課標通用高考數學一輪復習第十一章計數原理概率隨機變量及其分布11.5古典概型學案理

1、11.5古典概型考綱展示1.理解古典概型及其概率計算公式2會計算一些隨機事件所含的基本事件及事件發(fā)生的概率考點1古典概型的簡單問題1.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是_的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_的和答案：(1)互斥(2)基本事件2古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件_(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性_答案：(1)只有有限個(2)相等3如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是_；如果某個事件a包括的結果有m個，那么事件a的概率p(a)_.答案：4古典概型的

2、概率計算公式p(a)_.答案：(1)教材習題改編從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，基本事件共有_個答案：6解析：基本事件有a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，共6個(2)教材習題改編拋擲質地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)正面朝上的點數大于2且小于5的概率為_答案：解析：拋擲質地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)點數1,2,3,4,5,6，共6個基本事件，其中正面朝上的點數大于2且小于5的有3,4，共2個基本事件，所以p.古典概型：關鍵在于基本事件的計數從1,3,5,7中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值大于3的概率是_答案：解析：由題意知，“從1,3,5,7中任取2個不

3、同的數”所包含的基本事件為(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6個，滿足條件的事件包含的基本事件為(1,5)，(1,7)，(3,7)，共3個，所以所求的概率p.典題1(1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球、5個紅球從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為()a. b. c. d1答案b解析從15個球中任取2個球共有c種取法，其中有1個紅球、1個白球的情況有cc50(種)，所以p.(2)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參

4、加演講社團230從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學a1，a2，a3，a4，a5,3名女同學b1，b2，b3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求a1被選中且b1未被選中的概率解由調查數據可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有453015(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為p.從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a3，b1，a

5、3，b2，a3，b3，a4，b1，a4，b2，a4，b3，a5，b1，a5，b2，a5，b3，共15個根據題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的事件“a1被選中且b1未被選中”所包含的基本事件有：a1，b2，a1，b3，共2個因此a1被選中且b1未被選中的概率為p.點石成金古典概型中基本事件的兩種探求方法(1)列舉法適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的情況(2)樹狀圖法適合較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如(1,2)和(2,1)相同考點2較復雜古典概型的概率古典概型：基本事件的個數；古典概

6、型概率公式(1)2015云南昆明模擬拋擲兩顆相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點數之積等于12的概率為_答案：解析：拋擲兩顆相同的正方體骰子，共有36種等可能的結果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)點數之積等于12的結果有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4種，故所求事件的概率為.(2)小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數碼由4個數字2,4,6,8按一定順序構成，小明不小心忘記了密碼中4個數字的順序，隨機地輸入由2,4,6,8組成的一個四位數，不能打開鎖的概率是_答案：解析：由2,4,6,8可以組

7、成24個四位數(每個數位上的數都不相同)，其中只有一個能打開鎖，能打開鎖的概率為，所以不能打開鎖的概率為1.典題2某市a，b兩所中學的學生組隊參加辯論賽，a中學推薦了3名男生、2名女生，b中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求a中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數不少于2人的概率解(1)由題意，參加集訓的男生、女生各有6名參賽學生全從b中學抽取(等價于a中學沒有學生入選代表隊)的概率為，因此，a中學至少有1名學生入

8、選代表隊的概率為1.(2)設“參賽的4人中女生不少于2人”為事件a，記“參賽女生有2人”為事件b，“參賽女生有3人”為事件c.則p(b)，p(c).由互斥事件的概率加法，得p(a)p(b)p(c)，故所求事件的概率為.點石成金1.求較復雜事件的概率問題，解題關鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉化為概率模型，必要時將所求事件轉化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或對立事件的概率公式求解2注意區(qū)別排列與組合，以及計數原理的正確使用.為振興旅游業(yè)，四川省面向國內發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內人士發(fā)行的是

9、熊貓銀卡(簡稱銀卡)某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝景區(qū)旅游，其中 是省外游客，其余是省內游客在省外游客中有 持金卡，在省內游客中有 持銀卡(1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數相等的概率解：(1)由題意，得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內游客有9人，其中6人持銀卡設事件a為“采訪該團2人，恰有1人持銀卡”，則p(a)，所以采訪該團2人，恰有1人持銀卡的概率是.(2)設事件b為“采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數相等”，可以分為事件b1為“采訪該團2人，持金卡0人，持銀卡0人”，或事件b2為“采訪該

10、團2人，持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況則p(b)p(b1)p(b2)，所以采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數相等的概率是.考點3古典概型的交匯命題考情聚焦古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題的角度新穎，考查知識全面，能力要求較高主要有以下幾個命題角度：角度一古典概型與平面向量相結合典題3已知向量a(x，1)，b(3，y)，其中x隨機選自集合1,1,3，y隨機選自集合1,3,9(1)求ab的概率；(2)求ab的概率解由題意，得(x，y)所有的基本事件為(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)

