二次函數(shù)講義_詳細(xì)暑期解析

1、第一講二次函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)歸納：二次函數(shù)的定義：一般地，如果y = ad+h + c（d4c是常數(shù)，w。），那么），叫做x的二次 函數(shù).二次函數(shù)具備三個(gè)條件，缺一不可：（1）是整式方程：（2）是一個(gè)自變量的二次式：（3）二次項(xiàng)系數(shù)不 為。考點(diǎn)：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式例1、 函數(shù)y= （m+應(yīng)）x +2x1是二次函數(shù)，則m=.例2、下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）_ i _1 y=x+ ：y=3 （x1） 2+2；y= （x+3） 22x2；y=r+x. xaa.1個(gè) b.2個(gè) c.3個(gè) d.4個(gè)例3、已知函數(shù)y=ax2+bx+c （其中a, b, c是常數(shù)），當(dāng)a

2、時(shí)，是二次函數(shù)；當(dāng)a_, b時(shí)，是一次函 數(shù)：當(dāng)a , b , c 時(shí)，是正比例函數(shù).例4、某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為40元的某種服裝按50元售出時(shí),每天可以售出300套.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種服裝每提請(qǐng)你得出每天銷售利潤(rùn)y與售價(jià)的函數(shù)表達(dá)式.高1元售價(jià)，銷量就減少5套，如果商場(chǎng)將售價(jià)定為x,例5、如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4, p是bc邊上一點(diǎn)，qp_lap交dc于q,如果bp=x, 4adq的面積 為y,用含x的代數(shù)式表示y.例6.已知：如圖，在rtzabc中，zc=90 , bc=4, ac=8.點(diǎn)d在斜邊ab上，分別作de_lac, dfj_bc, 垂足分別為e、f,得四邊形decf.設(shè)de=x,

3、 df=y.（1） ae用含y的代數(shù)式表示為：ae=：（2）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出x的取值范圍；（3）設(shè)四邊形decf的面積為s,求s與x之間的函數(shù)表達(dá)式.第二講拋物線圖像及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納：考點(diǎn)一、作圖“三步取2 一般地，二次函數(shù)圖像的作法和一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖像的作法過(guò)程相同，都是三 步：列表、描點(diǎn)、連線。規(guī)律技巧：列表時(shí)注意以0為中心，對(duì)稱取值（一般取3-4組值）。觀察圖像，可得拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸。例1（1）作二次函數(shù)y=x?和y=-x2的圖象拋物線y=x2y=-x2對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)開(kāi)口方向位置增減性最值（2）作二次函數(shù)y=2x?+l和y=2x?次的圖象（3）作二次函數(shù)y=

4、 （x+1） 2和y= （-x-1） 2的圖像考點(diǎn)二、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法八八+2,丫 4ac-/r 上日/ b 4ac-lr、口加及 b1）公式法：y =（ix + bx + c =（i x + +, 頂點(diǎn)是（，）,對(duì)稱軸是直線x = i 2a j 4a2a 4a2a（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為丫 =。（工-）2+攵的形式，得到頂點(diǎn)為（刀，），對(duì)稱軸 是直線x = .（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以拋物線上對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分 線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).考點(diǎn)三、次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：（1）二次函數(shù)丫=2乂

5、2但工0）的圖象是一條拋物線，其頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸：當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向 上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，圖象有最低點(diǎn)，且x-i，y隨x的增大而增大，xv-g,y隨x的增大而減?。寒?dāng)a-at y隨x的增大而減小，xv 一二，2a2ay隨x的增大而增大.(3)當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=- =時(shí)，函數(shù)有最小值與上；當(dāng)a+k的圖象. 將y=ax2的圖象向上(c0)或向下(c0)平移個(gè)單位,即可得到y(tǒng)=ax?+c的圖象.其頂點(diǎn)是(0,c) 形狀、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向與拋物線y=ax?相同.將丫=2乂2的圖象向左(h0)平移ihl個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象.其頂點(diǎn)是(h, 0), 對(duì)

6、稱軸是直線x=h,形狀、開(kāi)口方向與拋物線y=ax2相同.將丫=2乂2的圖象向左(h0)平移ihl個(gè)單位，再向上(k0)或向下(k0一40。一+ cvo,其中正確的個(gè)數(shù)有（）a.1個(gè) b. 2個(gè) c 3個(gè) d. 4個(gè)例2、已知二次函數(shù)法+ c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：。+ + cvo；a/?+cl：c0：4n % + cvo；cal其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）a.c.b. (4)d.訓(xùn)練題1 .已知拋物線y=ax4bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號(hào)為(a. a0, b0, c0b. a0, b0, c=0c. a0, b0, b0, c 0b. b -2ac. a-b+c 0d. c

