圓錐曲線的知識要點及結論個人的總結

1、圓錐曲線知識要點及重要結論、橢圓2a(2a F1F2)的點P的軌跡叫做橢1定義 平面內到兩定點 FF2的距離的和等于常數圓若2aF1F2，點P的軌跡是線段 Fi F2若02a F1 F2，點P不存在.2標準方程2 x2a2y21(a b 0)，兩焦點為 Fi( c,0), F2(c,0).b2y_2ab21(a b 0)，兩焦點為 Fi(0, c), F2(0,c).其中 a2 b2c2.3幾何性質橢圓是軸對稱圖形，有兩條對稱軸 .橢圓是中心對稱圖形，對稱中心是橢圓的中心橢圓的頂點有四個，長軸長為 2a，短軸長為2b，橢圓的焦點在長軸上2標準方程b21(a0,b0)，兩焦點為 F1( c,0)

2、,F2(c,0).2x2ab21(a 0,b0)，兩焦點為 F1(0, c), F2(0,c).其中 c2 a2 b2.2 2若橢圓的標準方程為x2 ayb21(ab0)，則a xa, b yb ；22若橢圓的標準方程為y_2x1(ab0)，則b xb,a ya.ab2二、雙曲線1定義平面內到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數2a(02aF1F2)的點的軌跡叫做雙曲線.若2aF1 F2，點P的軌跡是兩條射線.若2aF1F2，點P不存在.3幾何性質雙曲線是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是雙曲線的中心雙曲線的頂點有兩個 A1, A2，實軸長為2a，虛軸長為2b，雙

3、曲線的焦點在實軸上若雙曲線的標準方程為2x2a21(a 0，b0)，則 xa, y R;若雙曲線的標準方程為2y2a2x21(a0,bb20)，則 ya, x R.bx和b口2 x2yyyx 即2.20aaab22ax和a eyx0yyx 即J2bbab24漸近線22xy雙曲線 r2 1(a 0,b 0)有兩條漸近線ab2 2雙曲線 當 務 1(a0,b0)有兩條漸近線a b雙曲線的漸進線是它的重要幾何特征，每但對于同組漸進線卻對應無數條雙曲線2 2與雙曲線 篤 爲 1(a0,b0)共漸進線的雙曲線可表示為a b2x2a(0).直線與雙曲線有兩個交點的條件，一定要“消元后的方程的二次項系數和“

4、 0 ”同時成立.5等軸雙曲線：實軸長等于虛軸長的雙曲線叫做等軸雙曲線2x 等軸雙曲線的標準方程為a0).2y2 1(aa20)或-y2a2x2 1(aa等軸雙曲線的漸近線方程為6共軛雙曲線：實軸為虛軸,虛軸為實軸的雙曲線互為共軛雙曲線2 , x 如：二 a2y21(a Qbb220)的共軛雙曲線為占2x1(aa0,b0)，它們的焦點到原點的距離相等，因而在以原點為圓心,.a2 b2為半徑的圓上且它們的漸近線都是bby x 和 y x.aa三、拋物線1定義 平面內與一個定點 F和一條定直線l(F不在I上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準線2標準方程

5、2PP(1)y2 px( p0)，焦點為(,0)，準線方程為x，拋物線張口向右. y22px(p 0)，焦點為(號,0)，準線方程為x 號，拋物線張口向左.x22py(p0)，焦點為(0,號)，準線方程為y2，拋物線張口向上.x22py(p 0)，焦點為(0,號)，準線方程為y 號，拋物線張口向下.其中p表示焦點到準線的距離.3幾何性質拋物線是軸對稱圖形,有一條對稱軸.若方程為y222px(p 0)或 y2px(p 0)，則對稱軸是x軸，若方程為x2 2py(p 0)或x22py( p 0)，則對稱軸是y軸.若拋物線方程為y2px( p0)，則 x0,yR.若拋物線方程為2y2px(p0)，則

