例析約束條件與目標(biāo)函數(shù)的常見(jiàn)類型

1、例析約束條件與目標(biāo)函數(shù)的常見(jiàn)類型 一、線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù) 例1.設(shè)變量x，y滿足約束條件x+2y22x+y44x-y-1，則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是（ ） a.-，6 b.-，-1 c.-1，6 d.-6， 解析：本題中目標(biāo)函數(shù)為z=3x-y，則可以轉(zhuǎn)化為y=3x-z，-z為直線在y軸上的截距，如圖1，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（，3）時(shí)截距最大，所以-z的最大為，所以z的最小值為-；同理可知，當(dāng)直線y=3x-z過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)截距最小，所以-z的最小值為-6，所以z的最大值為6，所以z目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是-，6，所以選a. 小結(jié)：對(duì)于形如z=mx-ny此類形式的目標(biāo)函數(shù)，可以

2、轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程，求截距的取值范圍，需要注意的是截距與z的聯(lián)系和區(qū)別. 二、線性約束條件，非線性目標(biāo)函數(shù) 例2.設(shè)變量x，y滿足約束條件x+2y22x+y44x-y-1，則目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍是_. 解析：目標(biāo)函數(shù)可理解為點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)a（-1，-1）的連線的斜率的取值范圍，由圖2可知：點(diǎn)（，3）與點(diǎn)a（-1，-1）的連線的斜率最大，此時(shí)值為8，點(diǎn)（2，0）與點(diǎn)a（-1，-1）的連線的斜率最小，此時(shí)值為，所以目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍是-，8. 小結(jié)：對(duì)于形如z=的目標(biāo)函數(shù)，可以理解為兩點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)a（a，b）連線的斜率，結(jié)合圖像得出斜率的取值范圍. 例3.設(shè)變量x，y滿足約束條

3、件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是x+2y22x+y44x-y-1則目標(biāo)函數(shù)x=x2+y2的取值范圍是_. 解析：目標(biāo)函數(shù)可理解為點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)o（0，0）的連線的距離的平方，由圖3可知，最小值為點(diǎn)o（0，0）到直線x+2y-2=0的距離的平方，此時(shí)值為，最大值為點(diǎn)o（0，0）與點(diǎn)（，3）的距離的平方，此時(shí)值為，所以目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2的取值范圍為，. 小結(jié)：對(duì)于形如z=（x-a）2+（y-b）2的目標(biāo)函數(shù)可理解為點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)a（a，b）的連線的距離的平方；另外對(duì)于形如z=的目標(biāo)函數(shù)可理解為點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)a（a，b）的連線的距離. 三、非線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù) 例4.設(shè)變量x，y滿

4、足約束條件x2+y2=4，求z=x+y的取值范圍_. 解析：目標(biāo)函數(shù)z=x+y可轉(zhuǎn)化為y=-x+z，如圖4，可知z為直線y=-x+z在y軸上的截距，可知z的取值范圍是-2，2. 小結(jié)：約束條件是非線性的，可以考慮其幾何意義，本題中可理解為p（x，y）為圓x2+y2=4上的點(diǎn). 四、非線性約束條件，非線性目標(biāo)函數(shù) 例5.設(shè)變量x，y滿足約束條件x2+y2=4，求z=的取值范圍_. 解析：目標(biāo)函數(shù)可理解為點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)a（0，3）連線的斜率的取值范圍，由圖5可知：當(dāng)過(guò)點(diǎn)a（0，3）的直線與圓相切時(shí)斜率分別取到最大值和最小值，設(shè)直線的方程為y=k（x-3），利用點(diǎn)到直線的距離公式可知=2，可知k的值為k=或k=-，所以k的取值范圍為-，所以目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍為-，. 小結(jié)：對(duì)于約束條件是非線性的，可以考慮其幾何意