“植樹問題”教學(xué)實(shí)錄與評析

1、“植樹問題”教學(xué)實(shí)錄與評析“植樹問題”教學(xué)實(shí)錄與評析丁麗執(zhí)教張新春.評析(1.長沙市岳麓區(qū)高新博才學(xué)校湖南長沙4100132.長沙市岳麓區(qū)教研室湖南長沙410013)教學(xué)目標(biāo):1.通過實(shí)驗(yàn)探究,理解植樹問題中棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系.2.通過學(xué)生自主實(shí)驗(yàn),探究,交流,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生動手操作,初步探究,合作交流的能力;滲透數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的意識和針對不同問題的特點(diǎn)靈活解決問題的能力.3.滲透歸納推理和轉(zhuǎn)化的思想,方法,培養(yǎng)學(xué)生研究問題的科學(xué)素養(yǎng).教學(xué)過程:一,開門見山.揭示課題1.板書課題:植樹問題.2.講述課前調(diào)查一事.師:為了上好”植樹問題”,上課前,我在三個學(xué)校分別找了

2、三,四年級同學(xué),讓他們做了幾道題.其中,第一題三年級同學(xué)做得不錯,四年級中沒學(xué)過植樹問題的同學(xué)也做得挺好,可偏偏就是學(xué)過植樹問題的同學(xué)錯誤不少,大家想看看是什么題嗎?你也試試?待會兒我出示題目后,請你把算式和答案記在心里,想好了就舉手,看誰快!我先讀題,準(zhǔn)備好了嗎?二,師生互動,探尋棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系1.尋求段數(shù)的計(jì)算方法.出示題目:120米的路,每20米一段,可以分成幾段?師讀題,指名回答(有學(xué)生認(rèn)為是7段),并出示學(xué)生的一些錯誤做法(如下圖),再引導(dǎo)學(xué)生討論并統(tǒng)一算法.師小結(jié):求幾段,就是看120里面有幾個20,直接用除法計(jì)算.2.引發(fā)爭議,聚焦段數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系.師:還是這120米的路,也還

3、是每20米一段,只不過我們要在這條路上種樹.(出示題目:在一條120米的路的一邊種樹,每隔20米種一棵(兩端都種),一共要種幾棵樹?)請把你的算式和答案寫在紙上.生獨(dú)立練習(xí),師巡視,并收集幾種典型做法進(jìn)行展示.j:12020=6(棵),12020+1=7(棵).師引導(dǎo)學(xué)生找出不同做法中相同的一步120課鏈攮“:糍;田團(tuán)圓匝皿啊20,然后提示學(xué)生,這步求的是什么?學(xué)生意見統(tǒng)一,都認(rèn)為求的是段數(shù).師:看來,12020求出的就是段數(shù),而題目要求的是多少棵.有的同學(xué)認(rèn)為是用段數(shù)加1,有的認(rèn)為不要加,到底誰對呢?有什么好的辦法來判斷?生:畫個圖,看看是誰對13.畫圖驗(yàn)證,初步感知研究的方法.師:你會畫圖

4、嗎?請說說要畫些什么?生動手畫圖驗(yàn)證,師適時指導(dǎo)并選擇一個學(xué)生的畫法予以展示.師:大家一起看看他畫了幾段?我們一起數(shù)數(shù).(指著學(xué)生的圖,帶大家數(shù))是幾棵?學(xué)生一齊數(shù)出是7棵.師:那誰對了?(根據(jù)學(xué)生的回答板書:)師:剛才我們求出的是6段,就畫6段來進(jìn)行驗(yàn)證.這就是直接檢驗(yàn),其結(jié)論是非常令人信服的14尋找事實(shí),總結(jié)棵數(shù)與段數(shù)間的規(guī)律.師:在實(shí)際生活中,種樹的這條路往往不止120米,如果是1200米的路,那么先求什么?生l:段數(shù),120020=60段.師:然后呢?生:我認(rèn)為再加1棵,是61棵.生:我覺得應(yīng)當(dāng)/i/2棵.生:我認(rèn)為是加10棵,70棵.師:又出現(xiàn)不同意見了,該怎樣判斷?還是畫圖?好,我

