圓錐曲線的知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)論個(gè)人的總結(jié)

1、圓錐曲線知識(shí)要點(diǎn)及重要結(jié)論、橢圓2a(2a F1F2)的點(diǎn)P的軌跡叫做橢1定義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn) FF2的距離的和等于常數(shù)圓若2aF1F2，點(diǎn)P的軌跡是線段 Fi F2若02a F1 F2，點(diǎn)P不存在.2標(biāo)準(zhǔn)方程2 x2a2y21(a b 0)，兩焦點(diǎn)為 Fi( c,0), F2(c,0).b2y_2ab21(a b 0)，兩焦點(diǎn)為 Fi(0, c), F2(0,c).其中 a2 b2c2.3幾何性質(zhì)橢圓是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸 .橢圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是橢圓的中心橢圓的頂點(diǎn)有四個(gè)，長軸長為 2a，短軸長為2b，橢圓的焦點(diǎn)在長軸上2標(biāo)準(zhǔn)方程b21(a0,b0)，兩焦點(diǎn)為 F1( c,0)

2、,F2(c,0).2x2ab21(a 0,b0)，兩焦點(diǎn)為 F1(0, c), F2(0,c).其中 c2 a2 b2.2 2若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 ayb21(ab0)，則a xa, b yb ；22若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y_2x1(ab0)，則b xb,a ya.ab2二、雙曲線1定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(02aF1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.若2aF1 F2，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線.若2aF1F2，點(diǎn)P不存在.3幾何性質(zhì)雙曲線是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是雙曲線的中心雙曲線的頂點(diǎn)有兩個(gè) A1, A2，實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，雙

3、曲線的焦點(diǎn)在實(shí)軸上若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2a21(a 0，b0)，則 xa, y R;若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2a2x21(a0,bb20)，則 ya, x R.bx和b口2 x2yyyx 即2.20aaab22ax和a eyx0yyx 即J2bbab24漸近線22xy雙曲線 r2 1(a 0,b 0)有兩條漸近線ab2 2雙曲線 當(dāng) 務(wù) 1(a0,b0)有兩條漸近線a b雙曲線的漸進(jìn)線是它的重要幾何特征，每但對(duì)于同組漸進(jìn)線卻對(duì)應(yīng)無數(shù)條雙曲線2 2與雙曲線 篤 爲(wèi) 1(a0,b0)共漸進(jìn)線的雙曲線可表示為a b2x2a(0).直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的條件，一定要“消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)和“

4、 0 ”同時(shí)成立.5等軸雙曲線：實(shí)軸長等于虛軸長的雙曲線叫做等軸雙曲線2x 等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為a0).2y2 1(aa20)或-y2a2x2 1(aa等軸雙曲線的漸近線方程為6共軛雙曲線：實(shí)軸為虛軸,虛軸為實(shí)軸的雙曲線互為共軛雙曲線2 , x 如：二 a2y21(a Qbb220)的共軛雙曲線為占2x1(aa0,b0)，它們的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，因而在以原點(diǎn)為圓心,.a2 b2為半徑的圓上且它們的漸近線都是bby x 和 y x.aa三、拋物線1定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l(F不在I上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線2標(biāo)準(zhǔn)方程

5、2PP(1)y2 px( p0)，焦點(diǎn)為(,0)，準(zhǔn)線方程為x，拋物線張口向右. y22px(p 0)，焦點(diǎn)為(號(hào),0)，準(zhǔn)線方程為x 號(hào)，拋物線張口向左.x22py(p0)，焦點(diǎn)為(0,號(hào))，準(zhǔn)線方程為y2，拋物線張口向上.x22py(p 0)，焦點(diǎn)為(0,號(hào))，準(zhǔn)線方程為y 號(hào)，拋物線張口向下.其中p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.3幾何性質(zhì)拋物線是軸對(duì)稱圖形,有一條對(duì)稱軸.若方程為y222px(p 0)或 y2px(p 0)，則對(duì)稱軸是x軸，若方程為x2 2py(p 0)或x22py( p 0)，則對(duì)稱軸是y軸.若拋物線方程為y2px( p0)，則 x0,yR.若拋物線方程為2y2px(p0)，則

