法向量求二面角

1、2021/6/161 3.23.2立體幾何中的向立體幾何中的向 量方法量方法 2021/6/162 A 平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在的有向線段所在 直線垂直于平面直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量垂直于平，則稱這個(gè)向量垂直于平 面面 ,記作記作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量 ,那么那么 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是 完全確定的完全確定的. n n n l 2021/6/163 平面的法向量：平面的法向量： 注意：注意： 1.

2、法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量; 2.一個(gè)平面的所有法向量都一個(gè)平面的所有法向量都 互相平行互相平行; n l 2021/6/164 ),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為 ),(),( )2( 222111 cbabcbaa向量的坐標(biāo) 兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的 0 0 ,) 3( bn an zyx 方程組 的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立 個(gè)解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4( 求法向量的步驟：求法向量的步驟： 2021/6/165 5 2021/6/166 例例1、在棱長(zhǎng)為、在棱長(zhǎng)為2的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1 中中,O是面是面AC的中心的中心,求

3、面求面OA1D1的法向量的法向量. 解：以解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），（如圖）， 則則O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），）， 設(shè)平面設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為的法向量的法向量為n=(x,y,z), 由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得）得 1 OA 1 OD 20 20 xyz xyz 2 0 xz y 解得解得 取取z =1得平面得平面OA1D1的法向的法向 量的坐標(biāo)量的坐標(biāo)n=(2,0,1) A A B O z y A1 C1 B1 A x C D D1 2021/6/167 二面角的

4、平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)， 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線， 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. O 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 二面角的范圍：0, 2021/6/168 l l 法向量法法向量法 1 n 1 n 2 n 2 n 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， cos 12 cos, n n cos 12 cos, n n 求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的

5、夾角. 二面角的大小與法向量二面角的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補(bǔ)。夾角相等或互補(bǔ)。 2021/6/169 四四、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施 總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟：總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟： 1）建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；）建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)； 2）求出平面的法向量，進(jìn)行向量運(yùn)算求出法）求出平面的法向量，進(jìn)行向量運(yùn)算求出法 向量的夾角；向量的夾角； 3）通過(guò)圖形特征或已知要求，確定二面角是）通過(guò)圖形特征或已知要求，確定二面角是 銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果 2021/6/1610 例例2 2：如圖，

6、正方體：如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E， F F，M M，N N分別是分別是A A1 1B B1 1，BCBC，C C1 1D D1 1，B B1 1C C1 1的的 中點(diǎn)，求二面角中點(diǎn)，求二面角M-EF-NM-EF-N的大小的大小 A D1C1 B1 A1 N M F E D C B (2) 2021/6/1611 A D1C1 B1 A1 N M F E D C B x y z 解：（解：（1 1）建系如圖）建系如圖 所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng) 為為2,2,則則M M（0 0，1 1，2 2） F F（1 1，2 2，

7、0 0） E E（2 2，1 1，2 2） N N（1 1，2 2，2 2） 則則 MF=MF=（1,11,1，-2-2） NF=NF=（0 0，0 0，-2-2） EF=EF=（-1-1，1 1，-2-2），）， 設(shè)平面設(shè)平面ENFENF的法向量的法向量 為為n=(x,y,z),n=(x,y,z), EFn=0 NFn=0 -x+y-2z=0 -2z=0 則則 x=y z=0 令令x=y=1,則則n=(1,1,0) 2 2021/6/1612 A D1C1 B1 A1 N M F E D C B x y z 解：（解：（2）建系如圖，）建系如圖， 由（由（1）得：面）得：面ENF 的法向量為

8、的法向量為 n=（1，1，0），又），又 MF=（1，1，-2） EF=（-1，1，-2） 設(shè)面設(shè)面EMF的法向量的法向量 為為m=（x,y,z) ，則，則 MF.m=0 EFm=0 x+y-2z=0 -x+y-2z=0 x=0 y=2z 令令z=1,則則m=(0,2,1) cos= 10/5 由題意可知，所由題意可知，所 求二面角為銳角，故所求二面角的求二面角為銳角，故所求二面角的 大小為大小為arccos( 10/5) 2021/6/1613 1 , 2 SA 1 . 2 AD A z y x D C B S 圖5 例3 如圖5，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD 中，AD/BC，ABC=

9、900，SA面ABCD， AB=BC=1， 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。 2021/6/1614 解： 以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系， A z y x D C B S 圖5 則 11 0,0,0,0,0 ,0,1,0 ,1,1,0 ,0,0 , 22 SABCD 1 , 2 SA 1 1 1 . 2 AD 11 (0, 0,),(0,1,) 22 SASB ) 2 1 , 1, 1 (), 2 1 ,0, 2 1 (SCSD 顯然平面SBA的一個(gè)法向量為 1 (1 00)n ， ， 2()nxyz ， ， ， 2SCDn 平面 設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為 則 2021/6/1

10、615 2 2 2 00 2,(21 2) 220 0 nSDxz zn, xyz nSC 取則 則 12 12 12 1 22 cos, 1 33| | nn n n nn 根據(jù)題意知，側(cè)面SCD與面SBA所成的 二面角的大小的大小為 2 arccos 3 2021/6/1616 練習(xí)：在正方體練習(xí)：在正方體AC1中，中，E是是BB1中點(diǎn)，求中點(diǎn)，求 （1）二面角）二面角A-DE-B的余弦值；的余弦值； A B CD A1 B1 C1 D1 E X Y Z 11 2A D EB CE面與 面所 成 二 面 角 的 余 弦 ； 1 3ADEADE求面與面所成二面角的大小； 2021/6/1617 1、如圖所示、如圖所示，正方體正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為1 ， 試用多種方法求二面角試用多種方法求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值 四四、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施 2021/6/1618 2021/6/1619 已知正方形已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1，PD 平面平面ABCD，且，且 PD=1，E、F分別為分別為AB、BC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 求證：求證：PE AF； 求點(diǎn)求點(diǎn)D到平面到平面PEF的距離；的距離；