數(shù)形結合思想在向量問題求解中的應用

1、數(shù)形結合思想在向量問題求解中的應用 摘要：新人教a版教材一直堅持從數(shù)和形兩個方面建構和研究向量。所以，我們在研究向量問題或用向量解決問題時，應樹立數(shù)形結合意識，充分挖掘條件的幾何意義。本文舉例說明了數(shù)形結合思想在求解幾類向量問題時的應用。 關鍵詞：數(shù)形結合；向量；求解；應用 中圖分類號：g633.6 文獻標識碼：a 文章編號：1992-7711（2014）09-0140 一、求解向量的模和角度的有關問題 例1. 已知向量，夾角為45，且 =1，2 - =，則 = 分析：這種題目的常見做法是，將2 - =兩邊平方，轉化為向量數(shù)量積的問題。 解：如圖1，作 =2 ， =2 ，aob=45，則 =，

2、 =2，設 =x，根據(jù)余弦定理可得2= 22+x2-22xcos45，得x=3。 例2. 已知兩個單位向量，的夾角為60， =t+（1-t）若 =0，則t= 分析：本題利用數(shù)量積知識能算出t的值，然而利用幾何法更加一目了然。 解：如圖2，作 =，=，= =t+（1-t）即=t，則點a，b，c三點共線。因為 = =1且夾角為60，所以oab為正三角形，所以=1，又因為 =0，即ocob，所以在rtcob中，cob=60，ob=1，所以，bc=2，那么t=2。 二、求解向量最值或取值范圍的問題 例3. （2008.浙江）設，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足（ -）（ -）=0，則 的最

3、大值等于（ ） a. 1 b. 2 c. d. 分析：該題將條件（ -）（ -）=0展開，利用數(shù)量積能得到答案，但利用幾何法更加簡潔。 解：如圖3， =， =， =， =-= -，=-= -則由題意得cacb又oaob，則點o和點c都在以ab為直徑的圓上，所以 max=max=，故選c。 例4. 已知向量=（2，0），=（2，2）， =（cos，sin）則向量與夾角的取值范圍為（ ） a. 0， b. ， c. ， d. ， 分析：本題若按照一般求角的方法來做很難操作，但是利用幾何法非常容易。 解：=+ =（2+2cos，2+2sin），則點a在以點c（2，2）為圓心，半徑為的圓（x-2）+（

4、y-2）上。如圖4，則當oa與圓c相切時， aob分別取得最大、最小值。因為oc=2，ac=2，acoa，所以aoc=30，又cob=45，所以aob最大為75，最小為15，故選d。 三、求解向量恒成立問題 例5. （2005.浙江）已知 ，=1，對任意的tr，恒有 -t -，則（ ） a. b. （ -） c. （ -） d. （ +） （ -） 分析：本題采取代數(shù)法和幾何法都可以解決。代數(shù)法是通過將 -t -兩邊平方，轉化為關于t的一元二次不等式恒成立問題，但計算上容易出錯。 解：如圖5，=，=，有 -t -恒成立，即 -表示點a到向量所在直線的最短距離，所以有 （ -）成立，選c。 例6. （2013.浙江）設abc， p0是邊ab上一定點，滿足p0b=ab，且對于邊ab上任一點p，恒有 ，則（ ） a. abc=90 b. bac=90 c. ab=ac d. ac=bc 分析：本題方法多樣，但是很多學生無從下手，究其原因是對 的本質不了解。而大多采用代數(shù)方法，計算麻煩。 解：利用公式 =，則 化為 如圖6，取bc的中點m，則有22，即，即點m到直線ab的距離以mp0最短，所以有p0mab，取ab中點n，則p0mcn，所以cnab，所以cb=ca，選d。 向量是數(shù)形結合的典范，在平常的教學中，