6、 x0,yR若拋物線方程為2 x2py(p0)，則 y0,xR.若拋物線方程為2 x2py(p0)，則 y0,xR圓錐曲線的一些重要結(jié)論【幾個(gè)重要結(jié)論】1已知橢圓2x2a2葺 1(a b 0)的兩焦點(diǎn)為F, c,0),F2(c,0)， P(x, y)為橢圓上一 b因?yàn)?aX0 a，cX0 cac,0CXo所以PF1已知雙曲線CXo同理，PF?1(a0,b雙曲線上一點(diǎn)，則PFicx02aPFiCXo0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi ( c,0), F?(c,0) , P(xo,yo)為cX0 aa1(a b 0)的兩焦點(diǎn)為Fi,F2， P為橢圓上一點(diǎn)，若F1PF2，則F1PF2的面積為.2 .b si

7、n ,2,b tan1 cos2解：根據(jù)橢圓的定義可得2由余弦定理可得4c由得4a2PFiF1F2PF2 2a PFi2PF22PF1IPF24c2 2PFi|PF2(1 cos ) 從而 |PFi|PF2cos 2b21 cos2所以，PFiF2的面積為PFi PF2 sin b2tan 21 cos22 2F1PF2，則Xy雙曲線 飛 2 1(a 0,b 0)的兩焦點(diǎn)為，P為其上一點(diǎn)，若abF1PF2 的面積為一 PFJPF2 sin山J b2cot.1 cos23已知橢圓2七 1( a b 0)， M ,N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓b上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM , PN的斜率都存在

8、，并記為 kPM , kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值解：設(shè)P(xo, yo), M (xi, yi)，則 N(y)kPMyiyo,kPNXiXo丄一，從而kPM kPNyiyoyiyo又因?yàn)閄iXoXiXoXiXo2 2 yoyi2 Xo2 - XiP(Xo, yo), M (Xi, yi)都在橢圓上，故2Xo -2 a2yo2i乞2a2yi兩式相減得,2 2Xo Xi2a2 2 yoyi2 yi20 ,因而卑 2Xo XikPNb22 .a類似結(jié)論已知雙曲線2X2a2 y b2i(a 0,b0).M, N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線 PM

9、, PN的斜率都存在，并記為 kPM , kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.【常用方法】i在求軌跡方程時(shí)，若條件滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以用定義求軌跡方程，這是常用求軌跡的數(shù)學(xué)方法，稱為定義法2本章經(jīng)常會(huì)碰到直線l與圓錐曲線C相交于兩點(diǎn)的問題， 若已知I過定點(diǎn)P(Xo, yo)，則可 設(shè)I的方程為x Xo或y yo k(X x。).然后分兩種情況進(jìn)行研究，一般處理方法是把直線方程代入曲線 C的方程中，整理得到關(guān)于 x或y的一元二次方程(要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否 為零)韋達(dá)定理 和判別式經(jīng)常要用到！若I的條件不明顯時(shí)，則可設(shè) I的方程為x m或 y kx m.3

10、本章還經(jīng)常用到“點(diǎn)差法”：設(shè)直線I與圓錐曲線C交于點(diǎn)A(xi,yi), B(x2, y2),則代B兩 點(diǎn)坐標(biāo)都滿足曲線 C的方程，然后把這兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的式子相減， 整理可以得到直線 AB的y2 y1斜率-的表達(dá)式，也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)xi X2, yi y，這樣又可以與線段AB的中點(diǎn)x2 x1P( xo , yo )聯(lián)系起來！4若三點(diǎn)A(Xi,yJ, B(X2,y2), P(Xo,y。)滿足以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) P或AP BP時(shí)，常用處理方法有：2 2 2 根據(jù)勾股定理可得 AB PA PB ；y0 y1 y0 y2 根據(jù)AP的斜率與BP的斜率之積為 1，可得 -1 ；Xo X- X- X2 根

11、據(jù) PA PB -, PA(x-X-,y-y-),PB(x?x- ,y2y-)可得(X- x-)(x2 x-) (y- y-)(y2 y-)-.5求軌跡方程的方法常見的有：直接法、定義法、待定系數(shù)法、代入法(也叫相關(guān)點(diǎn)法).圓錐曲線中有用的結(jié)論2X-橢圓右ab2-(a b -)的參數(shù)方程是x acos y bsi n離心率e CT-F2 中，記FFF2ce. a222 橢圓 2 2 -(aa b2PF-e(x )csinPF-F2,F-F2P ，則有一sin sin2線到中心的距離為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距)pcb2過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2 一.ab -)焦半徑公式及兩