5、們一起來畫.怎么畫?生:畫60段.老師試著畫60段,畫到第9段就已經(jīng)畫到黑板的一盡頭了,碰到困難.教師趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生討論,最終確定研究方法:可以少畫一點(diǎn),找規(guī)律.教師示范畫線段圖,帶領(lǐng)學(xué)生研究規(guī)律.師:看來,在這種情況下,棵數(shù)就等于段數(shù)加1.(板書結(jié)論)在這里,我們通過一兩個事實(shí)產(chǎn)生了一種想法,再通過尋求更多的事實(shí)驗(yàn)證這種猜測,這就是研究.5.男辟新路,學(xué)習(xí)兩端都不種的情況.出示題目:卡通世界一號樓與二號樓之間有一條號月7年影隧甓曩匝圃函啞衄;善;:”600米長的路,計(jì)劃在路的一邊種樹,相鄰兩棵樹之間的距離是3米.一共要栽幾棵樹?生獨(dú)立完成表格,研究題中棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系.(出示表格)(1)m一畫

6、,填一填總長(米)每段長度(米)段數(shù)示意圖叫棵數(shù)63931233(2)請用一句話或一個算式表達(dá)棵數(shù)與段數(shù)的規(guī)律:.學(xué)生獨(dú)立做,師巡視時強(qiáng)調(diào)最后一行留給學(xué)生自己去探究,重點(diǎn)檢查圖的畫法.請學(xué)生上臺匯報(bào),說說自己是怎樣研究的.師:(板書結(jié)論)你們真了不起,那這個題該怎樣解答呢?同桌互相說一說,然后全班交流.6.峰回路轉(zhuǎn),學(xué)習(xí)封閉的情況.師:在生活中,還有這樣的種樹情況.(出示題目:圓形廣場一周全長400米.沿這一圈每隔5米種一棵小松樹,一共需要種幾棵小松樹?)情況好像又變了,是不是啊?(請學(xué)生說區(qū)別)那么這個題你準(zhǔn)備怎么研究?請獨(dú)立研究,用事實(shí)來說話!學(xué)生小組合作,研究規(guī)律后集體匯報(bào).(板書結(jié)論)

7、師小結(jié):通過研究,我們一共得到了三個結(jié)論:兩端都種時,棵數(shù)=段數(shù)+l;兩端都不種時,棵數(shù)=段數(shù)一l;在封閉圖形中,棵數(shù)=段數(shù).(邊說邊貼出三幅圖,并板書)棵數(shù):段數(shù)+l嘈._靜棵數(shù):段數(shù)一l靜.鼉卜晦一棵數(shù):段數(shù)n,鴦/三,聯(lián)系生活,拓展應(yīng)用師:其實(shí),植樹問題也可以不植樹的!來,一起看看!師生一起欣賞生活中的植樹問題圖片.師:小朋友排隊(duì)回家,這里面也蘊(yùn)含著植樹問題,你看出來了嗎?如果要解決這個問題,應(yīng)當(dāng)畫哪幅圖研究?生:第一幅圖.把學(xué)生看成樹,每兩人間的距離看成段數(shù).一師:那,如果是在溜冰場四周立路燈呢?生:畫第j幅圖.師:鋸木頭呢?生,:畫第二幅圖,因?yàn)殇彽拇螖?shù)就相當(dāng)于棵數(shù).師:如果要把木頭

8、鋸成暇,要鋸幾次?說說怎樣思考?師根據(jù)學(xué)生回答出示算式,統(tǒng)一做法.四,總結(jié)分析,滲透解決問題的策略師:今天大家做的這幾個題就是丁老師課前調(diào)查的題.事后,我專門和幾個做這些題出了錯的同學(xué)進(jìn)行了交談.他們說:剛學(xué)的時候我記得很清楚,后來就迷糊了,不知道什么時候加l,什么時候減l,什么時候不加也不減.的確,公式這么多,要記牢還挺不容易的.要是真忘了,你有辦法把它找回來嗎?生:我們可以再畫圖,看看棵數(shù)和段數(shù)是什么關(guān)系.師:對!這就是一個簡單的找回這些公式的辦法.既然公式忘記了還可以有這么簡單的辦法找回來,那公式就不是那么重要了,對嗎?這樣的話,老師就把這些公式都擦掉了.但老師提醒大家,畫圖,驗(yàn)證,研究