7、0；a+b+c 0a-b+c 0 b.-4ac0 abc 0 ：其中正確的為()a. b. c. d. 4 .當(dāng)bbc,且a+b + c=0,則它的圖象可能是圖所示的（a6 .二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖5所示，那么abc, b -4ac, 2a+b, a+b + c 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有（）a. 4個(gè) b. 3個(gè) c. 2個(gè) d. 1個(gè)7 .二次函數(shù)行ax+bx+c與一次函數(shù)廠ax + c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是圖中的（)b8、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y二ax二+bx與y二二的圖象大致是圖中的（9.已知拋物線y=ax+bx+c（aho）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：a, b同號(hào)：當(dāng)

8、x=l和x = 3時(shí)，函數(shù)值相同；4a+b = 0;其中正確的個(gè)數(shù)是（）b2 -4ac0二次函數(shù)y = 送+法+u0a. 1 b. 2 c. 3 d. 411.已知二次函數(shù)y=a/+bx+c經(jīng)過(guò)一、三、四象限（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第二象限）則直線y=ax+bc不經(jīng)過(guò)（ a.第一象限b.第二象限c.第三象限 d.第四象限12、二次函數(shù)y = “/+x + c（awo）的圖象如圖，下列判斷錯(cuò)誤的是（）a. a 0b. b 0 c. c0d. b2 -4ac 0第四講函數(shù)解析式的求法例一、已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式尸a?+bx+c,然后解三元方程組求解;1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)a (0,

9、 3)、b (1, 3)、c (-b 1)三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式。2.已知拋物線過(guò)a (l 0)和b (4, 0)兩點(diǎn)，交y軸于c點(diǎn)且bc=5,求該二次函數(shù)的解析式。例二、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)a+k求解3.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 8),求該二次函數(shù)的解析式。4.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -3),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)p (2, 0)點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式。例三、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xxj(x-xj.5.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)a (-l 0)

10、, b (3, 0),函數(shù)有最小值一8,求該二次函數(shù)的解析式。6.拋物線y=2x+bx+c與x軸交于(2, 0)、(-3, 0),則該二次函數(shù)的解析式例4、 一次函數(shù)產(chǎn)2x+3,與二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象交于a (m, 5)和b (3, n)兩點(diǎn)，且當(dāng)x=3時(shí), 拋物線取得最值為9.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式：(2)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象：(3)從圖象上觀察，工為何值時(shí)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的值都隨x的增大而增大.(4)當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值？彳列5、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí) 間的關(guān)系用圖中的一條折

11、線表示，西紅柿的種植成本與上市時(shí)間關(guān)系用圖中的拋物線表示.(1)寫(xiě)出圖中 表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式p二f (t),寫(xiě)出圖中表示的種植成本與時(shí)間函數(shù)表達(dá)式q二g (t)：(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本 的單位:元/10二kg,時(shí)間單位：天)第五講二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)）=2+公+。當(dāng)行0時(shí)，二次函數(shù) ）=x2 + x + c就變成了 一元二次方程+以+ c = 0,因?yàn)閤軸可以用尸0表示，所以4/ +陵+ c = 0的 根就是二次函數(shù)y = + bx + c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?？键c(diǎn)二

12、：直線與拋物線的交點(diǎn)（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)點(diǎn) 二次函數(shù)y = +x + c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)修、公，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 /+泣+ c = 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)o o u拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）o 4 = 0 o拋物線與x軸相切：沒(méi)有交點(diǎn)o o拋物線與戈軸相離.（2） 一次函數(shù)）=丘+伏工）的圖像/與二次函數(shù)）=/+ 0（0）的圖像g的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)o,與g有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解時(shí)o/與g只有一個(gè)交點(diǎn)：方程組無(wú)解時(shí)o1與g沒(méi)有交點(diǎn).例1、已知拋物線y

13、=x-2x-8,（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，并求出這兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b,且它的頂點(diǎn)為p,求4abp的面積例2、如圖，直線i經(jīng)過(guò)a （3, 0）, b（0, 3）兩點(diǎn)，且與二次函數(shù)y=x?+l的圖象，在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)c.求:（1） aoc的而積：（2）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)與點(diǎn)a、b組成的三角形的而積.例3、,如圖，拋物線），=/+法一。經(jīng)過(guò)直線），= x 3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)a、b,此拋物線與a軸的另一個(gè)交點(diǎn)為c,拋物線頂點(diǎn)為d.（1）求此拋物線的解析式：（2）點(diǎn)p為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使smc./）=5 ： 4的點(diǎn)p的坐標(biāo)。例4、已知拋物線y=，x2+x-）. 22（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b,求線段ab的長(zhǎng).例5、已知拋物線v=mx+ （32m） x+m2 （mho）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).（1）求m的取值范圍：2）判斷點(diǎn)p （1,