12、焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積2_. _. aa ex,PF2e(x) a excS F-PF22c | yP | b tanF-PF23橢圓的的內(nèi)外部：(1) 點(diǎn) P(xo, yo)在橢圓(2)點(diǎn)P(xo,y)在橢圓2xa2xa2再1(a b2著1(abb 0)的內(nèi)部b 0)的外部X02a2Xo2也1b22也1b24橢圓的切線方程：22(1)橢圓一2:a b2x(2 )過橢圓二a1(a0)上一點(diǎn)P(xo, yo)處的切線方程是xoxyoy12. 21ab(3 )橢“22A a2yb221外一點(diǎn)P(xo,yo)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是XoX-2ayoy1 x圓a2 2B b2 y 孑2c .1

13、(ab o)與直線AxBy C條件是2x5雙曲線a2 y b21(ao,bc0)的離心率e 一aa：，T1F2中，記F1PF2PF1F2F1F2P，則有sinsinsin焦點(diǎn)在x軸的芻am (m0)與焦點(diǎn)在y軸的2y_b22 x2an(n o)共漸近線，它們離心率滿足關(guān)系2ex12 1 ey2a準(zhǔn)線到中心的距離為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離c(焦準(zhǔn)距)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長度為:b22焦半徑公式|PF1 |e(x )| |aex|，PF2a2 |e(旦x) |c|aex|，兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積.2+ F1PFb cot -26雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2 y_ b2(1 )

14、若雙曲線方程為2x2a2x漸近線方程：一2ab2(2)若漸近線方程為 y2x(3) 若雙曲線與a(0，焦點(diǎn)在xbxa2y_b2軸上,b o雙曲線可設(shè)為2 y b22x-2a2y_b22x2a0，焦點(diǎn)在y軸上)b。1有公共漸近線，可設(shè)為(4) 焦點(diǎn)到漸近線的距離總是7雙曲線的切線方程：8拋物線y2拋物線y2 X2y.2ab22Xy-27Tab22Xy_1 .2ab1外一點(diǎn)1與直線(1)雙曲線(2)過雙曲線(3)雙曲線1(a 0,b0)上一點(diǎn)P(xo, yo)處的切線方程是P(xo,y。)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是2px的焦半徑公式：XoxyyXX 2 aAx By C0相切的條件是A2a222

15、2px(p 0)焦半徑過焦點(diǎn)弦長CDXiX29直線與圓錐曲線相交的弦長公式CFABXoXi2 pX2 p= Fsin(XiIny kx(弦端點(diǎn) A(X1, y1),B(X2, y2)，由方程F(x,y)AB J(1 k2)(X2 n)2 4X2 NX2)2 (y1 y2)2 或x21 . 1 tan2b2消去y得到ax2 0|yiy21 1 cot2bx c 00,為直線的傾斜角,k為直線斜率，|為X2I (X1 X2)24x1x210.經(jīng)過拋物線y2=2 px(p0)(*)的焦點(diǎn)作一條直線l交拋物線于 A(X1 ,y 1)、B(X2, y2),I的方程為x=衛(wèi)2(*)、(*)兩式聯(lián)立:方程k

16、2x2(k2p 2p)x(通經(jīng)所在直線)，或y=k(x - _E) (*) 2業(yè) 0，得y1y2= -p2 (定值)消y得 22L (定值)4得知2 y0，得 X1X2 =例題:2 ”p2是“直線P1P2過拋物線焦點(diǎn)F”的充要條件.若 P1(X1 ,y 1), P2(x2, y2)是拋物線 y2=2 px (p0)上不同的兩點(diǎn)，則y1 y2=-11. 以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。以焦半徑為直徑的圓必與y軸相切(請(qǐng)證明！) 過A、B作準(zhǔn)線的垂線，焦點(diǎn)弦 AB與準(zhǔn)線形成的直角梯形 ABB /A/的對(duì)角線的 交點(diǎn)是原點(diǎn). T (2p,0 )是拋物線y2=2 px對(duì)稱軸y=0上的特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)的弦與拋物線交于P、Q，則有/ POQ=90uuuu uuur0或說OP OQ12.中點(diǎn)弦公式1. AB是橢圓1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M (Xo , y)為AB的中點(diǎn),則 koM kAB5，即aKabb2x2。a y2x2.AB是雙曲