《航天制導(dǎo)與控制基礎(chǔ)》作業(yè)要點(diǎn)

1、參考資料：【1】衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制，章仁為，北京航空航天大學(xué)出版社?！?】航天器控制原理，周軍，西北工業(yè)大學(xué)出版社。第二章 作業(yè)一、設(shè)剛體b相對(duì)某參考坐標(biāo)系的姿態(tài)可用方向余弦陣 a表示，角速度矢量為試證明:(1) aat= e(2) a =1(3) da/dt = - a證明：設(shè)a12a22a32a13a23a33a1a = a2-a3aata12a22a32a13a11a12a21a31a22a32a23a33一a21a22anaa = a21a1 +a22 a12 *a23 aa31 a11 + a32 a12 + a33a13a11a21 a12a22a3 a23a21 a22 a

2、23a31a21a32 a22a33 a23a11 a31 * a 2 a32 * a 3 a33a21 a31 * a22 a32 * a23 a33a31 + a32 + a33根據(jù)a陣的性質(zhì)，可知aat =(2)由于方向余弦陣a描述的坐標(biāo)系皆為右手正交坐標(biāo)系，由此可以驗(yàn)證(代入 變換矩陣公式即可驗(yàn)證).t .*又由于t .-1-1*a = a / a因此，由可以推知a =1令姿態(tài)相對(duì)參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速為0，轉(zhuǎn)軸為e,則切=切e。如在t時(shí)刻姿態(tài)矩陣為a(t),在t+at時(shí)刻為a(t+3)。如用a，表示姿態(tài)的變化，則有a(t+ t) =a a(t)利用euler軸/角與姿態(tài)矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可

3、以寫(xiě)出a =cos i (1 - cos )eet - sin e當(dāng)att。時(shí)，a = i -，t因此，有a(t+ t) = a(t)- t a(t)a(t t) - a(t)da/dllim。l ; u= - a(t)二、試推導(dǎo)方向余弦陣與euler軸/角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系解：設(shè)轉(zhuǎn)軸為e,轉(zhuǎn)角為 心 對(duì)任意矢量a,旋轉(zhuǎn)后所對(duì)應(yīng)的矢量為a,如圖1 所示。2定義e au 二ea1e aasin1v =e uu =cos u sin va = acos ?e asin uu將式(1卜式(3)代入式可得，a = (1 -cos )(e a)e cos a sin (e a)(2)參考坐標(biāo)系軸”經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)得

4、出對(duì)應(yīng)的本體坐標(biāo)軸xb ,則xb=(1 -cos )(e xr)e cos xr sin (e xr)(6)cose +e2(1 - cos) a(e,) = exey(1 - cos*) -ex sin* exez(1 - cos*) +ey sin*exey(1 - cos ) ez sin cosej(1-cos )eyez(1 - cos ) - ex sinexez(1-cose) -ey sin8 eyez(1 一 cos*)+ ex sin4cos* +e2(1 cose)根據(jù)姿態(tài)矩陣的定義，將本體系各軸按式（6）展開(kāi)并代入，可得證畢3= cos i (1 - cos )eet

5、-sin e由上式可得1e =72sinayz - azy | azx - axz _ayayx 一1costr a -12三、設(shè)固連于某剛體的坐標(biāo)系 oxyz相對(duì)參考坐標(biāo)系oxyz的姿態(tài)可用2-3-1euler角描述,(1)試畫(huà)出兩個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)旋轉(zhuǎn)關(guān)系；(2)試求出對(duì)應(yīng)的姿態(tài)矩陣及其逆矩陣； 試推導(dǎo)以2-3-1euler角描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程解：(1)假設(shè)從坐標(biāo)系oxyz到坐標(biāo)系oxyz經(jīng)過(guò)三次旋轉(zhuǎn)：繞oxyz的oy軸旋轉(zhuǎn)角度9,得到坐標(biāo)系oxiyizi;繞坐標(biāo)系oxiyizi的ozi軸旋轉(zhuǎn)角度叫得到坐標(biāo)系ox2y2z2；繞坐標(biāo)系ox2y2z2的ox2軸旋轉(zhuǎn)角度中，得到坐標(biāo)系oxyz;相對(duì)

