帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)最小面積

1、帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)- 最小面積1、如圖所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為 m，電量為 q，以平行于 Ox 軸的速度 v 從 y 軸上的 a 點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域 .為了使該質(zhì)點(diǎn)能從 x 軸上的 b 點(diǎn)以垂直于 Ox 軸的速度 v 射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于 xy 平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑 .重力忽略不計(jì)。2、一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從 O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30，如圖所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（ 1）圓形磁

2、場區(qū)的最小面積；（ 2）粒子從 O點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)到達(dá) b 點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（ 3）b 點(diǎn)的坐標(biāo)。3、在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于 平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為能平行于 軸向 x 正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場的最小面積。的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過磁場后都4、如圖，ABCD是邊長為a 的正方形。質(zhì)量為m 、電荷量為e 的電子以大小為v0 的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（ 1）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（ 2

3、）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。5、如圖所示， 直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，3L）以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（L，840）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與 軸、電子經(jīng)過軸重合， 電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O，并沿點(diǎn)的速度 ；（ 2）該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度軸的正方向運(yùn)動(dòng)， 不計(jì)電子的重力。 求和磁場的最小面積 。（ 1）6、如圖所示，在豎直平面內(nèi)，虛線MO與水平線PQ相交于0 ，二者夾角 =30 ，在MOP范圍內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E， MOQ

4、上方的某個(gè)區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ，0 點(diǎn) 處在磁場的邊界上 .現(xiàn)有一群質(zhì)量為 m、電量為 +q 的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度 v(0 v E/B) 垂直于 MO 從 O 點(diǎn)射入磁場，所有粒子通過直線 MO 時(shí)，速度方向均平行于 PQ 向左。.不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自 O 點(diǎn)射入磁場至返回水平線POQ 所用的時(shí)間.（ 2）磁場區(qū)域的最小面積 .（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到 PQ 上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離 O 的距離，請(qǐng)寫出該距離的大小。7、如圖所示，在傾角為30的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板，擋板上有一小孔P, 現(xiàn)有一質(zhì)量m 4 10 20 k

5、g 、電量 q2 10 14 C 帶電粒子，從小孔以速度v03104ms 水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B0.2T 、方向垂直于紙平面向里磁場區(qū)域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不計(jì)。求：（ 1）粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R；（ 2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t ；（ 3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長L帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)- 最小面積近年來在考題中多次出現(xiàn)求磁場的最小范圍問題；或帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)范圍問題，這類題對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界未知的磁場后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場邊界，運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)（如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的

6、切點(diǎn)、磁場的邊界點(diǎn)等）難以確定。下面以實(shí)例進(jìn)行分析。一、磁場的邊界線為圓形【例題 1-1】如圖所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為 m，電量為 q，以平行于 Ox 軸的速度 v 從 y 軸上的 a 點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域 .為了使該質(zhì)點(diǎn)能從 x 軸上的 b 點(diǎn)以垂直于 Ox 軸的速度 v 射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于 xy 平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑 .重力忽略不計(jì)。解：質(zhì)點(diǎn)在磁場中作半徑為R 的圓周運(yùn)動(dòng) ,洛倫茲力提供做向心力：qvB (Mv 2)/R，得 R (MV)/(qB)根據(jù)題意， 質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R

7、 的圓上的1/4 圓周 ,這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。過a 點(diǎn)作平行于x 軸的直線 ,過 b 點(diǎn)作平行于 y 軸的直線， 則與這兩直線均相距 R 的 O點(diǎn)就是圓周的圓心。 質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道就是以 O為圓心、 R 為半徑的圓 (圖中虛線圓 )上的圓弧 MN ， M 點(diǎn)和 N 點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。在通過M 、N 兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN 連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：所求磁場區(qū)域如圖中實(shí)線圓所示?！纠?1-2 】一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從 O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子

