香蕉球的力學原理以及偏離距離

1、第五屆科技活動周論文征集大賽（理科組）論文題目：“香焦球的力學原理以及偏離距離系別：物電系專業(yè)：物理學班級：2004級1班姓名：席先博謝佐杰時間：2007年5月“香蕉球”的力學原理以及偏離距離席先博謝佐杰摘 要：從足球、乒乓球的擊球方式和流體動力性能出發(fā)，建立力學模型，討論了 “香蕉球”的力 學原理以及偏離的距離， 得到了弧線球的運動規(guī)律及其橫向偏離距離的定量結(jié)果矢鍵詞：香蕉球；旋球;流體;力學原理；運動規(guī)律；偏離距離。The Mechanics Principle Of Banana Ball and Its Deflection DistanceXi Xianbo Xie Zuojie(D

2、ept, of Physics & Eelectronic Inpormation Engineering , Neijiang Teachers College Neijiang,SiChuan , 641112 )Abstract The mechanics model is constructed based on the way of hitting football and pingpong and the dynamic properties of fluid . bing forward“ addition forncoetion. T” he discussion also a

3、rrives atthequantitative results of the balls deflection distanee .Key Words banana ball, swirling ball , fluid , mechanics theory , the rule of the balls movement,deflection distanee .1引言所謂“香蕉球”就是在足球場上用腳踢球，而球飛行的軌跡圍繞某一個點公轉(zhuǎn)，呈弧線狀態(tài)，像是香蕉一樣，這種 運行狀態(tài)的球，被稱為“香蕉球”。諸如此類的還有不少，比如“落葉球”，“弧圈球”(乒乓)等等。下面我們來具 體分析這種球發(fā)生

4、彎曲的力學原理以及偏離的距離。2力學模型旋轉(zhuǎn)球在空中E行時，球在向前運動的同時也在旋轉(zhuǎn)。在討論旋轉(zhuǎn)球問題時，我們以球為參照物建立質(zhì)心參考系。在這個質(zhì)心參考系中，流體在運動。如果空氣是理想流體，與球之間沒有相互作用，球的運動與它是否旋轉(zhuǎn)無矢。但實際 空氣是粘性流體，它對旋轉(zhuǎn)球有阻力、同時也受到球的作用，在球各側(cè)面的空氣對球相對速度不同，產(chǎn)生了壓力差，形成 了一個“附加作用力”，使球改變運動方向。而且足球在前進中受到了粘滯阻力和壓差阻力。2.1粘滯阻力f%v,可以寫為f = CiV, Ci在流體緩慢流過靜止的物體或者物體在流體中運動時/流體內(nèi)各部分流動的速度不同/存在粘滯阻力。粘滯阻力的大小與物體

5、的運動速度成正比/即稱為粘滯阻力系數(shù)。斯托克斯測出球形物體在流體中緩慢運動時，所受到的粘滯阻力大小為f = 6phvr上式稱為斯托克斯公式，式中的V為球體前進的速度、r為球體的半徑、n為流體的粘性系數(shù)（粘性系數(shù)由流體自身的性質(zhì)決定，與流體的種類、流體的溫度等一些因素有矢。在國際單位制中，粘性系數(shù)的單位是Pa s） 下面表1給出了空氣在不同溫度下的粘性系數(shù)：名稱空氣空氣空氣溫度OC0010 C20 C0粘性系數(shù)51.71 X 10-51.78X 1051.81 X 10表1空氣粘滯系數(shù)很小，因而粘滯阻力使球體旋轉(zhuǎn)角速度速度減小得慢2.2壓差阻力當流體運動遇到物體時，流體會被物體分開，從物體的不同

6、圖1壓差阻力側(cè)面流過。如果流體具有一定的粘 性，靠近物體的那部分流體的速度將減慢，在物體的后面一側(cè)形成“真空”地帶，離物體較遠處的流體將向這個“真空地帶補充 圖（。此時，物體前后兩部分8】為球體所形成湍流的示意圖，由圖可見在物體后方形成了 “尾流流體內(nèi)單位體積分子數(shù)不同，前后側(cè)面受到流體的壓力不同，使得物體受到流體的阻力，這種阻力稱為壓差阻力。在理論力學中所說的物體運動時受到空氣與速度二次方成正比的阻力”，指的就是空氣對物體的壓差阻力，壓差阻力的大小與物體運動速度的平方成正比，即2 2X V，可以寫為f = C2V壓差阻力的大小與流體的密度、物體的速度有矢?？諝饷芏葹轶w的半徑為r、在垂直于運動

7、方向的面積為A (A=n r2)球體在流體中以速度如圖1所示的壓強和壓力。運動的球體所受壓差阻力大小為：P、球v運動時，受到Vf - Cd Ar2由(2)式知足球受空氣阻力與速度二次方成正比，該阻力的影響使得球的平動速度減小得快。2.3附加作用力流體在層流時，遵從連續(xù)性方程和伯努利方程。連續(xù)性方程是物質(zhì)質(zhì)量守恒的體現(xiàn)，說 明在每一個時刻，空間每一個區(qū)域內(nèi)的質(zhì)量不變，其數(shù)學表達式為r2v2伯努利方程是物質(zhì)能量守恒的體現(xiàn)，說明在流體穩(wěn)定流動的每一個時刻，空間每一個區(qū)域內(nèi)的能量不變，其數(shù)學表達式為.2ViP2+ rgh2+ r2V22式中Pi、P2、hi、112、Vi、V2、分別為流體在1、2兩點處