6、旋轉(zhuǎn)關(guān)系如下圖所示：xx ,xx7經(jīng)過(guò)“2-3-i”旋轉(zhuǎn)，就可以完成oxyz至|j oxyz的轉(zhuǎn)化，變換矩陣r為:ir = 0：000cos-cos*sin 中 -sin-sin 中 cos中一.0sin,cos-00 cos00i _sin日0 -sinui 00cos9cos - cossin-cossin干 cos中 + sin日sin* cos cos中：cossin sin* + sin日cos* - co普 sin中-sin cossinf sin cos cos- sin-sin sin sin : cos- cos :因?yàn)樽儞Q矩陣r是正交矩陣，因此：r4=rt , 231 =r

7、i( ) ?&( )？ r(u)uz-10l0vi00cos -sin ,-icos十 0 cos00-sin11 一cosw0sin -sin-0sin-cos-0cosi0“im?in9cosj-sinvcos|_ 0sin-cos-01jl01j-sin 10cose jl0l；is +sinw1sin 1 中.+ cos c cosw cosm -sin c cosw四、試寫(xiě)出描述剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的euler方程，并分析在什么情況下，可以使三軸運(yùn)動(dòng)解耦。解：剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的euler方程式（1）所示當(dāng)體坐標(biāo)軸與慣性主軸重合時(shí)，上式可寫(xiě)為:jx切x _(jy - jz)y，jygy -

8、(jz - jx海聲j z 切 z _(jx _jy)0 護(hù)顯然，當(dāng)jx=jy=jz時(shí)，三軸運(yùn)動(dòng)解耦。第四章 作業(yè)一、證明在僅有二體引力的作用下,航天器機(jī)械能守恒。（參見(jiàn)講義p33）【周軍p22】證明：設(shè)r為二體之間的位置關(guān)系矢量, 關(guān)系式：根據(jù)二體問(wèn)題的力學(xué)方程，可得到如下用r =0與上式點(diǎn)乘，可得:.p .r *r =r * r =0r根據(jù)矢量運(yùn)算法則a，a=aa,故上式可寫(xiě)為：.n .rr rr = 0r對(duì)上式進(jìn)行積分，可得證畢由上式可知航天器的機(jī)械能守恒。二、證明在二體問(wèn)題中，航天器的運(yùn)動(dòng)軌道始終處于空間中的一個(gè)固定平面內(nèi)。（參見(jiàn)講義p32）【章仁為p2】證明：在地心第一赤道坐標(biāo)系中，

9、航天器運(yùn)動(dòng)方程為:lxry3rzz 二 一二r將上式的第二方程乘以z減去第三個(gè)方程乘以y,可得:yz - zy = 0同理可得:yz zy = azx - xz = bxy - yx = c其中，a, b, c是積分常數(shù)。進(jìn)一步整理，可以得到:ax by cz = 0證畢故航天器在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。三、證明開(kāi)普勒第二、第三定律。證明：首先證明開(kāi)普勒第二定律?！菊氯蕿閜3】由上圖，可以寫(xiě)出三角形obb .的面積為-1a = rr sin 32因此，有進(jìn)而可得a 1 sin ：11：【sinu一二一rr 二一 rr. ：t 2：t2-：t：a 1a = lim =lim rr - t-o -：t.t

10、-02上咄2r2h上式表明，航天器在單位時(shí)間掃過(guò)的面積是相等的卜面證明開(kāi)普勒第三定律?！菊氯蕿閜5】由于2 二 abt = h 這里nab是整個(gè)橢圓的面積，t為周期。因?yàn)檐壍朗菣E圓軌道，可得:b = a2 -c2 =：；a2(1 -e2) = , aph 二,p從而，可得：3/2 a即:證畢。t2上式表明，衛(wèi)星軌道周期的平方和橢圓軌道半長(zhǎng)軸的三次方成正比。四、設(shè)某地球衛(wèi)星質(zhì)心到地心的距離為 r,橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a,偏心率為e,偏近點(diǎn)角為e,試證明r = a(1 - ecose)。證明：【章仁為p6】bbpae由上圖，可以寫(xiě)出:acose = ae r cosf由軌道運(yùn)動(dòng)方程a(1 - e2)

