放縮裂項(xiàng)求和與放縮等比求和證明不等式

1、 放縮裂項(xiàng)求和與放縮等比求和證明不等式 摘要：常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，放縮的目的是為了能求和，利用裂項(xiàng)相消求和或等比數(shù)列的求和公式求和。關(guān)鍵詞：不等式 等比數(shù)列 裂項(xiàng) 放縮 分母有理化 平方差公式 檢驗(yàn) 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮法證明不等式是數(shù)列與函數(shù)中的難點(diǎn)內(nèi)容，在歷年全國各地高考試題和模擬題中都有考查。放縮法靈活多變，考同學(xué)們的洞察力， 要求同學(xué)們能選準(zhǔn)方法，把握好從哪一項(xiàng)開始放能達(dá)到證明的目的，并且不忘檢驗(yàn)放縮前 的幾個(gè)取值，要求同學(xué)們能放到恰到好處，從而順利答題。本文了就兩種用放縮法求和來證明不等式的方法進(jìn)行了闡述。1. 放縮裂項(xiàng)求和問題1：證明對(duì)一切正整數(shù) ，（1）有；

2、（2）有；（3）有。分析：在必修5，我們只掌握了簡單數(shù)列及等差和等比數(shù)列的求和，這三個(gè)不等式的左邊是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，右邊是一個(gè)常數(shù)，顯然這一數(shù)列既不是我們熟悉的等差數(shù)列也不是我們熟悉的等比數(shù)列，我們沒法求將其前n項(xiàng)和求出，考濾到本問題是證明不等式，我們只需證明不等式左邊的式子不大于一個(gè)比右邊的常數(shù)小的可求和的式子，于是想到可通過放大成可裂項(xiàng)相消求和的數(shù)列。常見的幾種形式的放縮裂項(xiàng)：1. ； = ； = ；（以上三種對(duì) 的放縮，顯然第一種是放得最大的，第三種是放得最小的，通常放縮的尺度越小越好）2. ；3. 。例1（2013廣東19）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，已知 ， ，1. 求 的值；（2）

3、求數(shù)列 的的通項(xiàng)公式；（3）證明對(duì)一切正整數(shù) ，有 。證明：由（2）得 ，。要證即證法一（選 放縮）當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)，綜上可得對(duì)一切正整數(shù) ， 成立。法二（選= 放縮）當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)，綜上可得對(duì)一切正整數(shù) ， 成立。法三（選= 放縮）當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)，綜上可得對(duì)一切正整數(shù) ， 成立。小結(jié)：選 放縮，需檢驗(yàn) ，從第三項(xiàng)開始放才能證出；選= 放縮，只需檢驗(yàn) ，從第二項(xiàng)開始放可以證出；選= 放縮，也是只需檢驗(yàn) ，從第二項(xiàng)開始放可以證出。問題分析：（1）法一（選 放縮，只需檢驗(yàn) ，從第二項(xiàng)開始放可以證出）；法二（選= 放縮，只需檢驗(yàn)

4、，從第二項(xiàng)開始放可以證出）；法三（選= 放縮，無需檢驗(yàn)從第一項(xiàng)開始放可以證出）。（3）法一（選 放縮，需檢驗(yàn) ，從第六項(xiàng)開始放才能證出）；法二（選= 放縮，需檢驗(yàn) ，從第三項(xiàng)開始放才能證出）；法三（選= 放縮，只需檢驗(yàn) ，從第二項(xiàng)開始放可以證出）。小結(jié)：解決這類不等式恒成立問題，需細(xì)心觀察，把握好需檢驗(yàn) 的多少個(gè)取值，什么時(shí)候開始放縮可以達(dá)到證明的目的，通常放縮的尺度越小需檢驗(yàn)的次數(shù)越少。變式1.（2013湖北模擬18）已知正項(xiàng)數(shù)列 的首項(xiàng) ，前 項(xiàng)和 滿足 ，（ ）。1. 求 的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，求證： （ ）。變式2.（2013安徽模擬19）已知正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為

5、 ，且（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）求證 。例2設(shè)函數(shù) 。（1）求 的極值點(diǎn)；（2）當(dāng) 時(shí)，若對(duì)任意的 ，恒有 ，求 的取值范圍；（3）證明：分析：這個(gè)不等式的左邊是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，右邊是一個(gè)常數(shù)，顯然這一數(shù)列既不是我們熟悉的等差數(shù)列也不是我們熟悉的等比數(shù)列，我們沒法求將其前n項(xiàng)和求出，考濾到本題是證明不等式，我們只需證明不等式左邊的式子不大于一個(gè)比右邊的表達(dá)式小的可求和的式子，于是想到可通過引用（2）結(jié)論進(jìn)行放縮，再進(jìn)一步放大成可裂項(xiàng)相消求和的數(shù)列。證明：由（2）得 對(duì)任意的 成立， ， 。證畢。方法總結(jié)一：放縮的尺度越小，需檢驗(yàn)的值越少，越利于快速證出；放縮的目的是為了能裂項(xiàng)相消求和

6、，從而達(dá)到證明的目的。利用不等式恒成立將對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)放縮為二次函數(shù)結(jié)構(gòu)，分離分式；2. 放縮等比求和問題2：證明對(duì)一切正整數(shù)（1）有（2）有分析：這二個(gè)不等式的左邊是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，右邊是一個(gè)常數(shù)，顯然這二個(gè)數(shù)列既不是我們熟悉的等差數(shù)列也不是我們熟悉的等比數(shù)列，我們沒法將其前n項(xiàng)和求出，考濾到本題是證明不等式，我們只需證明不等式左邊的式子不大于一個(gè)比右邊的常數(shù)小的可求和的式子，于是想到可通過放大成可用等比數(shù)列求和公式求和的數(shù)列。兩種常見的放縮等比：1. 時(shí)，；2. 時(shí)， ；例2：（2014新課標(biāo)17）已知數(shù)列 滿足 =1， （）證明 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式；（）證明： 證明：由（）得 ，要證 ，即證：當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)， 綜上可得 對(duì)任意 成立。例3：（2012廣東19）設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，滿足 ， ，且 成等差數(shù)列。（1）求 的值；（2）求數(shù)列 的的通項(xiàng)公式；（3）證明對(duì)一切正整數(shù) ，有 。證明：由（）得 ，要證 ，即證當(dāng) 時(shí)，不等式為，成立；當(dāng) 時(shí)， 綜上可得 對(duì)任意 成立。方法總結(jié)二：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將偽等比數(shù)列放縮為等比數(shù)列；放縮的目的是為了能利用等比數(shù)列的求和公式求和，從而達(dá)到證明的目的。靈活地利用放縮法證明不等式，要求同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中善于觀察，找準(zhǔn)入手點(diǎn)作答，有意識(shí)地去積累和總結(jié)一些常用的放縮模型和放縮方法；數(shù)列是特殊的函數(shù)，在函數(shù)