9、,找事實(shí),尋求規(guī)律,這些你可千萬別忘了!評析談?wù)剬σ韵氯齻€問題的認(rèn)識.1.植樹問題是一個什么樣的問題?在一條路上種樹,這些樹把一條路平均分成了若干段,若只考慮這條路的長度與分成的段數(shù)以及每一段的長度,則只是一個簡單的數(shù)量關(guān)系(簡單的乘法或除法).若僅僅是這樣,植樹問題還沒有資格成為一個值得專門取個名字加以研究的問題,就像若干個小朋友平均分一些蘋果的問題一樣,不必專門取個叫”分蘋果問題”的名字來加以研究一樣.可我們關(guān)注的是種的樹的棵數(shù),而棵數(shù)與分成的段數(shù)關(guān)系密切且往往不相等,于是就有了研究在各種植樹情況條件下,棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系問題的植樹問題.更因?yàn)橐欢味蔚穆放c一棵棵的樹間隔著排列,這種間隔計(jì)數(shù)是

10、一個很重要的數(shù)學(xué)模型,不僅在解決植樹問題中有用,在其他很多現(xiàn)實(shí)生活問題和數(shù)學(xué)問題中同樣常見從生活中的計(jì)算日期(6月10日到6月15日共多少天),計(jì)算年齡到數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列,等比數(shù)列求項(xiàng)數(shù),都能見到間隔計(jì)數(shù)的影子.于是,以植樹為載體來研究這類問隔計(jì)數(shù)模型就顯得重要了.2.學(xué)生在植樹問題的學(xué)習(xí)中應(yīng)該獲得什么?植樹問題是奧數(shù)中的經(jīng)典問題.有不少學(xué)生此前均學(xué)習(xí)過植樹問題,那么學(xué)生在通常的植樹問題學(xué)習(xí)中能獲得些什么呢?學(xué)生通常能得到兩個方面的收獲.一是知道植樹問題這個名字,知道大凡在”一條路上種樹”這樣的問題,往往就是植樹問題,還知道(或隱隱約約知道)植樹問題有很多種情況.二是知道解決植樹問題的2008

11、年7月號5;公式里經(jīng)常有加1,減1,有些學(xué)生能準(zhǔn)確地記得什么情況下加1,什么情況下減1,有些學(xué)生記得不那么清楚.因此,學(xué)過植樹問題的學(xué)生解決這類問題時通常是進(jìn)行模式識別:植樹問題嗎?兩端都種嗎?加1嗎?這些學(xué)生解這類問題的速度往往很快,題目看完即可動手,但也常常由于模式識別不清,加1,減1之類記憶不準(zhǔn)而犯錯誤,甚至把一些簡單的問題錯誤地識別為植樹問題加以解決(這些從丁老師的調(diào)查中都可以得到印證),并且學(xué)生往往很少對自己的答案產(chǎn)生過懷疑,沒有能力(也沒有意識到)想辦法檢驗(yàn)一下自己的答案.同時,學(xué)生對為什么加1,減1的認(rèn)識往往停留在記憶的水平上,盡管老師問學(xué)生”為什么要加1”時,學(xué)生往往也會回答”

12、因?yàn)閮啥硕家N”,但這也只是記憶,即在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,加1與兩端都種之間的聯(lián)系是淺層次的,機(jī)械的.從問題解決的角度看,植樹問題只應(yīng)該是載體,是提高學(xué)生解決問題能力的載體.于是,教學(xué)植樹問題的目的應(yīng)該不僅僅是讓學(xué)生能很快對各類植樹問題的模式進(jìn)行快速識別,并能準(zhǔn)確地利用相應(yīng)的公式解決之.解決問題的能力更多地體現(xiàn)在解決一個新的問題的過程中,即在面臨一個新問題時,誰有更多的手段來研究并解決它.于是,我們不妨設(shè)想一個解決問題的能力比較強(qiáng),卻從來不知道植樹問題為何物的人怎樣解決”在1200米的路的一邊種樹(兩端都要種),每隔3米種一棵,一共要種多少棵?”的問題.首先,這個人應(yīng)該能憑直覺意識到應(yīng)先求出這條路

