習題課 振動與波動

1、大學物理習題課大學物理習題課 振動與波動振動與波動 習題課內(nèi)容習題課內(nèi)容 振動振動 波動波動 內(nèi)容總結內(nèi)容總結 習題解答習題解答 內(nèi)容總結內(nèi)容總結 習題解答習題解答 振動內(nèi)容總結振動內(nèi)容總結 簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動定義與判據(jù) 簡諧運動的描述簡諧運動的描述 簡諧運動的合成簡諧運動的合成 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動定義與判據(jù) 定義定義：物體運動時，離開平衡位置的位移按：物體運動時，離開平衡位置的位移按 余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運 動。動。 判據(jù)判據(jù) 動力學判據(jù)動力學判據(jù): 受到與對平衡位置的位移成正比受到與對

2、平衡位置的位移成正比 而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉化，總能量能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉化，總能量 不變。不變。 運動學判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦運動學判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦 形式。形式。 簡諧運動的描述簡諧運動的描述 數(shù)學形式數(shù)學形式 x= A cos ( t+ ) 基本特征量基本特征量 角頻率角頻率 振幅振幅A 初相初相 能量能量 動力學方程動力學方程 222 2 1 2 1 )( 2 1 kAkx dt dx mEEE pk 0 2 0 2 2 x dt xd k m T m k 2, 0 0 2 2 0 2 0 arct

3、an, x vv xA 簡諧運動的合成簡諧運動的合成 同方向的兩個同頻率振動同方向的兩個同頻率振動 合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差 同方向不同頻率振動同方向不同頻率振動 頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差 相互垂直的兩個同頻率振動相互垂直的兩個同頻率振動 圓、橢圓或線段圓、橢圓或線段 相互垂直的兩個不同頻率的振動相互垂直的兩個不同頻率的振動 利薩如圖利薩如圖 簡諧運動的動力學方程簡諧運動的動力學方程 0 2 2 2 x dt xd 阻尼運動阻尼運動 受到與運動速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做受到與運動速度

4、相反的阻力作用，不斷克服阻力做 功，運動能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。功，運動能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。 三種情況三種情況 欠阻尼欠阻尼 過阻尼過阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd 受迫振動受迫振動 在驅動力作用下的振動。在驅動力作用下的振動。 穩(wěn)態(tài)的振動頻率等于驅動力的頻率；穩(wěn)態(tài)的振動頻率等于驅動力的頻率； 驅動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生驅動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生 共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)可以最大限度地從外共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)可以最大限度地從外 界吸收能量。界吸收能量。 重點內(nèi)容重點內(nèi)容 重點概念重點概念相位相位 初相、相差、同相

5、、反相初相、相差、同相、反相 重點公式重點公式x = A cos ( t+ ) 振幅、相位、頻率、初相振幅、相位、頻率、初相 重點方法重點方法旋轉矢量法旋轉矢量法 簡諧運動與圓周運動的聯(lián)系簡諧運動與圓周運動的聯(lián)系 波波 動內(nèi)容總結動內(nèi)容總結 行波行波 簡諧波簡諧波 波動的微分方程與波的傳播速度波動的微分方程與波的傳播速度 波的能量波的能量 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加與駐波波的疊加與駐波 多普勒效應多普勒效應 行波行波 波函數(shù)的一般形式：波函數(shù)的一般形式： 波形曲線：某一時刻的波形曲線：某一時刻的yx曲線。曲線。 波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速u的平移。的平移。 (

6、) x yf t u x y 簡諧波簡諧波 波函數(shù)形式：波函數(shù)形式： 注意簡諧波形曲線與簡諧振動曲線的區(qū)別。注意簡諧波形曲線與簡諧振動曲線的區(qū)別。 coscos2 2 xtx yAtA uT T u T 各量關系： 周期 波速 波動的微分方程與波的傳播速度波動的微分方程與波的傳播速度 波動方程：波動方程： 22 222 1yy xut 棒中波速：棒中波速： 拉緊繩中波速：拉緊繩中波速： 各向同性介質中橫波波速：各向同性介質中橫波波速： /Eul lt Fu/ /Gut 液體、氣體中縱波波速：液體、氣體中縱波波速：/Kul 波的能量波的能量 簡諧波在一個周期內(nèi)的平簡諧波在一個周期內(nèi)的平 均能量密

