二次函數(shù)講義解析

1、中國教育培訓(xùn)領(lǐng)軍品牌學(xué)科教師講義講義編號：副校長/組長簽字：簽字日期：學(xué)員編號：年級：初三課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師課 題二次函數(shù)課 型預(yù)習(xí)課 口同步課 口復(fù)習(xí)課 習(xí)題課課次第一次授課日期及時段2014 年 3 月 8 日 15 ： 00 17 ： 00 p.m. (d )教學(xué)目的1、二次函數(shù)的實際應(yīng)用2、建立數(shù)學(xué)模型解決生活實際問題3、二次函數(shù)與中考的命題趨向及解題技巧重難點重點：二次函數(shù)的實際應(yīng)用難點：建立數(shù)學(xué)模型解決生活實際問題教學(xué)內(nèi) 容【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)總結(jié)與鞏固一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如y =+ c （a, b, c是常數(shù),工0）的e里需要強調(diào)：

2、和一元二次方程類似，二次項系數(shù)4工0,而3 c可以為零.一2 .二次函數(shù)丁 = /+以+ 的結(jié)構(gòu)特征：（1）等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.是常數(shù)，。是二次項系數(shù)，人是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：），=冷二的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。1自數(shù)，叫做二次函數(shù)。這二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)40向上(0, 0)y軸x0時，），隨x的增大而增大；x0時，y隨 x的增大而減?。簒 = 0時，y有最小值0.a 0時，y隨x的增大而減?。粁0向上(0, c)y軸x0時，y隨x的增大而增大；x

3、v。時，y隨x的 增大而減小：x = 0時，y有最小值c.a 0向上（力，0）x=hx/?時，y隨x的增大而增大;xv，時,y隨 x的增大而減小；x = 時，），有最小值0.a0向上(/?, k)x=hx人時，y隨x的增大而增大；xv/?時，y隨 x的增大而減小；x = 時，），有最小值k.a0時，拋物線開口向上，對稱軸為 = -3,頂點坐標(biāo)為（-二，上士 . 2a2u 4a當(dāng)x_l時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大：當(dāng)人=-二時，y有最小值 2a2xi2ci4ac-b24a2 .當(dāng)4v0時，拋物線開口向下，對稱軸為1=-2,頂點坐標(biāo)為蚱忙當(dāng)x-2時，），隨x的增大而減?。寒?dāng)人=

4、-2時，），有最大值位二生. 2a2xi ,4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1 .一般式：y = ax2 +bx + c （a, b , c 為常數(shù)，工0）:2 .頂點式：y-a（x-h）1 +k （ a h , k 為常數(shù)，4h0）；3 .兩根式：丁 =。-為）。一占）（“h0, % ,公是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或加點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物 線與x軸有交點，即2-4后0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式 可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項系數(shù)。二次函數(shù) =。/

5、+以+。中，。作為二次項系數(shù)，顯然工0.（1）當(dāng)”0時，拋物線開口向上,（2）當(dāng)0的前提下，當(dāng)0時，-20,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).在“0時，-20,即拋物線的對稱軸在了軸右側(cè)：2ci當(dāng) =0時，-3=0,即拋物線的對稱軸就是y軸：.當(dāng)8v0時，- 2 0,在），軸的右側(cè)則av0,概括的說就是“左同 2a右異”3 .常數(shù)項c當(dāng)c0時，拋物線與），軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正;當(dāng)c = 0時，拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0； （3）當(dāng)cvo時，拋物線與，軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù). 總結(jié)起來，c決定了拋物線與,，軸交

6、點的位置.總之，只要，。都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目 的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式：3 .已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式：4 .已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式.九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)1 .關(guān)于x軸對稱y = ./ +隊+ 0時，圖象與a軸交于

7、兩點從（.軟，0）, b（x2 , 0）（x, *!-,）其中的 %是一元二次方程a/ +法+ c = 0（。工0）的兩根.這兩點間的距離a8 =上一引=.當(dāng) =（）時，圖象與x軸只有一個交點：當(dāng)avo時，圖象與x軸沒有交點.1當(dāng)0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0;2,當(dāng)，0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：a0拋物線與x軸有 兩個交點二次三項式的值可正、 可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根a = 0拋物線與x軸只 有一個交點二次三項式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根a0,開口向上,114/? 1又：丫=*?-x+m=x2-x+ （）2

8、j +m= （x ） 2+.42411 4m 1對稱軸是直線x=2,頂點坐標(biāo)為（上，上二）.224（2） .頂點在x軸上方，4m 1，頂點的縱坐標(biāo)大于0,即041/. m 4一時，頂點在x軸上方.4（3）令x=0,則y=n】.即拋物線y=x2x+m與y軸交點的坐標(biāo)是a (0, m). abx 軸*.b點的縱坐標(biāo)為m.當(dāng) x?x+m=m 時，解得 xi=0, x2=l./.a (0 m) , b (1, m) 2在 rtabao 中，ab=1, oa= | m | .i.saaob = oa ab=4. 2，| m | 1=4,m=82故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2-x+8或y=x2x8.【點