13、被分成了多少段.他能很快算出12003=400,接下來應(yīng)該要能意識到求出來的400是段數(shù),不能貿(mào)然地認(rèn)為就是400棵,還得研究一下棵數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系(這事實(shí)上即是一個成熟的解決問題者與一個新手的區(qū)別,新手可能就下結(jié)論了!).弄清棵數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系對于這個解決問題能力比較強(qiáng)的人來說應(yīng)該不是難事,只需通過一個簡單的圖示來解決(這種圖示可能被畫在紙上,也可能只出現(xiàn)在解決問題者的頭腦里).在這一個個圖示中,這個解決問題者即發(fā)現(xiàn)了一種模式(是發(fā)現(xiàn),不是記憶)原來還要加1.(我們說數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué),其意義也許可以從這里看到一點(diǎn)點(diǎn)吧)我們所設(shè)想的這個解決問題者面對問題的態(tài)度,研究問題的手段就是學(xué)生在

14、學(xué)習(xí)植樹問題時特別要獲得的13.植樹問題的教學(xué)要注意什么?值得一提的是,丁老師設(shè)計(jì)本節(jié)課時能從調(diào)查了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀開始,本身就是一種難能可貴的研究態(tài)度.發(fā)現(xiàn)問題(可以是通過調(diào)查,也可以是通過其他手段),尋找原因,有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué)解決問題,這也應(yīng)成為教學(xué)設(shè)計(jì)的基本程序.我們認(rèn)為,植樹問題的教學(xué)首先要注重培養(yǎng)學(xué)生面氓麓攮“:掰疆田墨函啞皿目對問題時的態(tài)度研究的態(tài)度.有經(jīng)驗(yàn)的老師往往會有這樣的體會:很多學(xué)生在面臨一個問題時,首先就會在記憶中搜索:老師以前有沒有教過這類問題?如果得到否定的回答,就會認(rèn)為這樣的題目很難,并往往由此選擇放棄,即沒有解決一個新問題的勇氣和愿望.丁老師在本課中特別關(guān)注學(xué)生

15、用研究的態(tài)度面對數(shù)學(xué)問題(這一點(diǎn),從丁老師的一些課堂用語中不難看出).”情況又變了,怎么辦呢?如何研究?”,”又有了不同意見,誰的意見正確呢?如何檢驗(yàn)?”這些話在不停地告訴學(xué)生:面對新的問題是正常的,要有研究的態(tài)度;有不同意見也是正常的,要尋找事實(shí)支持,用事實(shí)說話,而這些正是研究的態(tài)度.其次要注意合理處理教材彳艮多老師在植樹問題的教學(xué)時,都是只教”不封閉”的情況(甚至是”不封閉”情況中的部分類型”兩端都種”或”兩端都不種”),并認(rèn)為如果一節(jié)課涉及的情況過多,學(xué)生可能不能熟練地掌握,從而導(dǎo)致教學(xué)效果不理想.這種觀點(diǎn)認(rèn)為,研究一種情況比研究多種情況更能深入,教學(xué)一個例題比教學(xué)多個例題更為容易.事實(shí)

16、上,有時候情況恰好相反,用波利亞的話說:”多個問題也許比一個問題容易回答,較全面的定理可能更容易證明,較普通的題目可能更容易回答”(怎樣解題第101頁,上?？萍冀逃霭嫔?.并指出出現(xiàn)這種”悖論”的原因是”洞察了超越那些表面現(xiàn)象的東西”.我們認(rèn)為,丁老師把植樹問題的各種情況全部呈現(xiàn),讓它們在研究的態(tài)度,在畫圖,找規(guī)律,驗(yàn)證等研究問題的基本方法這些”超越表面現(xiàn)象的東西”之下統(tǒng)一起來,正是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的好辦法.第三,要正確看待植樹問題的公式.公式是對植樹問題中數(shù)量關(guān)系的概括和總結(jié),當(dāng)然是重要的,但是比起獲取這些公式的方法來說,其重要性又是次之的.特別是具體到植樹問題中棵數(shù)與段數(shù)關(guān)系的公式,如果有研究的態(tài)度,有畫圖確認(rèn)的意識,是不難得到的.因此,從這個意義上講,這些公式又是不重要的.丁老師的這種價值取向在她看待三個公式的態(tài)度上有明顯體現(xiàn)這些不重