7、度：均能量密度： 波動在傳播振動形式的同時傳播能量。波動在傳播振動形式的同時傳播能量。 22 1 2 wA 平均能流：平均能流： PwuS 平均能流密度（波的強度）：平均能流密度（波的強度）： 22 1 2 IwuA u 在均勻媒質中，平面波的強度不變，球面波強度與在均勻媒質中，平面波的強度不變，球面波強度與 半徑的平方成反比。半徑的平方成反比。 2222 1122 A rA r 惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理：介質中任一波陣面上的惠更斯原理：介質中任一波陣面上的各點各點， 都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源，其后任一，其后任一 時刻，這些時刻，這些子波的包跡子波的包跡就是

8、就是新新的的波振面波振面。 應用該原理可以解釋波的衍射、反射及折應用該原理可以解釋波的衍射、反射及折 射現(xiàn)象。射現(xiàn)象。 波的疊加與駐波波的疊加與駐波 波的疊加原理波的疊加原理：幾列波可以保持各自特點通過同一介：幾列波可以保持各自特點通過同一介 質，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點的位移，為各質，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點的位移，為各 波單獨在該點產(chǎn)生位移的合成。波單獨在該點產(chǎn)生位移的合成。 波的干涉加強和減弱條件波的干涉加強和減弱條件 兩列頻率、振動方向和振幅都相同而傳播方向相反兩列頻率、振動方向和振幅都相同而傳播方向相反 的簡諧波疊加形成駐波。表達式為：的簡諧波疊加形成駐波。表達式為： t

9、xAy cos 2 cos2 其實質是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。其實質是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。 注意：波從波疏介質到波密介質的界面反射時存在注意：波從波疏介質到波密介質的界面反射時存在 半波損失，此點只能是波節(jié)。半波損失，此點只能是波節(jié)。 多普勒效應多普勒效應 接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運動的接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運動的 現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為多普勒效應多普勒效應。 R RS S uv uv S S R R vu vu 相向運動相向運動 相背運動相背運動 機械波機械波 一般情況一般情況 cos cos R RS S u V u V 例例1. 兩個諧振子作同頻率同振

10、幅的簡諧振動。第一個振子的振兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振 動表達式為動表達式為 x1= Acos( t + )，當?shù)谝粋€振子從振動的正方向回，當?shù)谝粋€振子從振動的正方向回 到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。 (1) 求第二個振子的振動表達式和二者的相差；求第二個振子的振動表達式和二者的相差； (2) 若若 t =0 時，時，x1= A/2，并向，并向 x 負方向運動，畫出二負方向運動，畫出二 者的者的 x-t 曲線及相量圖。曲線及相量圖。 解：解：(1) 由已知條件畫出相量圖，可見由已知條件畫出相量圖，可見 第二個

11、振子比第一個振子相位落后第二個振子比第一個振子相位落后 /2， 故故 = 2 1 = /2， 第二個振子的振動函數(shù)為第二個振子的振動函數(shù)為 x2= Acos( t + + ) = Acos( t + /2) A1 A2 x O A1 A2 x O 3 2 (2) 由由 t = 0 時，時，x1= A/2 且且 v 0，則，則sin 0 0 0= - /2 故振動表達式為：故振動表達式為：) 2 2cos( tAy 波函數(shù)為：波函數(shù)為： 2 )(2cos u x tAy 入射波函數(shù)為：入射波函數(shù)為： 2 )(2cos u x tAy 即即 2 2 2cos x u tAy 入射波到達界面入射波到