8、飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為 30，如圖所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（ 1）圓形磁場區(qū)的最小面積；（ 2）粒子從 O點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)到達(dá) b 點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（ 3）b 點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（ 1）由題可知，粒子不可能直接由點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?？芍?，其離開磁場時(shí)的臨界點(diǎn)與點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖 2，過點(diǎn)逆著速度的方向作虛線， 與軸相交，由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距 O 點(diǎn)距離和到虛線上點(diǎn)垂直距離相等的點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑。2mv0qBv0m v0R為： l3R由R ，得qB。

9、弦長r1 l3 R3 mv0要使圓形磁場區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即：222 qB ，Sminr 23 m2 v02面積4q2 B 2t1 T2 m（ 2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為1200，時(shí)間33qB 。（ 3）距離，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（， 0）。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長?！纠?1-3 】在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示。現(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過磁場后

10、都能平行于軸向 x 正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場的最小面積。解析：電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供做向心力：eBv0m v02，半徑 Rmv0 是確定的，ReB設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖a 所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓O1 和圓 O2 為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓O2 在軸上方的1 個(gè)4圓弧 odb 就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn) O 為圓心，以R 為半徑的圓弧O1OmO2。由于要求所有電子均平行于 x 軸向右飛出磁場，故由幾何知識(shí)知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場下邊界為一

11、段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線 O1O2 ）向上平移一段長度為 Rmv0的距離即圖 b 中的弧 ocb 就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，eB即為磁場區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場區(qū)域面積：s 2( 1 R 2R 2 )(2) ( mv0 )2422eB還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場的下邊界。設(shè)某電子的速度V0 與 x 軸夾角為，若離開磁場速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y），從圖 c 中看出，即（ x 0， y 0），這是個(gè)圓方程，圓心在（ 0， R）處，圓的 1/4 圓弧部分即為磁場區(qū)域的下邊界。點(diǎn)評(píng)：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過

12、分析確定磁場的形狀和范圍，磁場下邊界的處理對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高。【例題 1-4 】（ 2009年海南卷，第 16 題）如圖， ABCD 是邊長為 a 的正方形。質(zhì)量為 m 、電荷量為 e 的電子以大小為 v0 的初速度沿紙面垂直于BC 邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從 BC 邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A 點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（ 1）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（ 2）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。解：（ 1）設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為?B 。令圓弧 AEC 是自 C 點(diǎn)垂直于 BC 入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場的作用

13、力fev0 B應(yīng)指向圓弧的圓心， 因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。?圓弧 AEC的圓心在 CB 邊或其延長線上。依題意，圓心在A 、 C 連線的中垂線上，故 B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a ，按照牛頓定律有fm v02a聯(lián)立式得mv0Bea（ 2）由（ 1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C 點(diǎn)垂直于 BC 入射電子在 A 點(diǎn)沿 DA 方向射出，且自 BC 邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC 區(qū)域中。因而，圓弧?AEC 是所求的最小磁場區(qū)域的一個(gè)邊界。為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A 點(diǎn)的電子的速度方向與BA 的延長線交角為（不02 ）的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡q

14、pA 如右圖所示。妨設(shè)?垂直于 BC 邊 ，由式知，圓弧?為原點(diǎn)、 DC圖中，圓弧 AP 的圓心為 O，pqAP 的半徑仍為 a ，在以 D為 x 軸， AD 為 y 軸的坐標(biāo)系中，P 點(diǎn)的坐標(biāo) ( x, y) 為xa siny a (aacos)a cos02 內(nèi)， p 點(diǎn)形成以 D 為圓心、 a 為半徑的四分之一圓周?這意味著，在范圍AFC ，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域時(shí)分別以B 和 D 為圓心、 a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周?AEC 和 AFC所圍成的，其面積為S 2( 1 a21 a2 )2 a2422評(píng)分參考：本題 1

15、0分。第（ 1）問 4 分，至式各1 分；得出正確的磁場方向的，再給1分。第（ 2）問 6 分，得出“圓弧?2 分；得出所求磁場區(qū)域的另一個(gè)邊界的，AEC 是所求磁場區(qū)域的一個(gè)邊界”的，給再給 2 分；式2 分。二、磁場的邊界線為矩形【例 2】如圖所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場。現(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，3 L ）以初速度沿8軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過軸上的點(diǎn)（ L ，0）進(jìn)入第四象限，4先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O，并沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求（ 1）