6、 x0,yR若拋物線方程為2 x2py(p0)，則 y0,xR.若拋物線方程為2 x2py(p0)，則 y0,xR圓錐曲線的一些重要結論【幾個重要結論】1已知橢圓2x2a2葺 1(a b 0)的兩焦點為F, c,0),F2(c,0)， P(x, y)為橢圓上一 b因為 aX0 a，cX0 cac,0CXo所以PF1已知雙曲線CXo同理，PF?1(a0,b雙曲線上一點，則PFicx02aPFiCXo0)的左、右焦點分別為Fi ( c,0), F?(c,0) , P(xo,yo)為cX0 aa1(a b 0)的兩焦點為Fi,F2， P為橢圓上一點，若F1PF2，則F1PF2的面積為.2 .b si

7、n ,2,b tan1 cos2解：根據橢圓的定義可得2由余弦定理可得4c由得4a2PFiF1F2PF2 2a PFi2PF22PF1IPF24c2 2PFi|PF2(1 cos ) 從而 |PFi|PF2cos 2b21 cos2所以，PFiF2的面積為PFi PF2 sin b2tan 21 cos22 2F1PF2，則Xy雙曲線 飛 2 1(a 0,b 0)的兩焦點為，P為其上一點，若abF1PF2 的面積為一 PFJPF2 sin山J b2cot.1 cos23已知橢圓2七 1( a b 0)， M ,N是C上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓b上任意一點，當直線PM , PN的斜率都存在

8、，并記為 kPM , kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值解：設P(xo, yo), M (xi, yi)，則 N(y)kPMyiyo,kPNXiXo丄一，從而kPM kPNyiyoyiyo又因為XiXoXiXoXiXo2 2 yoyi2 Xo2 - XiP(Xo, yo), M (Xi, yi)都在橢圓上，故2Xo -2 a2yo2i乞2a2yi兩式相減得,2 2Xo Xi2a2 2 yoyi2 yi20 ,因而卑 2Xo XikPNb22 .a類似結論已知雙曲線2X2a2 y b2i(a 0,b0).M, N是C上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，當直線 PM

9、, PN的斜率都存在，并記為 kPM , kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.【常用方法】i在求軌跡方程時，若條件滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以用定義求軌跡方程，這是常用求軌跡的數學方法，稱為定義法2本章經常會碰到直線l與圓錐曲線C相交于兩點的問題， 若已知I過定點P(Xo, yo)，則可 設I的方程為x Xo或y yo k(X x。).然后分兩種情況進行研究，一般處理方法是把直線方程代入曲線 C的方程中，整理得到關于 x或y的一元二次方程(要注意二次項系數是否 為零)韋達定理 和判別式經常要用到！若I的條件不明顯時，則可設 I的方程為x m或 y kx m.3

10、本章還經常用到“點差法”：設直線I與圓錐曲線C交于點A(xi,yi), B(x2, y2),則代B兩 點坐標都滿足曲線 C的方程，然后把這兩個結構相同的式子相減， 整理可以得到直線 AB的y2 y1斜率-的表達式，也經常會出現(xiàn)xi X2, yi y，這樣又可以與線段AB的中點x2 x1P( xo , yo )聯(lián)系起來！4若三點A(Xi,yJ, B(X2,y2), P(Xo,y。)滿足以線段AB為直徑的圓經過點 P或AP BP時，常用處理方法有：2 2 2 根據勾股定理可得 AB PA PB ；y0 y1 y0 y2 根據AP的斜率與BP的斜率之積為 1，可得 -1 ；Xo X- X- X2 根

11、據 PA PB -, PA(x-X-,y-y-),PB(x?x- ,y2y-)可得(X- x-)(x2 x-) (y- y-)(y2 y-)-.5求軌跡方程的方法常見的有：直接法、定義法、待定系數法、代入法(也叫相關點法).圓錐曲線中有用的結論2X-橢圓右ab2-(a b -)的參數方程是x acos y bsi n離心率e CT-F2 中，記FFF2ce. a222 橢圓 2 2 -(aa b2PF-e(x )csinPF-F2,F-F2P ，則有一sin sin2線到中心的距離為，焦點到對應準線的距離(焦準距)pcb2過焦點且垂直于長軸的弦叫通經，其長度為：2 一.ab -)焦半徑公式及兩

