m的方向?qū)ζ矫?-而言向外,n的方向?qū)ζ矫妫憾韵騼?nèi);在圖2-3中,m的方向?qū)?平面而言向內(nèi),n的方向?qū)ζ矫妫憾韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積(簡稱“外 積”,滿足“右手定則”)使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外,則這兩個半平面的法 向量的夾角即為二面角 -:的平面角。2、求空間距離(1 )、異面直線之間距離:方法指導(dǎo):如圖2-4,作直線a、b的方向向量a、b , 求a、b的法向量n,即此異面直線 a、b的公垂線的方向向量;d = 1AB *n 1,其中 n _ a, n _ b, A a, B b(2)、點到平面的距離:方法指導(dǎo):如圖2-5,若點B為平面a外一
6、點,點A為平面a內(nèi)任一點,平面的法向量為n,則點p到T T平面a的距離公式為d = 1 An|(3 )、直線與平面間的距離:方法指導(dǎo):如圖2-6,直線a與平面之間的距離:AB n,其中A - ,B a。n是平面:-的法向量(4 )、平面與平面間的距離:方法指導(dǎo):如圖2-7兩平行平面:之間的距離:nT TId二1AB *n 1,其中A ,B :。n是平面:、1的法向量。|n|3、證明圖2-8.T(1 )、證明線面垂直:在圖 2-8中,m向是平面a的法向量,直線a的方向向量,證明平面的法向量與直線所在向量共線(T(2)、證明線面平行:在圖 2-9中,m向是平面G的法向量,Ta是直線的方向向量,證明
7、平面的法向量與直線所在向量垂直(T T m a = 0)。TT(3)、證明面面垂直:在圖 2-10中,m是平面的法向量,n是平面T T的法向量,證明兩平面的法向量垂直(mn =0)圖 2-11a口圖 2-10圖2-9在直線a、b上各取一點 A、B,作向量 AB ; 求向量 AB在n上的射影d,則異面直線a、b間的距離為 (4)、證明面面平行:在圖2-11中,m向是平面ot的法向量,n是平面-的法向量,證明兩平面的法向量共線(m -,n )。三、高考真題新解1、( 2005全國1, 18)(本大題滿分12分)已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB / DC ,1./DAB =9
8、0 , PA _底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1 ,2MM是PB的中點.(I)證明:面 PAD丄面PCD ;(H)求AC與PB所成的角;(川)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小. 解:以A點為原點,以分別以AD , AB , 如圖所示.圖 3-1 CAP為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz(I). AP = (0,0,1),AD =(1,0,0),設(shè)平面PAD的法向量為m=AP AD=(0,-1,0)又 DC =(0,1,0),DP =(-1,0,1),設(shè)平面T T TPCD的法向量為n = DC DP= (1,0,1)T TT T.m*n=0, . m_n,
9、即平面 PAD-平面PCD。TT(II ). AC =(1,1,0),PBT TACPBT f=(0,2,-1),: AC, PB = arccos |AC|PB|V10-arccos5CA =(-1,-1,0),設(shè)平在AMC的法向量為AB圖T1(III ) CM =(-1,0,2),丿 1 1m =CM CA=( ,1).2 21 1又 CB =(-1,1,0),設(shè)平面PCD的法向量為n -CM CB =(,廠1).2 2T Tm*n/ 2、:m, n *=arccosarccos(- ).|m|n|322-面AMC與面BMC所成二面角的大小為 arccos().或蔥-arccos-332、
10、(2006年云南省第一次統(tǒng)測 19題)(本題滿分12分)如圖3-2,在長方體 ABCB ABCD中,已知 AB= AA = a, BC= . 2 a, M是 AD的中點。(I )求證:AD/平面ABC(II)求證:平面 AMCL平面ABD;(皿)求點A到平面AMC的距離。D-xyz如圖所示.的法向量為解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(I). BC =(- . 2a,0,0) , BA(0a,a),設(shè)平面 A1BCn -BC BA(0. 2a2, ,2a2)f/T TT T又 AD2a,0,0),. n AD =0, AD _ n ,即 AD/平面
11、A1BC.(II ). MC =( ; a,0,a) , MA。2 a a 0),設(shè)平面 AMC2的法向量為:m = MC MA -(a2,12a2, 22 2a2),又=(- 2a,-a,a) , BA1= (O,-a,a),設(shè)平面ABD的法向量為: 、 2 2n 二 BD1 BA1 二(0, 2a , . 2a ),T TT T.m*n =0,. m _ n ,即平面 A1MC平面 AiBDi.(III ).設(shè)點A到平面AiMC的距離為d,T T T m =MC MAi四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”= (a: a )是平面A1MC的法向量,2 2T T 又 MA =(上2a,0,0), . a點到平面A1MC的距離為:d Jm*MA|2T2|m|(1)、建立空間直角坐
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