浙大遠程工程數(shù)學離線作業(yè)

1、工程數(shù)學 答案1.1計算下列各式：（2）、（a-bi）3解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3 =a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；（3）、 ； 解=1.2、證明下列關于共軛復數(shù)的運算性質(zhì)：（1）； 證()-i() =（2） 證 = = =- =()() =- 即左邊=右邊，得證。（3）=(z20) 證 =（） = =1.4、將直線方程ax+by+c=0 (a2+b20)寫成復數(shù)形式提示：記x+iy=z z+a+b=0，其中a=a+ib，b=2c(實數(shù)) 。 解 由x=，y=代入直線方程，得 ()+()+c=0, az+-bi()+2c=0,(a- ib)z+(

2、a+ib)+2c=0,故z+a+b=0，其中a=a+ib，b=2c1.5、將圓周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a0)寫成復數(shù)形式（即用z與來表示，其中z=x+iy） 解：x=，y=，x2+y2=z代入圓周方程，得 az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0故az+b+c=0，其中a=2a，c=2d均為實數(shù)，b=b+ic 。1.6求下列復數(shù)的模與輔角主值：（1）、=2， 解 arg()=arctan= 。1.8將下列各復數(shù)寫成三角表示式：（2）、i； 解 =1,arg()=arctan()= -a故i=+i 。1.10、解方程：z3+1=0 解 方程z

3、3+1=0，即z3=-1，它的解是z=，由開方公式計算得 z=+i，k=0,1,2即z0=+i，z1=1，z2=+ i=i 。1.11指出下列不等式所確定的區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的？是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域？（1）、23；解 圓環(huán)、有界、多連域。（3）、arg z；解 圓環(huán)的一部分、單連域、有界。（5）、re z21； 解 x2-y21無界、單連域。（7）、；解 從原點出發(fā)的兩條半射線所成的區(qū)域、無界、單連域；2.2下列函數(shù)在何處可導？何處不可導？何處解析？何處不解析？（1）f(z)=z2； 解 f(z)=z2=zz=z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+

4、y2)， 這里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。 ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。 要ux= vy，uy =-vx，當且僅當x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均連續(xù)， 故f(z)=z2僅在z=0可導；z0不可導；復平面上處處不解析；（2）、f(z)= x2+ iy2； 解 這里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四個偏導數(shù)均連續(xù)，但ux= vy，uy= -vx僅在x=y處成立，故f(z)僅在x=y上可導，其余點均不可導，復平面上處處不解析；2.3確定下列函

5、數(shù)的解析區(qū)域和奇點，并求出導數(shù)：（1）、； 解 f(z)=是有理函數(shù)，除去分母為0的點外處處解析，故全平面除去點z=1及z=-1的區(qū)域為f(z)的解析區(qū)域，奇點為z=1，f(z)的導數(shù)為：f(z)=)=則可推出=0，即u=c(常數(shù))。故f(z)必為d中常數(shù)。2.9由下列條件求解析函數(shù)f(z)=u+iv（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)； 解 因=3+6xy-3 ，所有v=dy=+3x-+w（x），又=6xy+3+w（x）,而=3-3，所以w（x）=-3，則w（x）=-+c。故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+c) = (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy

6、)-2(1+i)-2x(1-i)+ci =z(1-i)()-2xyiiz(1-i)+ci=(1-i)z(-2xyi)+ci =（1-i）z3+ci（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i； 解 因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有=2(x-1)，v=dx=+（y），又=2y，而=（y），所以（y）=2y，（y）=+c，則v=+c，故f(z)=2y+i(+c)，由f(2)=i得f(2)=i(1+c)=,推出c=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0； 解 因=(x)+，=(-x)，由f(z)的解析性，有=，=(x)+。則v(x,y