11、1 ecosf 1 ecosf可得2、,a(1 -e ) -rr cos f 二將上式代入第1式，并整理可得:r = a(1 - ecose)五、什么是軌道六要素，它們是如何確定航天器在空間中位置的？【章仁為p7】解：航天器運(yùn)行的軌道形狀和其在空間的位置， 可以通過(guò)6個(gè)參數(shù)來(lái)表示，簡(jiǎn)稱(chēng) 軌道要素。軌道六要素是描述和確定航天器軌道特征的量。1、軌道傾角i:航天器運(yùn)行軌道所在的平面與赤道面的夾角。2、升交點(diǎn)赤經(jīng)c:以地球自轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，從春分點(diǎn)方向軸量起的開(kāi)交點(diǎn)的經(jīng)度。3、近地點(diǎn)角距s投影在大球上的橢圓軌道近地點(diǎn)于開(kāi)交點(diǎn)對(duì)地心所張的角度， 從開(kāi)交點(diǎn)順航天器運(yùn)行方向量到近地點(diǎn)。4、橢圓軌道的長(zhǎng)半軸a。

12、5、橢圓軌道的偏心率e。6、航天器過(guò)近地點(diǎn)的時(shí)刻tp0這就是航天器的軌道六要素，它們是怎樣確定航天器軌道的呢？首先，軌道傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)建確定航天器軌道平面在空間中的方位；其次，近地點(diǎn)角距與確定橢圓長(zhǎng)軸在軌道平面上的指向；第三，長(zhǎng)半軸a和偏心率e確定橢圓軌道的形狀和大小；第四，航天器過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻tp把時(shí)間和空間聯(lián)系起來(lái)，確定了航天器在軌道上的 位置。六、設(shè)對(duì)地定向的某三軸穩(wěn)定衛(wèi)星沿近圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道角速度為為。固連于星體的本體坐標(biāo)系為慣量主軸坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為j=diag(jx, jy, jz),衛(wèi)星相對(duì)軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)可用2-3-1euler角描述。(參見(jiàn)講義p41)(1)試推導(dǎo)衛(wèi)星完

13、整的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；(2)在小角度假設(shè)下，對(duì)上述模型進(jìn)行線(xiàn)性化；(3)試定量分析軌道高度分別為 2000km和200km時(shí)各姿態(tài)通道間耦合的強(qiáng)弱，并分析產(chǎn)生耦合的原因。解：航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：mx=ix + (iy-iz-ix)00+(iy-iz)w m y = i ybmz =w-(iy tz tx產(chǎn) 0g(iy - ix)*當(dāng)ix iyiz完全相同時(shí)，可得:mx =ix-z-0-jm y = iy6mz =izw + ix5 ?由上式可知，俯仰通道和滾轉(zhuǎn)、偏航通道是沒(méi)有耦合的。滾轉(zhuǎn)通道和偏航通道之間是耦合的,其耦合強(qiáng)弱與航天器的軌道角速度有關(guān)。由于航天器的軌道是圓軌道，有：- -

14、0 -1- / r3因此，軌道高度為2000km與軌道高度為200km的耦合強(qiáng)度之比為：1 j/20003/2003即，10-3/2。產(chǎn)生耦合的原因主要是由于軌道角速度的存在，使得航天器的滾動(dòng)軸和偏航軸經(jīng)過(guò)四分之一周期出現(xiàn)交替，從而出現(xiàn)耦合。七、利用歐拉動(dòng)力學(xué)方程分析10-5nm數(shù)量級(jí)的常值干擾力矩對(duì)自由飛行狀態(tài)下的航天器的姿態(tài)影響。解：解耦后，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化方程為：” = mx ，iy5=my jy=m z可見(jiàn)，航天器的姿態(tài)是外力矩的二次積分， 所以，當(dāng)航天器存在一個(gè)常值的干擾 力矩時(shí)，航天器的姿態(tài)會(huì)隨時(shí)間的平方發(fā)生變化。 因此，即使常值干擾力矩的數(shù) 量級(jí)為10-5n-m,但經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間

15、的積累，也會(huì)出現(xiàn)很大的姿態(tài)偏差， 甚至出現(xiàn)翻 滾。八、航天器重力梯度穩(wěn)定的條件是什么，并簡(jiǎn)要證明之。解：航天器重力梯度才i定的條件是：iy ix izo證明過(guò)程如下: 重力梯度力矩在小角度線(xiàn)性化后，可得到如下表達(dá)式：mx o（iy -iz）：my = -3 2（ix -iz尸mz =0帶入航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程，得到：ix - 4(iy -iz) 0 ： -(ix -iy iz) 0- =023 3(ix - iz) 3 一0iz- -(ix -iy) 2，-(ix -iy iz) o； =0首先，考慮俯仰運(yùn)動(dòng)，具方程為：iyb 3(底-、3 )0顯然，穩(wěn)定性的必要和充分條件是：ix iz然后研究