9、評】正確理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)a, b, c的符號與函數(shù)性質(zhì)及位置的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵之處.考點二:綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函 數(shù)的圖像，(試題類型為選擇題)，如：例1 (1)二次函數(shù)y = 4/+/m + c的圖像如圖1,則點用(4)在()aa.第一象限b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (awo)的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號：當(dāng)x=l和x=3 時，函數(shù)值相等：4a+b=0：當(dāng)尸-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個【

10、點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a, b, c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.考點三：考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3), (4, 6)兩點，對稱軸為x = ,求這條拋物線的解析式。 3例1.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(-2, 0)、(x“ 0),且與y軸的正半軸的交點在點(0, 2)的下方.下列結(jié)論：ab0；2a+c0：4a+c0,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()a 1個b. 2個c. 3個d. 4個答案：d會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例2已知：m, n是方程x26x+5=0的兩個實數(shù)根

11、,且men,拋物線y=-x?+bx+c的圖像經(jīng)過點a (m, 0), b (0, n),如圖所示.(1)求這個拋物線的解析式：(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一交點為c,拋物線的頂點為d,試求出點c, d的坐標(biāo)和4bcd的面積;(3) p是線段oc上的一點，過點p作phj_x軸，與拋物線交于h點，若直線bc把pch分成面枳之比為2： 3的兩部分，請求出p點的坐標(biāo).【分析】(1)解方程求出m, n的值.用待定系數(shù)法求出b, c的值.(2)過d作x軸的垂線交x軸于點m,可求出dmc,梯形bdbo, /kboc的面積，用割補法可求出4bcd 的面積.32(3) ph與bc的交點設(shè)為e點，則點e有兩

12、種可能：ehjep,eh=ep.23【解答】(1)解方程x?6x+5=0,得 x=5，x2=l.由 men,有 m=l n=5.所以點a, b的坐標(biāo)分別為a (1, 0) , b (0, 5).將a(l, 0) , b (0, 5)的坐標(biāo)分別代入y=-x2+bx+c, + /? + c = 0, .b = -4,得解這個方程組，得c = 5c = 5所以拋物線的解析式為y=-x2-4x+5.(2)由 y=x?4x+5,令 y=0,得一x?4x+5=0.解這個方程，得占=-5, x2=l.所以點c的坐標(biāo)為(-5, 0),由頂點坐標(biāo)公式計算，得點d (2, 9).過d作x軸的垂線交x軸于m,如圖所

13、示.127則 sdmc=x9x (5 2)=.22s h，mdbo=- x2x (9+5) =14, 2i25sabdc = x 5 x 5= 22一27 25所以 sabcd =s 榜朽mdbo+sadmc - saboc = 14+ = 15.22(3)設(shè)p點的坐標(biāo)為(a, 0)因為線段bc過b, c兩點，所以bc所在的直線方程為y=x+5.那么，ph與直線bc的交點坐標(biāo)為e (a, a+5) , ph與拋物線y=-x?+4x+5的交點坐標(biāo)為h (a, -a2- 4a+5).3 由題意，得eh=ep,即23(a2-4a+5) (a+5) = (a+5).23 解這個方程，得=一或a=-5

14、(舍去).22 eh=：ep,得33(a24a+5) (a+5) = (a+5).22 解這個方程，得2=-二或a=-5 (舍去).332p點的坐標(biāo)為(一一,0)或(一一，0).23方法總結(jié)：1 .數(shù)形結(jié)合是本章主要的數(shù)學(xué)思想，通過畫圖將二次函數(shù)直觀表示出來，根據(jù)函數(shù)圖象，就能知道函數(shù)的開口方 向、頂點坐標(biāo)、對稱軸、變化趨勢、與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)的最值等問題。2 .待定系數(shù)法是本章重要的解題方法，要能通過三個條件確定二次函數(shù)的關(guān)系式；靈活根據(jù)題中的條件，設(shè)出適 合的關(guān)系式。3 .建模思想在本章有重要的應(yīng)用，將實際問題通過設(shè)自變量，建立函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，再利用二次 函數(shù)的性質(zhì)解決問題

15、?！局仉y點關(guān)聯(lián)練習(xí)鞏固與方法總結(jié)】一、二次函數(shù)的定義性質(zhì)1.拋物線y=3x?, y=-3x2, y=1x2+3共有的性質(zhì)是d.y隨x值的增大而增大a.開口向上b.對稱軸是y軸c,都有最高點d.a0,b0,c0）的圖象是，它的頂點坐標(biāo)是，對稱軸是5 .拋物線y=ax2+3與x軸的兩個交點分別為（m, 0）和（n, 0）,則當(dāng)x=m+n時，y的值為 r r6 .如圖9-31,有一個拋物線形拱橋，其橋拱的最大高度為16米，跨度為40米，現(xiàn)把它的示意圖放在平而直角坐 標(biāo)系中，則此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.圖 9-31二、二次函數(shù)圖像的平移（中考命題熱點）l將二次函數(shù)y=3 （x+2）的圖象向右平移3個單位

