“一般”與“特殊”.doc

1、“一般”與“特殊”我們常把要研究的對(duì)象分為“一般對(duì)象”或“特殊對(duì)象”，例如，當(dāng)我們把平行四邊形看作一般對(duì)象時(shí)，矩形、菱形和正方形就是其中的幾種特殊對(duì)象，即幾種特殊的平行四邊形 .又如，當(dāng)我們把一次函數(shù) y=kx+b（k0）看作一般對(duì)象時(shí)，正比例函數(shù) y=kx（ k 0）就是一種特殊對(duì)象，即一種特殊的一次函數(shù) .一般對(duì)象與特殊對(duì)象的關(guān)系是：一般對(duì)象中包含了特殊對(duì)象 .一般對(duì)象的性質(zhì)， 指的是其中各個(gè)特殊對(duì)象都具有的共性.例如，任一平行四邊形都有“對(duì)邊相等” “對(duì)角相等”“對(duì)角線互相平分” 等性質(zhì) .特殊對(duì)象存在于一般對(duì)象之中， 特殊對(duì)象不僅具有一般對(duì)象都具有的共性， 而且還有自己的特性 .例如，

2、矩形不僅具有平行四邊形的所有性質(zhì)，而且還有“四個(gè)角都是直角” “兩條對(duì)角線相等”等特性，這些特性并非任一平行四邊形都會(huì)具有 .我們研究對(duì)象時(shí)， 有兩種不同的途徑 .一種是從研究一般對(duì)象發(fā)展到研究特殊對(duì)象，另一種是從研究特殊對(duì)象發(fā)展到研究一般對(duì)象，我們需要根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)难芯客緩?，一、“從一般到特殊”的研究途徑舉例回顧人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第十八章平行四邊形，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)教科書展現(xiàn)的是“從一般到特殊”的研究途徑.這章的第一節(jié)，從認(rèn)識(shí)平行四邊形的定義出發(fā)，以平行四邊形的基本特征（兩組對(duì)邊分別平行）為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出平行四邊形的性質(zhì)，并由性質(zhì)的逆命題推導(dǎo)出判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件（

3、“兩組對(duì)邊分別相等” “兩組對(duì)角分別相等”“對(duì)角線互相平分” “一組對(duì)邊平行且相等”等）.這章的第二節(jié)， 依次認(rèn)識(shí)矩形、 菱形和正方形 .矩形是有一個(gè)角是直角的平行四邊形.相對(duì)于一般平行四邊形， 矩形特殊在“有一個(gè)角是直角”.根據(jù)這一特征，再加上一般平行四邊形的共性， 就能推導(dǎo)出矩形的特性以及判定方法.菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形.相對(duì)于一般平行四邊形， 菱形特殊在“有一組鄰邊相等” ，根據(jù)這一特征，再加上一般平行四邊形的共性， 就能推導(dǎo)出菱形的特性 （“四條邊都相等”“對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角”等）以及判定方法 .正方形是四條邊都相等并且四個(gè)角都相等的四邊形，它既是特

4、殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它不僅具有一般平行四邊形的共性，而且具有矩形和菱形的特性，在認(rèn)識(shí)了平行四邊形、矩形和菱形之后，對(duì)正方形這種特殊性更強(qiáng)的平行四邊形的認(rèn)識(shí)就水到渠成了 .平行四邊形、矩形、菱形和正方形的包含關(guān)系，可以用圖 1來表示.圖 1 直觀地顯示出一般對(duì)象（平行四邊形）包含了特殊對(duì)象（矩形和菱形） ，特殊對(duì)象又包含了更特殊的對(duì)象（正方形） .由圖 l 可以看出，特殊對(duì)象處于一般對(duì)象范圍之內(nèi)的特定區(qū)域，這表示它除具有一般對(duì)象的屬性之外，還具有特定的性質(zhì)，一般地說，如果對(duì)象 4 包含對(duì)象 B，那么 A 的外延（即范圍）大， B 的外延小； A 的內(nèi)涵（即屬性）少， B 的內(nèi)涵多 .縱

5、觀這章的體系結(jié)構(gòu)， “先研究一般平行四邊形，再研究特殊平行四邊形”這一“從一般到特殊”的發(fā)展脈絡(luò)十分清晰，三、“從特殊到一般”的研究途徑舉例回顧人教版初中數(shù)學(xué)教科書第十九章一次函數(shù)第二節(jié)“一次函數(shù)” ，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)教科書展現(xiàn)的是“從特殊到一般”的研究途徑 .這節(jié)的第一小節(jié)，從認(rèn)識(shí)正比例函數(shù)的定義出發(fā)，以正比例函數(shù)的基本對(duì)應(yīng)關(guān)系 y=kx（ k0）為基礎(chǔ)，由描點(diǎn)法得出正比例函數(shù)的圖象是通過原點(diǎn)的一條直線 .而由“ k0 時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限，從左到右上升； k0 時(shí)，隨著 x 的增大 y 也增大； k0 時(shí)，隨著 x 的增大 y 也增大； k0 時(shí)，隨著 x 的增大 y 反而減?。?. 至此，

6、完成了用“定義一圖象一性質(zhì)”這一模式研究一次函數(shù)的過程 .縱觀這節(jié)的體系結(jié)構(gòu)， “先研究正比例函數(shù)這種特殊的一次函數(shù)，再研究一般的一次函數(shù)”這一“從特殊到一般”的發(fā)展脈絡(luò)十分清晰，三 “由淺入深，由簡至繁，由易到難”進(jìn)行研究“從一般到特殊”和“從特殊到一般”是兩種過程相反的研究途徑，但它們并非是“一對(duì)一錯(cuò)”的對(duì)立關(guān)系，它們各自都有用武之地，關(guān)鍵在于要用得恰到好處，要適合研究的對(duì)象，“由淺入深，由簡至繁，由易到難”是一般研究過程的規(guī)律，不論是“從一般到特殊” ，還是“從特殊到一般” ，都應(yīng)遵循這樣的規(guī)律 .例如，矩形、菱形和正方形是特殊的平行四邊形，它們的內(nèi)涵比一般平行四邊形更多，性質(zhì)更復(fù)雜，判定條件更嚴(yán)苛，而且對(duì)它們的研究不能脫離對(duì)一般平行四邊形的認(rèn)識(shí)，因此“從一般到特殊”地研究平行四邊形是符合認(rèn)識(shí)規(guī)律的，又如，正比例函數(shù) y=kx（ k0）是特殊的一次函數(shù)，與一般的一次函數(shù) y=kx+b（k 0）相比，正比例函數(shù)所具有的 b=0 的特征使其在形式上更簡單，由此其圖象的位置也更容易確定（必定過原點(diǎn)） .正是由于這些特性，使正比例函數(shù)成為一次函數(shù)中最簡單的特殊對(duì)象，而且在認(rèn)識(shí)它的基礎(chǔ)上很容易擴(kuò)展到一般的一次函數(shù)，因此“從特殊到一般”地研究一次函數(shù)是符合認(rèn)識(shí)規(guī)律的，俗話說“到什么山唱什么歌” “看菜吃飯，量體裁衣”