16、滾轉(zhuǎn)、偏航耦合運(yùn)動(dòng)ix ； 4(iy -iz) ； ： -(ix -iy iz) d =0iz-(ix -iy) 2，-； (ix y iz) 0- 0經(jīng)過(guò)拉式變化后，可得到其特征方程為：:22_ ixs +4(iy -iz)0(i* iy +iz) 8 0s_ (i x _ i y + i z)/ 0s 22 = 0izs2 -(ix -iy)014展開(kāi)整理可得:iivi,12fi,yi、，7其中：p = 2 -3十2一 一一 十,q =4 - -1 - -1 0 穩(wěn)定條件為:i xixizi xizjz人 ix,xxzx zzx2p 0, q 0, p - 4q 0其充分必要條件為：i y

17、 i x, i y i z y x y z結(jié)合前面俯仰通道的穩(wěn)定條件，可得航天器重力梯度穩(wěn)定的條件是:i y ix i z第五章 作業(yè)一、比較地球同步軌道與靜止軌道的異同。【周軍p36】二、求地球靜止軌道的高度和靜止衛(wèi)星的運(yùn)行速度?！菊氯蕿閜29三、如果需要對(duì)某一地區(qū)每30d在同樣的光照條件下觀測(cè)一次，觀測(cè)衛(wèi)星的軌道 為800km圓軌道。試求 t、n、機(jī)參見(jiàn)講義p49。nt( e -)=2 k地球自轉(zhuǎn)角速度8e已知，為7.292x10-5rad/s； k=30;取太陽(yáng)同步圓軌道，軌道面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 q =2jr/365.24=0.0172029 rad/d;根據(jù)軌道高度，算出軌道周期t=2-產(chǎn)-

18、1/2= 6052s,從而可以推知no次回歸系數(shù)，等于n/k。四、分析地球扁率、大氣阻力、日/月引力對(duì)航天器軌道的影響?！局苘妏39 41】五、什么是霍曼轉(zhuǎn)移，有什么特點(diǎn)？參見(jiàn)講義p61。六、平面外軌道轉(zhuǎn)移有幾種方式？比較各種方式的優(yōu)劣。參見(jiàn)講義p64。第六章作 業(yè)一 、簡(jiǎn)述雙錐相交法定姿的原理?！菊氯蕿椤?p191在自旋衛(wèi)星的姿態(tài)確定中， 能否僅根據(jù)太陽(yáng)角和天底角唯一確定自旋姿態(tài)？為什么？不能。 根據(jù)雙錐相交法定姿的原理， 僅根據(jù)太陽(yáng)角和天底角的測(cè)量信息， 可 以得到兩個(gè)姿態(tài)的解。為唯一確定自旋姿態(tài)，必須引入附加測(cè)量信息。三、 在三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的姿態(tài)測(cè)量中， 能否用紅外地球敏感器測(cè)量出星體的偏航姿態(tài)？為什么？不能。 因?yàn)榈厍蚴乔驅(qū)ΨQ(chēng)的， 對(duì)于紅外地球敏感而言， 衛(wèi)星繞地垂線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（偏航運(yùn)動(dòng)）是不可觀的。四 、 證明航天器的自旋穩(wěn)定原理， 分析航天器繞最小慣量軸旋轉(zhuǎn)不穩(wěn)定的原因？【周軍p80】五 、從動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，分析證明章動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性和形式?！局苘?p82】六 、主動(dòng)章動(dòng)阻尼和被動(dòng)章動(dòng)阻尼的區(qū)別是什么？?jī)烧呓钥勺枘岷教炱鞯恼聞?dòng)，不同之處在于：1、被動(dòng)章動(dòng)阻尼不消耗電能和燃料，簡(jiǎn)單易行，而主動(dòng)章動(dòng)阻尼則需要消耗電能和燃料，還需要配置敏感器測(cè)量章動(dòng)，比較復(fù)雜；2、被動(dòng)章動(dòng)阻尼只能應(yīng)用于繞最大慣量軸自旋的衛(wèi)星，而主動(dòng)章動(dòng)阻尼還可應(yīng)