16、，再向上平移1個單位，所得的圖象的函數(shù)關(guān)系式是a.y=3 (x+5) 2-5b.y=3 (x-1) 2-5c.y=3 (x-d 2-3d.y=3 (x+5)4-3 2,開口方向和開口大小與y=3x?相同，頂點在（0, 3）的拋物線的關(guān)系式是三、二次函數(shù)圖像與其他圖像的結(jié)合（命題熱點）l直線y=ax+c與拋物線丫=a*斗（:的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，可能是下面的（四、二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用1.如圖9-32,正方形abcd邊長是16 cm, p是ab上任意一點（與a、b不重合），qp_ldp,設(shè)ap=x cm, bq=y cm.試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.p圖 9-322某商店經(jīng)銷一種銷

17、售成本為每千克40元的水產(chǎn)品,根據(jù)市.場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售500 千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克.針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤：（2）設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求丫與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到5 000元，銷售單價應(yīng)定為多少？3.4abc是銳角三角形，bc=6,面積為12.點p在ab上，點q在ac上.如圖9-33,正方形pqrs （rs與a在 pq的異側(cè)）的邊長為x,正方形pqrs與aabc的公共部分的面

18、積為y.s1圖 9-33（1）當(dāng)rs落在bc上時，求x：（2）當(dāng)rs不落在bc上時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式;（3）求公共部分面積的最大值.五、中考再現(xiàn)1 （2011上海）拋物線丫=一g+ 2）2-3的頂點坐標(biāo)是（）.（a） （2, -3）； （b） （一2, 3）：（c） （2, 3）：（d） （一2, -3）2 （2011湖南永州）由二次函數(shù)y=2（工一3+1可知（）a.其圖象的開口向下b.其圖象的對稱軸為宜線x=-3c.其最小值為1d.當(dāng)x3時，y隨x的增大而增大3 （2011廣東肇慶）二次函數(shù)y= 廠+2*-5有（）a.最大值b.最小值c.最大值d.最小值4、 （2013中考）在二次函數(shù)y

19、=-j2+2x+l的圖像中,若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是(a) xl (c) x-l5、（2013中考）如圖，拋物線的頂點為（-2,2）,p與y軸交于點（0.3）a,若平移該拋物線使其頂點p沿直線移動到點2,-2）p ,點a的對應(yīng)點為則拋物線上pa段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為（）【課后強化鞏固練習(xí)與方法總結(jié)】一、選擇題1 .二次函數(shù)y 4x 7的頂點坐標(biāo)是()a. (2, -11)b. (-2, 7)c. (2, 11)d. (2, -3)2 .把拋物線y =-2/向上平移1個單位，得到的拋物線是()a. y = -2(x + l)2 b. y = -2(x-l)2 c. y =

20、 -2x2 + d. y = -2x2-3 ,函數(shù))，=依2一和y=勺(kwo)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()4.已知二次函數(shù)y = ad+隊+ c(0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論：a,b同號;當(dāng)x = l和工=3時，函數(shù)值相等;加+ = 0當(dāng))，=一2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個5 .已知二次函數(shù)丁 =。/+法+ c(wo)的頂點坐標(biāo)(-1, -3.2)及部分圖象(如圖), 由圖象可知關(guān)于工的一元二次方程。3+以+。= 0的兩個根分別是$ =1.3和石=( )a . 1.3b. -2. 3c. -0. 3d. -3. 36 .已知二

21、次函數(shù)丁 =，儲+以+。的圖象如圖所示，則點(比,火)在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限77,方程2x一/=二的正根的個數(shù)為() xa. 0個b.1個c.2個.3個8 .已知拋物線過點a(2, 0),b(-l, 0),與y軸交于點c,且0c=2.則這條拋物線的解析式為a. y = x2 -x-2b. y = -x2 +x + 2c. y = x2 一工一2或y = 一/ +x + 2d. y = -x2 一工一2或 y = m+ x + 2二、填空題9 .二次函數(shù)丁 = /+以+ 3的對稱軸是x = 2,則人=10 .已知拋物線y=-2 （x+3） 2+5,如果y隨x的增大

22、而減小，那么x的取值范圍是.11 . 一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（- 1, 2）,當(dāng)xv0時，函數(shù)值y隨自變量工的增大而增大；滿足 上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可12 .拋物線y = 2（x-2）2-6的頂點為c,已知直線y =k+ 3過點c,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形 而積為 o13 .二次函數(shù)y = 2/-4工一1的圖象是由y = 2/+以+。的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到 的,則 b= , c=o14 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段ab上離中心m處5米的地方，橋 的高度是（又取3. 14）.三、解答題:15 .已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x + 3