11、，共9個(1)設“ab”為事件a，則xy3.事件a包含的基本事件有(1,3)，共1個故ab的概率為p(a).(2)設“ab”為事件b，則y3x.事件b包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2個故ab的概率為p(b).角度二古典概型與直線、圓相結合典題42017河南洛陽統(tǒng)考將一顆骰子先后拋擲兩次分別得到點數a，b，則直線axby0與圓(x2)2y22有公共點的概率為_答案解析依題意，將一顆骰子先后拋擲兩次得到的點數所形成的數組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36種，其中滿足直線axby0與圓(x2)2y22有公共點，即滿足 ，即a2b2的數組(a，b)有(1,1

12、)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121(種)，因此所求的概率為.角度三古典概型與函數相結合典題5已知關于x的一元二次函數f(x)ax24bx1.(1)設集合p1,2,3和q1,1,2,3,4，分別從集合p和q中隨機取一個數作為a和b，求函數yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數的概率；(2)設點(a，b)是區(qū)域內的隨機點，求函數yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數的概率解(1)函數f(x)ax24bx1的圖象的對稱軸為x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數，當且僅當a0且1，即2ba.若a1，則b1；若a2，則b1,1；若a3，則b1,1.事件包含基本事件的

13、個數是1225，所求事件的概率為.(2)由(1)知，當且僅當2ba且a0時，函數f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數，依條件可知，試驗的全部結果所構成的區(qū)域為.由得交點坐標為，所求事件的概率為p.角度四古典概型與統(tǒng)計相結合典題6某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工根據這50名職工對該部門的評分，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區(qū)間為40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在4

14、0,50)的概率解(1)因為(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在50,60)的有500.006103(人)，記為a1，a2，a3；受訪職工中評分在40,50)的有500.004102(人)，記為b1，b2.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，

15、b1，b2又因為所抽取2人的評分都在40,50)的結果有1種，即b1，b2，故所求的概率為.點石成金解決與古典概型交匯命題的關注點解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算. 方法技巧1.確定基本事件的方法(1)當基本事件總數較少時，可用列舉法計算；(2)當基本事件總數較多時，可用列表法、樹狀圖法2較復雜事件的概率可靈活運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式簡化運算3概率的一般加法公式：p(ab)p(a)p(b)p(ab)公式使用中要注意：(1)公式的作用是求ab的概率，當ab時，a，b互斥

16、，此時p(ab)0，所以p(ab)p(a)p(b)；(2)要計算p(ab)，需要求p(a)、p(b)，更重要的是把握事件ab，并求其概率；(3)該公式可以看作一個方程，知三可求一易錯防范古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數和事件包括的基本事件個數時，它們是不是等可能的 真題演練集訓 12016江蘇卷將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數之和小于10的概率是_答案：解析：解法一：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數有36種結果，其中點數之和小于10的有30種，故所求概率為.解法二：將

17、一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點數有36種結果，其中點數之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1.22015新課標全國卷某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從a，b兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到a地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和b地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表a地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖b地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90，100頻數2814106(1)在圖中作出b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方

18、圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由解：(1)如圖所示通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，b地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于a地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；b地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而a地區(qū)用戶滿意度評分比較分散(2)a地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大記ca表示事件：“a地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；cb表示事件：“b地

19、區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”由直方圖，得p(ca)的估計值為(0.010.020.03)100.6，p(cb)的估計值為(0.0050.02)100.25.所以a地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大32016天津卷某小組共10人，利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會(1)設a為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件a發(fā)生的概率；(2)設x為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量x的分布列和數學期望解：(1)由已知，有p(a).所以事件a發(fā)生的概率為.(2)隨機變量x的所有可能取值為0

20、,1,2.p(x0)，p(x1)，p(x2).所以，隨機變量x的分布列為x012p隨機變量x的數學期望e(x)0121. 課外拓展閱讀 古典概型與平面向量、幾何、統(tǒng)計等知識的綜合 古典概型的考查可以和平面向量、幾何、統(tǒng)計等知識相互交匯，在解題中要重視古典概型的計算，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數，然后正確使用古典概型的概率計算公式進行計算典例1甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條，則這2條棱互相垂直的概率為()a. b. c. d.思路分析解析由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條，乙從這9條棱中任選一條

21、，共有99 81(種)結果，滿足條件的事件是這兩條棱互相垂直，所有可能情況是：當甲選底面上的一條直角邊時，乙有5種選法，共有4條直角邊，則共有20種結果；當甲選底面上的一條斜邊時，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊，則共有6種結果；當甲選一條側棱時，乙有6種選法，共有3條側棱，則共有18種結果，綜上所述，共有2061844(種)結果，故2條棱互相垂直的概率是.答案c溫馨提示以棱柱、棱錐及異面直線、距離等立體幾何知識為載體的古典概型求解是高考中的重要題型，題目綜合性較強，有一定的難度，解題的關鍵是要考慮所有的位置關系典例2設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1,3)(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”發(fā)生的概率解(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6故(m，n)所有可能的取法共3