人教版高數(shù)選修4-5第2講：證明不等式的基本方法(學生版)

1、證明不等式的基本方法qg教學目標）教學重點： 掌握比較法、綜合法和分析法、反證法和放縮法的方法;教學難點： 理解放縮法的解題及應用。1、比較法：所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)a與b的差或商的符號（范圍）確定 a與b大小關(guān)系的方法，即通過“ , , a b 0；或旦1, a 1, a 1”來確定a , b大 b b b小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。2、分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化 為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式 成立，這種方法叫做分析法。3、綜合法：從 的不等式出發(fā)，根據(jù)不等

2、式的性質(zhì)及公理推導出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。4、反證法：從 結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法.用反證法證明不等式時，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一導出矛盾這里作一簡單介紹。反證法證明一個命題的思路及步驟：1）假定命題的結(jié)論不成立；2）進行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾；3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的；4)肯定原來命題的結(jié)論是正確的。5.放縮法：放縮法就是在證明過程中 ,利用不等式的 性，作適當?shù)?,證明比原 不等式更好的不等式來代替原不

3、等式的證明 .放縮法的目的性強，必須恰到好處，同時在放縮時必須 時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及 .否則不能達到目的。類型一：比較法、分析法和綜合法去證明不等式3a mab mba5 + b5 a2b3 + a3b2例 1.求證：x2+33x練習1.已知a,b,m都是正數(shù)，并且 a2時，求證:logn(n 1)logn(n 1) 11例5.設(shè)0a,b,c 0, ab + bc + ca0, abc0,求證：a,b,c01.設(shè) a,b,c R,(2)(3)求證：.a2 b2求證：,a2 b2若a + b = 1, 求證:2. a , b,cR,求證:(1)(2)(a b1 c)(- a

4、b3.求證:4.5.二(a b)2.b2 c2一 2(a b c)(a1c)( a112122設(shè) x0, y0, a1右 x, y 0,且 x+y2,則-a)1) c求證：a b中至少有一個小于2基礎(chǔ)鞏固a b(ab)三1.設(shè) a,b R+,求證：aabb52 .證明 lg9?lg1113 .設(shè)a,b,c 0, y0, 2x+y=1,求證：3 2V 2x y6 .求證3萬2J2 7 .設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證 一a b c3bca cab a b c,1148 .若 abc,則- 0a b b c c a11119 .證明 1-12 1 (n R ,n 2)n n 1 n 2 n12n

5、1110 .證明12 n 111.已知 a, b, c 0,且 a2 + b2 = c2,求證：an + bn 3, n R*)12.若0 x 1,證明 loga(1 x) loga(1 x) (a 0 且a 1)13.設(shè)a b 0,求證：aabb abba.714.對于任意實數(shù) a、4.4a b（）4 （當且僅當a b時取等號） 211115 .已知 a、b、c R,a b c 1,求證一一 一 9. a b c能力提升.1c 1 c 2516 .已知a,b R , a b 1,求證：(a -)2 (b 1)2 2a b 217 .甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走，如果m n,問：甲乙兩人誰先到 達指定地點？18 .證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面