對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種常見“對(duì)稱”問題的探討

1、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種常見“對(duì)稱”問題的探討 摘要：數(shù)學(xué)是社會(huì)科學(xué)中最基礎(chǔ)的學(xué)科，在解答數(shù)學(xué)題目過程中會(huì)涉及很多方面的數(shù)學(xué)技巧問題，我們要善于總結(jié)、歸納。本文主要總結(jié)、歸納高中數(shù)學(xué)解題中常遇到的有關(guān)點(diǎn)的對(duì)稱，有關(guān)直線的對(duì)稱，曲線關(guān)于特殊點(diǎn)、線的對(duì)稱，三角函數(shù)圖象中的對(duì)稱等幾種對(duì)稱問題進(jìn)行探討。 關(guān)鍵詞：點(diǎn)對(duì)稱 直線對(duì)稱 圖象對(duì)稱 “對(duì)稱”問題不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷年來高考的熱點(diǎn)。由于“對(duì)稱”問題的形式較多，知識(shí)點(diǎn)較分散，學(xué)生對(duì)此都感到頭疼。對(duì)此，筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的幾種“對(duì)稱”問題進(jìn)行歸類總結(jié)，找出每種“對(duì)稱”問題的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，以期使學(xué)生能夠輕松地解決對(duì)稱問題。 一、有

2、關(guān)點(diǎn)的對(duì)稱 1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱。點(diǎn)p（x，y）和p（x，y）關(guān)于點(diǎn)m（a，b）對(duì)稱，可把點(diǎn)m看做是線段pp的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式，得到它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，即a=，b=。 2.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱。點(diǎn)p（x，y）和p（x，y）關(guān)于直線l對(duì)稱，可以利用直l為線段pp的垂直平分線的特點(diǎn)，即線段pp的中點(diǎn)在直線l上，其坐標(biāo)滿足直線l所在方程，并且線段pp與直線l互相垂直。 3.點(diǎn)關(guān)特殊點(diǎn)、線對(duì)稱?？梢允÷灾虚g推導(dǎo)過程，按照一定規(guī)律直接得到對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，如點(diǎn)p（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-y），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，-y），關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（y，

3、x）；關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的坐標(biāo)為（-y，-x）。 例1.點(diǎn)m（8，9）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（8，-9），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-8，9），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-8，-9），關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)（9，8），關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)（-9，-8）。 例2.若函數(shù)y=f（x），在（-，+）上為奇函數(shù)，且當(dāng)x0，+）時(shí)有f（x）=x2-4x-3，求x（0，+上的最大值。 解：由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可直接得到x（-，0的關(guān)系式。 -f（x）=（-x）2-4（-x）-3即f（x）=-x2-4x+3，當(dāng)x=-，即x=-2時(shí)，有f（x）max=f（-2）=-（-2）2-4（-2）+3=7。 二、有關(guān)直線的對(duì)稱 1

4、.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱。直線ly=kx+b關(guān)于點(diǎn)m（a，b）的對(duì)稱直線ly=k1x+b1，它們之間具有如下兩個(gè)特點(diǎn)： （1）ll。（2）d=d1。（3）k=k。（其中，d為直線到點(diǎn)的距離，k為斜率） 2.直線關(guān)于直線的對(duì)稱。直線l和l關(guān)于直線m對(duì)稱。 （1）當(dāng)lm時(shí)，l一定和它們都平行且直線m上任意點(diǎn)到l和l的距離相等。 （2）當(dāng)l與m相交時(shí)，一定有l(wèi)與m的交點(diǎn)在l上，且l與m的夾角和l與m的夾角相等。 例3.求直線x-y-2=0關(guān)于直線3x-y+3=0對(duì)稱的直線方程。 解：由x-y-2=03x-y+3=0？圯x=-y=- 即交點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-） 設(shè)所求直線的斜率為k， 則= k=-7或k=1（舍

5、去） 則所求直線方程為y+=-7（x+） 即7x+y+22=0。 方法二：取x-y-2=0上的一點(diǎn)a（2，0）設(shè)它關(guān)于3x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為a（a，b） =-3-+3=0？圯a=-a= 即a（-，）。又由法一知交點(diǎn)為（-，-）所求直線方程為=即7x+y+22=0。 三、曲線關(guān)于特殊點(diǎn)、線的對(duì)稱 它們的對(duì)稱曲線可以按以下規(guī)律直接得到：曲線f（x，y）=0關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線方程為f（-x，y）=0，關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線方程為f（-x，y）=0；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程為f（-x，-y）=0，關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線方程為f（y，x）=0，關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的曲線方程為f（-y，-x）=0。 例4

6、.求曲線c：y=（x+1）2關(guān)于y=x對(duì)稱的曲線c的方程。 解：設(shè)所求曲線c上任一點(diǎn)m（x，y）關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)m（x0，y0）在曲線c上。 =-1=？圯x0=yy0=x 又y0=（x0+1）2 x=（y+1）2為所求曲線c的方程。 例5.求曲線c：x2+y2-4x+2y-4=0關(guān)于直線 x-3y+5=0的對(duì)稱曲線c的方程。 解：曲線c可化為：（x-2）2+（y+1）2=9，即它是一個(gè)以c（2，-1）為圓心，半徑為3的圓。 設(shè)曲線c的圓心為c（a，b），則 =-3-3+5=0？圯a=0b=5 則所求圓c的方程為x2+（y-5）2=9。 四、三角函數(shù)圖像中的對(duì)稱 在正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖象上，它們與x軸交點(diǎn)處為其圖象的對(duì)稱點(diǎn)，它們的波峰和波谷點(diǎn)處為其圖象的對(duì)稱軸，正切y=tanx和余切y=cotx的函數(shù)與x軸交點(diǎn)處為對(duì)稱點(diǎn)，但它們沒有對(duì)稱軸。 例6.函數(shù)y=sin（2x+）圖象的對(duì)稱軸方程可能是（ ） a.x=- b.x=- c.x= d.x= 分析：若f（x）=asin（x+）為偶函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大或最小值。若f（x）=asin（x+）為奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0。如果求f（x）的對(duì)稱軸