利用導數(shù)求最值

1、利用導數(shù)求最值導數(shù)是研究數(shù)學和其他自然科學的基礎，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問題的有利工具，研究 導數(shù)，有利于對數(shù)學的本質和價值的認識。導數(shù)的工具性已滲透到數(shù)學的很多分支，在函數(shù)的研究屮得到充分的體現(xiàn)，主要涉及到研究曲線的切線問題、函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值、最值等。下面就利用導數(shù)求最值作一闡述，供參考。一、函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，f(x)在a,b上求最大值與最小值的步驟：先求f (x)在(a,b)內的極值；再將f(x)的各極值與f(a)、f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一 個是最小值。求可導函數(shù)極值的步驟：首先：求導數(shù)f (x)；再求導數(shù)下(

2、x)=o的根；最后：檢查下(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取極小值。二、利用導數(shù)求最值例1、設X0,求 Inx1X1(x21)2l(X3)3的最小值。解設f(X).1 In x 1(x1)2l(x1)3.則X23f(x)丄4(x1)2(x1)24(x1(x1)2(x1)X XX(x 1) A2l2(x 1) (x 1) 12(x 1) (122 A 2 1xXXX(X1)32x 12； x令f (x)0 ,由x 0 ,解得x 1o列表:X(0, 1)1(1,)f(x)0+f(x)最小值/由表可知,當x 時,f(x)

3、有最小值1。評注：利用導數(shù)求最值，先確定函數(shù)的極值是關鍵，同時，最值通常應在極值及端點處取得。a, b當函數(shù)f (x)為連續(xù)函數(shù)且在上單調時，其最大值、最小值在端點處取得；當連續(xù)函數(shù)f(x)在(a, b)內只有一個可疑點時，若在這一點處f(x)有極大(小)值，練習1:已知a 0函數(shù)f (x)二(X2 2ax) e* ,當x為何值時，f (k)取得最小值? 并證明你的結論；三、利用導數(shù)求最值的運用(-)求函數(shù)的值域例2、求函數(shù)f(X)5x 2,X 3,4x的值域.解：由x 3 f (x)的定義域為3x4o1 1 因為 y f (x)(5x) (2 x3)(4 x) 50,所以V*x 3 2Gx 4f(x)在3,4上單調遞增，故當x 3時,y最小15 0時，XiV1,X20,f(X)在(*,X2)為減函數(shù),在(X2, +8)為增函數(shù)而當 x v 0 時，f 儀)二 x (x 2a) ex 0;當 x 二 0 時， (x)二 0.x a 1 v1 a2所以當時，f (x)取得最小值。乙2x x2 (Ox 2)o20,得x彳或2解：由題意，xy 1 x . 2