16、電子經(jīng)過點(diǎn)的速度；（ 2）該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場的最小面積。解析：（ 1）電子從 點(diǎn)開始在電場力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到，水平方向： 解得 。點(diǎn)，可知豎直方向：而，所以電子經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度為：，設(shè)與方向的夾角為，可知，所以300。（ 2）如圖，電子以與成 30進(jìn)入第四象限后先沿做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過點(diǎn)?？芍獔A周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在軸上，且點(diǎn)到 O點(diǎn)的距離與到直線上 M 點(diǎn)（ M 點(diǎn)即為磁場的邊界點(diǎn)）的垂直距離相等，找出點(diǎn)，畫出其運(yùn)動(dòng)的部分軌跡為弧MNO ，所以磁場的右邊界和下邊界就確定了。設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，由圖知，解得，方向垂直紙面向里。矩形磁場

17、的長度，寬度。矩形磁場的最小面積為：點(diǎn)評(píng)：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動(dòng)即為例 1 中運(yùn)動(dòng)的逆過程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場邊界的確定。三、磁場的邊界線為三角形【例 3-1 】邊上的 M點(diǎn)以速度如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為垂直于 BC邊飛入正三角形，帶電量的粒子在BCABC。為了使該粒子能在AC邊上的 N點(diǎn)（ CM CN）垂真于 AC邊飛出 ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求：（ 1）粒子在磁場里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑及周期 T；（ 2）該粒子在磁場里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t ；（ 3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長

18、；v 22rmv2 mqBv mTv ，rT解析：（ 1）由R 和得：qB，qB（ 2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場中由M 點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到 N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖作出圓O，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧 GDEF ，圓弧在點(diǎn)與初速度方向相切，在F 點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、 E 兩點(diǎn)相切，并與圓交于 F、G 兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知FOG 600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動(dòng)的時(shí)5 5 mtT間63qBaoOH3 r（ 3）連接并延長與交與點(diǎn)，由圖可知2r ，

19、2 ，LacaooH2r r cos300( 41) mv該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長cos300cos30 03qB處在磁場的邊界上 .現(xiàn)有一群質(zhì)量為 m、電量為 +q 的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度 v(0 vE/B)垂直于 MO 從 O 點(diǎn)射入磁場，所有粒子通過直線 MO 時(shí)，速度方向均平行于 PQ 向左。 .不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自O(shè) 點(diǎn)射入磁場至返回水平線POQ 所用的時(shí)間 .（2）磁場區(qū)域的最小面積.（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到 PQ 上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離 O 的距離，請(qǐng)寫出該距離的大小（只要寫出最遠(yuǎn)距離的最終結(jié)果，不要求寫出解題過程）【例 3-2

20、】如圖所示，在傾角為30的斜面 OA的左側(cè)有一豎直擋板，擋板上有一小孔 P, 現(xiàn)有一質(zhì)量 m4 10 20 kg 、電量 q210 14C 帶電粒子，從小孔以速度v0 3 104 mB0.2T 、方s 水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度向垂直于紙平面向里的一正三角形區(qū)域。該粒子在運(yùn)動(dòng)過程中始終不碰及豎直擋板，且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不計(jì)。求：（ 1）粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R；（ 2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t ；（ 3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長L解：（ 1）帶電粒子從b 點(diǎn)進(jìn)入磁場，從c 點(diǎn)離開磁場，在磁場中做勻qBv0m v02速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供做向心力：R則粒子在磁場中

21、作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑mv0410 203104R2 10140.2m 0.3mqBt52 mTTqB（ 2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間6 ,而所以t5.2310 5 sLMN2R Rcos300（ 3）正三角形磁場區(qū)域的最小邊長cos300cos3000.99m點(diǎn)評(píng)： 這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC 邊射出速度的反向延長線相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí)才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場的內(nèi)切圓。四、帶電粒子能到達(dá)的空間范圍【例 4-1 】（ 2004 年廣東卷）（ 17 分）如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)