12、焦半徑與焦距構成三角形的面積2_. _. aa ex,PF2e(x) a excS F-PF22c | yP | b tanF-PF23橢圓的的內外部：(1) 點 P(xo, yo)在橢圓(2)點P(xo,y)在橢圓2xa2xa2再1(a b2著1(abb 0)的內部b 0)的外部X02a2Xo2也1b22也1b24橢圓的切線方程：22(1)橢圓一2:a b2x(2 )過橢圓二a1(a0)上一點P(xo, yo)處的切線方程是xoxyoy12. 21ab(3 )橢“22A a2yb221外一點P(xo,yo)所引兩條切線的切點弦方程是XoX-2ayoy1 x圓a2 2B b2 y 孑2c .1

13、(ab o)與直線AxBy C條件是2x5雙曲線a2 y b21(ao,bc0)的離心率e 一aa：，T1F2中，記F1PF2PF1F2F1F2P，則有sinsinsin焦點在x軸的芻am (m0)與焦點在y軸的2y_b22 x2an(n o)共漸近線，它們離心率滿足關系2ex12 1 ey2a準線到中心的距離為，焦點到對應準線的距離c(焦準距)過焦點且垂直于實軸的弦叫通經，其長度為:b22焦半徑公式|PF1 |e(x )| |aex|，PF2a2 |e(旦x) |c|aex|，兩焦半徑與焦距構成三角形的面積.2+ F1PFb cot -26雙曲線的方程與漸近線方程的關系2 y_ b2(1 )

14、若雙曲線方程為2x2a2x漸近線方程：一2ab2(2)若漸近線方程為 y2x(3) 若雙曲線與a(0，焦點在xbxa2y_b2軸上,b o雙曲線可設為2 y b22x-2a2y_b22x2a0，焦點在y軸上)b。1有公共漸近線，可設為(4) 焦點到漸近線的距離總是7雙曲線的切線方程：8拋物線y2拋物線y2 X2y.2ab22Xy-27Tab22Xy_1 .2ab1外一點1與直線(1)雙曲線(2)過雙曲線(3)雙曲線1(a 0,b0)上一點P(xo, yo)處的切線方程是P(xo,y。)所引兩條切線的切點弦方程是2px的焦半徑公式：XoxyyXX 2 aAx By C0相切的條件是A2a222

15、2px(p 0)焦半徑過焦點弦長CDXiX29直線與圓錐曲線相交的弦長公式CFABXoXi2 pX2 p= Fsin(XiIny kx(弦端點 A(X1, y1),B(X2, y2)，由方程F(x,y)AB J(1 k2)(X2 n)2 4X2 NX2)2 (y1 y2)2 或x21 . 1 tan2b2消去y得到ax2 0|yiy21 1 cot2bx c 00,為直線的傾斜角,k為直線斜率，|為X2I (X1 X2)24x1x210.經過拋物線y2=2 px(p0)(*)的焦點作一條直線l交拋物線于 A(X1 ,y 1)、B(X2, y2),I的方程為x=衛(wèi)2(*)、(*)兩式聯(lián)立:方程k

16、2x2(k2p 2p)x(通經所在直線)，或y=k(x - _E) (*) 2業(yè) 0，得y1y2= -p2 (定值)消y得 22L (定值)4得知2 y0，得 X1X2 =例題:2 ”p2是“直線P1P2過拋物線焦點F”的充要條件.若 P1(X1 ,y 1), P2(x2, y2)是拋物線 y2=2 px (p0)上不同的兩點，則y1 y2=-11. 以焦點弦AB為直徑的圓必與準線相切。以焦半徑為直徑的圓必與y軸相切(請證明！) 過A、B作準線的垂線，焦點弦 AB與準線形成的直角梯形 ABB /A/的對角線的 交點是原點. T (2p,0 )是拋物線y2=2 px對稱軸y=0上的特殊點，過此點的弦與拋物線交于P、Q，則有/ POQ=90uuuu uuur0或說OP OQ12.中點弦公式1. AB是橢圓1的不平行于對稱軸的弦，M (Xo , y)為AB的中點,則 koM kAB5，即aKabb2x2。a y2x2.AB是雙曲