8、的壓強、高度和速度。根據(jù)連續(xù)性方程示。因為從球體右方流過的氣體速度V比從球體左方流過的氣體速度V2大，所以在球體左方的氣體的壓強R比球體右方氣體的壓強P2小。產(chǎn)生了一個向左的力。結(jié)果足球一面向前 走，一面承受一個把它推向左的力，這個力也就是所說的“附加作用力”造成了彎曲球，也就是所說的香蕉球。3運動規(guī)律以及偏移軌跡方程足球運動員用腳踢球的某個側(cè)面，使得足球旋轉(zhuǎn)著飛出，成為“香蕉球”。假設(shè)這個球是“左旋”的（圖3）、半徑為r，球的質(zhì)心以速度u向前運動，球旋轉(zhuǎn)的角速度為w。選用質(zhì)心參考系，此時空氣整體上以速度v向后運動；與球面接觸的空氣在球面的作用下繞 球轉(zhuǎn)動。在球面處的空氣與球面相對靜止，以角速

9、度3繞球心轉(zhuǎn)動。對于質(zhì)心，球左側(cè)空氣向后方運動相對球的速度加大；球右側(cè)空氣前方運動，相對球的速度減小。球左側(cè)空氣的速度為vu v+r 3、右側(cè)空氣的速度為V2二v - r 3。左側(cè)空氣速度Vi大于右側(cè)空氣速度根據(jù)伯努利方程可知：因為球的左右兩個側(cè)面高度2ViP2+ r gh2+ r22hi、h,基本相同，所以方程可寫為:(11)22 ViV2v= P2+r 2 2P2 - Pi =代入速度V1、V2得：(8)(v+ wrf (v wr F2化簡得：(9)Vp=F2 R = 2rwrv假設(shè)在空氣壓強垂直作用的面積為S （S=n產(chǎn)）根據(jù)壓強的定義可得:R=f(10)由上式可知，足球左側(cè)空氣壓強Pi

10、小于右側(cè)空氣壓強卩2,左旋球受到一個向左的“附加作用力”。F = RS所以這個“附加作用力”為:(26)F = (F2- R)?S VP S代入(9)、S得：F = 2rwvrpr2 = 2rwvpr3(13)根據(jù)牛頓第二定律可得：F = ma ? a(14)則根據(jù)運動微分方程2xm 2f壓dt2(15)因為：2vf 壓=。Ar (16)2色dv根抿01 dt25,(代入(15)式，微分方程可以表不成為：dt(17)dvkv2 (設(shè) k =Cd Ar(18)dt2積分：dt(19)(20)代如初始條件：t =0,v= Vo 得：1G (21)Vo所以：mv(22)m + kvotm+ kqtd

11、s= vdt訕毗護=m|n m(23)我們可以求出飛行的時間為：mg1 -(24)kv根據(jù)邁動微分方程m d2S =Fill Fdt2代入初始條件t=O,S偏=0和（18）積分得：2 mi- rrh代入（13）式得：(27)已知空氣的密度 r = 1.29kg/m3，Cd = 0.24kg/m，A= pr2，k = Cd Ar /2，r = 10.8cm，m = 450g代入數(shù)據(jù)化簡得0.0125swp(28)=71 .40.0125 sVo e（28）式表明，旋轉(zhuǎn)球軌跡的彎曲程度，即偏移距離S偏與球踢岀的初速度Vo、旋轉(zhuǎn)角速度w 和水平前迸距離s有矢。4偏移距離方程的驗證某足球員在一次踢旋球

12、中，以初速度Vo=2Om/s 角速度w=14.6s1,當水平前進距離s=25m時，實際測得偏移距離S偏=5m，而由（33）式計算得到S偏=5.13m （見表2）盡管（28）式是近似解析式，但比較表明，近似結(jié)果比較 好。表2偏離距離S偏與水平前進距離s的理論值（單位：m）S05101520253000.200.811.843.275.137.41由（2）和（27）式可以知道，偏移距離S偏與空氣密度也有矢，在空氣稀薄的地區(qū)，例如墨西哥城，“附加作用力”減小，此外，還與空氣阻力系數(shù)c有矢，c越大，空氣阻力的作用使球前進的速度減小越快，但其偏移距離S偏增加，亦即球的弧線軌跡的曲率增大。從上分析我們可以得到香蕉球的運動軌跡如圖圖4“香蕉球”的運動因此在足球中，當球證判了罰球，射手前面筑起了人墻，大家都很緊張。這時候，射手踢出一個帶有旋轉(zhuǎn)的球，在這彳、“附加作用力”的作用下，球?qū)⑾蛞贿吰D(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)的程度與球旋轉(zhuǎn)角速度和速度的大小有矢。由于其他運動員無法預(yù)先知道球轉(zhuǎn)動的方向、轉(zhuǎn)動的角速度，所以無法判定球?qū)⑷绾芜\動。球就巧妙地繞過人墻，守門員來不及反應(yīng)，一沖入網(wǎng)！參考文獻：1 葛隆祺，葉衛(wèi)軍足球旋轉(zhuǎn)球的運動規(guī)律J.物理通報，1992(2).2 葛隆祺弧線球運動規(guī)律的探討J.