7、)=dx+dy+c =+dy+c=xdy-dy+dy)+c=+c=x-+c，故f(z)=-i()+ic。由f(0)=0知c=0即f(z)=（x）+ i()=zez 。2.13試解方程：（1）、=1+i 解 =1+i=2（+i）=2= （4）、+=0 解 由題設知=-1,z=k-，k為整數(shù) 。2.14求下列各式的值：（1）、解 =；（3）、； = =27(-i)。第三章3.1、計算機積分dz積分路徑為（1）自原點至1+i的直線段；（2）自原點沿實軸至1，再由1沿直線向上至1+i；（3）自原點沿虛軸至i，再由i沿水平方向向右至1+i。解（1）dz=dt=i(1+i)=； 注：直線段的參數(shù)方程為z=

8、(1+i)t，0t1 。（2）c1：y=0,dy=o,dz=dx, c2：x=1,dx=o,dz=idy, dz=+=dx+idy=+i；（3） :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。 dz=+=dy+dx=3.2、計算積分dz的值，其中c為 （1）=2；（2）=4。解 令z=r,則dz=2i 。當r=2時，為4i；當r=4時，為8i 。3.6、計算dz，其中c為圓周=2； 解 f(z)=在=2內(nèi)有兩個奇點z=0,1,分別作以0,1為中心的圓周c1, c2, c1與 c2不相交，則dz=dz-dz=2i-2i=03.8計算下列積分值：（1）、 dz； 解 dz =i0=1- ；（3）

9、、dz； 解 dz=(3+) 0i =3= 3。3.10計算下列積分：（1）、dz； 解 dz =2i=2i（2）、dz； 解dz =2（2）=4i（4）、(r1)； 解 為0；r1時n=1為2i，n1為0 。3.11、計算i=其中c是（1）=1；（2）=1；（3）=；（4）=3。 解（1）被積函數(shù)在1內(nèi)僅有一個奇點z=，故i=dz=2 ()=i；（2）被積函數(shù)在1內(nèi)僅有一個奇點z=2，故i=dz=2 ()=i；（3）被積函數(shù)在內(nèi)處處解析，故i=0；（4）、被積函數(shù)在3內(nèi)有兩個奇點z= ，z=2由復合閉路原理，知i= +=dz +dz= =i，其中c1為=1，c2為=1。3.13計算下列積分：

10、（2）、dz； 解 dz=2（）=2=0（3）、dz，其中：=2，：=3。解 dz=dz+dz =2 ()”2 ()”= (-1) (-1)=0第四章4.2下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？（1）、；（2）、； 解（1）因=發(fā)散。故發(fā)散。 （2）=收斂；故絕對收斂。4.4試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑：（1）、；（2）、； 解 （1）= =1，故r=1。（2）=e，故r=4.5將下列各函數(shù)展開為z的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域：（1）、；（3）、；（5）、sin2z；解 （1）=，原點到所有奇點的距離最小值為1，故1 。（3）=()=()=，1 （5）sin2z=， 。4.7求下列函數(shù)在指定點z0處的泰

11、勒展示：（1）、，z0=1；（2）、，z0=1； 解（1）=（）=，1 (2) =+ =+， 4.8將下列各函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)展開為洛朗級數(shù)：（1）、，01，1+；（3）、，12（4）、，0+； 解 （1）01時，=(1-)=，當1+時，01，=(1+)=（1+）=+=+ 。 （3）= =+，12 。（4）0+時，=+= 。4.9將=在z=1處展開為洛朗級數(shù)解 f(z)=。f(z)的奇點為z1=1,z2=2。f(z) 在01與1解析。當01時 f(z)=當1時01，f(z)=+ =+第五章5.3、下列各函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（如是極點，指出它的階數(shù)）：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；

12、（5）、；（6）、-； 解 （1）令f(z)=，z=0，2i為f(z)的奇點，因=，所以z=0為簡單極點，又=，所以z=2i為二階極點，同理z=亦為二階極點。 （2）因=1，所以z=0為二階極點。 （3）令f(z)=，則的零點為z=k-，k=0，1，2，因（）=（ =0，所以 都為簡單極點 。（4）令f(z)=，=，則的零點為z=, k=0，1，2，。因=（z+）=(1+)，z=0為的三階零點，故f(z)的三階極點。又）=(2z()+)0，故z=為的一階零點，即為f(z)的簡單極點。 （5）令f(z)=，z=0為其孤立奇點。因=1，所以z=0為可去奇點。 （6）令f(z)=-=，z=0和（）為

