《自動控制原理》（第六版）課件：第4章 線性系統(tǒng)的根軌跡法2

1、第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法3第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-2 根軌跡繪制的基本法則 當(dāng)可變參數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)增益(根軌跡增益 K*)時，所繪制的根軌跡為常規(guī)根軌跡。其相角遵循180O+2k條件，因此稱為180O根軌跡，相應(yīng)的繪制法則也就可以叫做180O根軌跡的繪制法則。 44-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 1： 根軌跡的起點和終點。根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。54-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 2： 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性。 根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點 m 和有限極點 n 中的大者相等，它

2、們是連續(xù)的且對稱于實軸。 64-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 3： 根軌跡的漸近線：當(dāng)nm時，有n-m條根軌跡分支沿著與實軸交角a，交點為a的一組漸近線趨向無窮遠處，且有：210121()(, , , ,)akkn mn m 11nmijijapznm74-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 4： 根軌跡在實軸上的分布：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域為是根軌跡。84-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 5： 根軌跡的分離點與分離角。niimjjpdzd1111 分離點的

3、坐標(biāo) d 是下列方程的解： 式中 zj 為各開環(huán)零點的數(shù)值，pi 為各開環(huán)極點的數(shù)值。21() /kl 分離角為：9 因為根軌跡是對稱的，所以根軌跡的分離點或位于實軸上，或以共扼形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中。 一般情況下，常見的根軌跡分離點是位于實軸上的兩條根軌跡分支的分離點。如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間，其中一個可以是無限極點，則在這兩個極點之間至少存在一個分離點；同樣，如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間，其中一個可以是無限零點，則在這兩個零點之間也至少有一個分離點(會合點)。10 當(dāng) l 條根軌跡分支進入并立即離開分離點時，分離角可由(2k+1)/l來決定，其中k=0,1，

4、2，l-1。 分離角定義為根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切線方向之間的夾角。顯然，當(dāng) l 2時，分離角必為直角。11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，繪制其根軌跡。C(s)C(s)R(s)R(s)- -123*()()()Kss ss 解： 實軸上區(qū)域 0，-1 和 -2，-3是根軌跡。該系統(tǒng)有3條根軌跡分支，且對稱于實軸。12C(s)C(s)R(s)R(s)- -123*()()()Kss ss 一條根軌跡分支起于開環(huán)極點（0），終止于開環(huán)零點（-1），另外兩條根軌跡分支起于開環(huán)極點（-2）和（-3），終止于無窮遠處（無限零點）。兩條終止于無窮遠處的根軌跡的漸進線與實軸的交角為90o和270o，

5、交點坐標(biāo)為：31110 2 3123 1() ()ijijapzn m 13C(s)C(s)R(s)R(s)- -123*()()()Kss ss 實軸區(qū)域 -2，-3 必有一個根軌跡的分離點 d， d 滿足分離點方程：1111123dddd 解得：247.d 1415系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，繪制其根軌跡。解： C(s)C(s)R(s)R(s)- -20 510 51*( .).Ksss 211*()( )()()K sG ssj sj 16法則1：起點： 終點：-2，無窮遠處。法則2：兩條分支。法則3：n-m=1，故只有180o漸近線，它正好與 重合。故 n-m=1 時不用確定根軌跡的漸近線。法

6、則4： 為實軸上的根軌跡。法則5：由 得：j12, jdjdd111121414. 3d58. 0d或(舍去)1718 由兩個極點(實數(shù)極點或復(fù)數(shù)極點)和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當(dāng)K*從零變化到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或圓的一部分。 特別指出，如果此時有限極點是共軛的，則半徑為零點到一個極點的距離。 194-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 6： 根軌跡的起始角與終止角。根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角，以 標(biāo)志；根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零

7、點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角，以 表示。ipiz1121()()();ijijimnpz pp pjjj ik 1121()()()ij ij imnzz zp zjjj ik 012,k ，20系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其根軌跡。解：1）實軸上區(qū)域0，-1.5和-2.5，- 為根軌跡。 2）n-m=1，只有一條180o漸進線。 3）無分離點。 4）起始角與終止角。 15222505150515*(. )()()( )(. )(. )(. )K ssj sjG ss ssjsj 212313418079() ()p 21312341801495() ().z 21-1-2108.590

8、59 37 19 56.5 218056 51959108 5903779.p 2290 121 153 199 63.5 117 21809011763 5153199121149 5.z 23244-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 7：根軌跡與虛軸的交點。 若根軌跡與虛軸相交，則交點上的K*值和值可用勞思判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的 sj ，然后分別令其實部和虛部為零而求得。25 如果根軌跡與正虛軸(或者負(fù)虛軸)有一個以上交點，則應(yīng)采用勞斯表中冪大于2 的 s 偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。 確定根軌跡與虛軸交點處參數(shù)的另一種方法，是將 sj 代入系統(tǒng)閉環(huán)

9、特征方程，并令方程的實部和虛部分別為零，即可求得相應(yīng)的 K* 和。 26)22)(3()()(2*ssssKsHsG例： 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解： （1） 無開環(huán)零點，開環(huán)極點： 在實軸上根軌跡-3，0。jppp1,3,04 , 32127（2）n-m 有 4 條分支趨向無窮遠處。 漸近線與實軸的交點與夾角分別為：（3）分離點：（4）起始角：03111 25421 180451354.(),aoooajjk 01111311jdjddd2 3 .d 71 6 .iop 28（5）根軌跡與虛軸的交點 （應(yīng)用勞思判據(jù)）4325860*( )D sssssK 432018

10、563452042534 0*()/sKssKsKsK 由第一列、第三行元素為零16. 8025204*KK由輔助方程21 2348 16051 095,.ssj 29304-2 根軌跡繪制的基本法則1. 繪制根軌跡的基本法則v 法則法則 8：根之和。 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，在nm且n-m1時，開環(huán)n個極點之和總等于閉環(huán)特征方程n個根之和：njjniips11 si系統(tǒng)閉環(huán)特征根。3122322*()( )()()K sG ss sss 例：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為jpjppp1,1, 3, 0432121z, 3,2, 011421130jja解：法則1 起點：試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。終點：三個無窮

11、遠處。法則3實軸上的根軌跡： 間為根軌跡。 法則4根軌跡的漸近線：n=4，m=1，故有三條漸近線。32)2 , 1 , 0( ) 12(kmnka)0(60ka) 1(180ka)2(300ka33% sys=tf(1,2,1 5 8 6 0)34法則5分離點：實軸上無相鄰極點或相鄰零 點的根軌跡，無分離點。318045(1359026.6 )26.6oooooopop6 .264法則6 確定起始角：02)6(85*234KsKsss02)6(85*234KjKj法則7根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程： 令sj代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：350280)6(5*24*3KK06 . 10 . 7*K令其實部和虛部分別為零，有：有(舍)， ，此時：*0