12、達界面P點的振動為點的振動為 )2cos( 22 3 2cos 24 32 2cos tA tA u tAyP 由于從波疏到波密介質界面發(fā)生半波損失，由于從波疏到波密介質界面發(fā)生半波損失，P點反點反 射的振動為射的振動為tAyP2cos 反射波的波函數(shù)：反射波的波函數(shù)： 3 4 22 252 22 22 x yAt AtxAtx uu cos coscos 反 合成駐波合成駐波: 反入駐 yyy 2 2cos 2 cos2 ) 2 2 2cos() 2 2 2cos( tx u A x u tAx u tA 波節(jié)的位置為波節(jié)的位置為 4 ) 12( kx 在在OP區(qū)間區(qū)間 4 x 在在 處為入

13、射波、反射波干涉相消的處為入射波、反射波干涉相消的 靜止點。靜止點。 4 3 x 例題例題5 飛機在上空以速度飛機在上空以速度v=200m/s作水平飛行，發(fā)出頻作水平飛行，發(fā)出頻 率為率為 02000Hz的聲波，靜止在地面的觀察者測的聲波，靜止在地面的觀察者測 定飛機發(fā)出的聲波頻率，當飛機越過觀察者上空定飛機發(fā)出的聲波頻率，當飛機越過觀察者上空 時，觀察者在時，觀察者在4s內(nèi)測出的頻率從內(nèi)測出的頻率從 12400Hz降為降為 2 1600Hz，已知聲波在空氣中的速度為，已知聲波在空氣中的速度為 u=340m/s。 試求飛機的飛行高度試求飛機的飛行高度h。 A M B 在在M點接收到飛機在點接收

14、到飛機在A點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察 者的速度為者的速度為 cos AM vv 按照多普勒效應公式按照多普勒效應公式 001 cos vu u vu u AM 解出解出275. 0cos 1 01 u v 在在M點接收到飛機在點接收到飛機在B點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察 者的速度為者的速度為 cosvvBM 002 cos vu u vu u BM 解出解出4125. 0cos 2 02 u v A M B 由幾何關系由幾何關系 ctgctghvtAB m vt ctgctg vt h 3 22 1008. 1 cos1 cos cos1 co

15、s 故故 A M B 例例6：已知：已知 t = 2s 時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及 O 點的振動函數(shù)。點的振動函數(shù)。 x(m) 0.5 y(m) O u = 0.5m/s 123 解：波函數(shù)標準方程解：波函數(shù)標準方程 x T t Ay2cos 已知已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s 由由 2 5 . 0 4 2 2cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty 得得 2 2 3 即即 2 所以波函數(shù)為所以波函數(shù)為 )m( 22 cos5 . 0 xty O 點的振動函數(shù)為點的振動函數(shù)為)m( 22

16、cos5 . 0 O ty 例例7 如圖如圖, 一列沿一列沿x軸正向傳播的簡諧波軸正向傳播的簡諧波 方程為方程為 (m)（1） 在在1，2兩種介質分界面上點兩種介質分界面上點A與坐標原點與坐標原點O 相距相距L=2.25 m.已知介質已知介質2的波阻大于介質的波阻大于介質1 的波阻的波阻,假設反射波與入射波的振幅相等假設反射波與入射波的振幅相等, 求：求： （a）反射波方程反射波方程;（b）駐波方程駐波方程; （c）在在OA之間波節(jié)和波腹的位置坐標之間波節(jié)和波腹的位置坐標. y LO A x 12 ) 200 (200cos10 3 1 x ty y LO A x 12 解解 （a）設反射波方程為設反射波方程為 （2） 由式由式（1）得得A點的反射振動方程點的反射振動方程 （3） ) 200 (200cos10 0 3 2 x ty(m) ) 200 (200cos10 3 1 L ty A (m) 由式由式（2）得得A點的反射振動方程點的反射振動方程 （4） 由式由式( (3) )和式和式( (4) )得：得： 舍去舍去 ) 200 (200cos10 0 3 2 L ty A 2 -4-3.52 0 L 2 0 (m) 所以反射波方程為：所以反射波方程為： 2 ) 200 (200cos10 3 2 x ty(m) （b） ) 4 200cos() 4 co