13、其孤立奇點。因=，所以z=0為可去奇點，又=()，所以z= ( k=0，1，2，)為的一階零點，即為f(z)的簡單極點。5.5、如果與g(z)是以z0為零點的兩個不恒為零的解析函數(shù)，則=(或兩端均為)。提示：將寫成的形式，再討論。證 設為的m階零點，為g(z)的n階零點，則=，在0，m1，g(z)=，在0，n1。因而 =，=當m=n時，（1）式=（2）式，當mn時，（1）式=（2）式=0，當mn時，（1）式=（2）式= 。5.7求出下列函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)：（1）、； （2）、；（5）、；（6）、；解（1）令=，孤立奇點僅有0。res，0=0（2）z=2為簡單極點，z=i為二階極點。res，

14、2=，res，i=。同理可計算res，-i=。（5）的孤立奇點為z=0，=k(k=1，2，)，其中，z=0為二階極點，這是由于=，在z=0處解析。且0所以res，0=0，易知=k(k=1，2，)為簡單極點，所以res，k(k=1，2，)為簡單極點，所以res，k=(k=1，2，)。（6）=在整個復平面上解析，無孤立奇點。5.8利用留數(shù)計算下列積分：（1）、=0；（2）、dz=；（4）、=-2解（1）=2res，0=2=2=2=2=2=0（2）dz=2 res，1=2=。（4）=2=2=25.12求下列各積分之值：（1）、()；（3）、d()；（4）、d；解（1）dz=dz=dz。令=，其中a=

15、a，=+為實系數(shù)二次方程=0的兩相異實根，顯然1,1，被積函數(shù)在=1上無奇點，在單位圓內(nèi)部又是一個簡單極點z=故res，=，即=2 res，=（3）=它共有兩個二階極點，且（）在實軸上無奇點，在上半平面僅有二階極點ai，所以=2 res，=2=2=（4）不難驗證=滿足若爾當引理條件，函數(shù)有兩個一階極點-2+i，-2-i。res，-2+i=，d=2 res，-2+i=()。故d=第八章8.4求下列函數(shù)的傅氏變換，并證明所列的積分等式。（1）、f(t)= ；（2）、f(t)=；（3）、f(t)解（1）f(t)=dt=dt+dt=dt+dt=2jdt=1-（2）f()=dt=dt=dt=（3）f()

16、=dt=dt=dt-dt=-2dt=()tdt=()。8.5求下列函數(shù)的 傅氏變換，并證明所列的積分等式。（2）、f(t)=證明d=解（2）f()=dt=dt=dt=2jdt=jdt=j()=j()=8.13證明下列各式：（1）、f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)；8.14、設f1(t)= f2(t)=求f1(t)*f2(t)。 解 f1(t)*f2(t)=dt當t0時，f1(t)*f2(t)=0；當t0時，f1(t)*f2(t)=dt=1故f1(t)*f2(t)=8.15設f1()=ff1(t)， f2)=f2(t)，證明：f1(t)f2(t)= f1()*f2)。證 f1()

17、*f2)=du=dtdu=du=dt=dt=dt=dt=f1(t)f2(t)第九章9.1求下列函數(shù)的拉氏變換：（1）、f(t)=；（2）、f(t)=解（1） f(s)=f(t)=dt=3dtdt=+ （2）f(s)=f(t)=dt=3dt+dt=+dt=(1-)+dt=(1-)+()=(1-)+() (re s0) =(1-)+()=(1-)-9.2求下列函數(shù)的拉氏變換：（1）、；（4）、；解（1）=dt=dt=(re s0) =（4）=dt=dt=t-dt =dt (re s0) =9.3求下列函數(shù)的拉氏變換：（1）、t2+3t+2；（3）、；（5）、t；解（1）由=及1=有=+（3）=2t

18、+=+= （5）由微積分性質(zhì)有：t=()s=()=9.4利用拉氏變換的性質(zhì)，計算：（1）、f(t)=t；（2）、f(t)=t；解（1）=t=（2）=t=()=9.5利用拉氏變換性質(zhì)，計算：（2）、=；（4）、=；解（2）=，令=f(t)=()=(tf(t)= (-tf(t)，故=f(t)=（4）由于=，由積分的像函數(shù)性質(zhì)=dt=9.6、利用像函數(shù)的積分性質(zhì)，計算；（1）、f(t)=；（2）dt；解（1）（）=，=ds=d()=arctan（2）=，dt=ds=9.8求下列像函數(shù)f（s）的拉氏變換：（5）、；（7）、；解（5）= （7）=+=t+(t-2)u(t-2)=9.11利用卷積定理證明下

19、列等式：（1）、=f(t)*u(t)=；（2）、=(a0)。證（1）f(t)*u(t)=f(t)*u(t)=f(s)，f(t)*u(t)=（2）f(s)=由=，=有f(t)=*=dt=dt=+=+=教材：常微分方程第二版p51第一章2、驗證函數(shù)y=cx+(c是常數(shù))和y=2都是方程y=xy+的解。解 證明：y= cx+，y=cxy+=cx+=y。 y=2，y=xy+=2=y。4、驗證函數(shù)y=c1+c2(k、c1、c2是常數(shù))是方程y”+k2y=0的解。證明：y=c1+c2y=c1k+ c2ky”= c1k2 c2k2 y”+ k2y= c1k2 c2k2+ c1k2+ c2k2 。6、dx+y

20、； 解：=及y1。8、y=(1-y2) 解：=+c=c=ccos2xy=，y(0)=2c=y= 。9、求下列齊次方程的解 ； 解：令y=ux,=-=+c=cx=cx=cx= =c，及y=x。10、求下列齊次方程的解 =(1+)； 解：=(1+)，令y=uxx+u=u(1+)x=udu=dx=+c=cx，u=，x0y=x。12、求下列齊次方程的解 =2+，y(1)=4；解：令y=ux，u0x+u=2+u=dx=+c=cx=cx，y(1)=4=c，c=x=2+。13、求下列齊次方程的解 xy-y=，y(1)=； 解：令y=ux，x(x)-ux=若x0，= arc=+c；若x0，= arc=+c。y

21、(1)=ux1=u x0 arc=+c，c=arc= 。 14、求下列一階線性方程或伯努利方程的解 =； 解：y+y=，p(x)=，f(x)=，=y=()=()=+ 。15、求下列一階線性方程或伯努利方程的解 +2xy+x=，y(0)=2； 解：+2xy+x=-x，p(x)=2x，f(x)=-x，=y=()=(x-)=(c+x)，y(0)=c=2c=-17、求下列一階線性方程或伯努利方程的解 -=0， y(0)=1； 解：兩邊乘以y，y-=0，令z=x。p(x)=，f(x)=x=，這里初值是x=0取1。z=()=()，=()。y(0)=10。y(0)=1-1+c=1c=2y= 。19、驗證下列

22、方程為全微分方程或找出積分因子，然后求其解（5ydx+）+dx=0解：（5ydx+）+dx=0=，=是全微分方程，u(x,y)=+=-+-=+-=c +=c20、驗證下列方程為全微分方程或找出積分因子，然后求其解 2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0，y(0)=1。解：(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0=2，=2全微分方程，u（x,y）=+=x-+-+2xy-2x-+=-+2xy-+=0-+4xy+=0p106 第二章7、求下列方程的通解或特解y”-4y=0解：-4=0，=0，=4，通解為y=+。8、求下列方程的通解或特解y”+2y=0解：+2=0，=，=，通解為y=+ c2 。9、求下列方程的通解或特解y”-2y+y=0解：-2+1=0 =1通解為y=( c1+ c2x)。10、求下列方程的通解或特解y”+4y+13y=0 解：+4+13=0，=-2+3i，=-2-3i，通解為（c1+ c2）。11、求下列方程的通解或特解y”-5y+4y=0，y，y。 解：-5+4=0，=1，=4，則通解為y=+，于是我們有y=+4，代入初始條件，于是有，那么解為：y=4+18、求下列