課程設(shè)計（論文）基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設(shè)計

1、基于巴特沃斯法數(shù)字iir帶阻濾波器的設(shè)計 1、 數(shù)字帶阻iir濾波器設(shè)計iir數(shù)字濾波器在很多領(lǐng)域中有著廣闊的應用。與fir數(shù)字濾波器相比,它可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性,所用存儲單元少,經(jīng)濟而效率高,在相同門級規(guī)模和相同時鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種設(shè)計實現(xiàn)iir數(shù)字濾波器的方法。設(shè)計步驟如下：步驟1：將數(shù)字濾波器h(z)的技術(shù)指標p和s，通過tan(/2)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器g(s)的技術(shù)指標p和s，作歸一化處理后，得到p1，ss/p；步驟2：化解為模擬原型濾波器g(s)的技術(shù)指標；步驟3：設(shè)計模擬原型濾波器g(p)；步驟4：將g(p)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)g(s)；步

2、驟5：將g(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)h(z)，s=(z1)(z+1)。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節(jié)主要討論通過iir數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換設(shè)計法和iir數(shù)字濾波器的直接設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器其轉(zhuǎn)換方法主要有3種：一是直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器；二是先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成相應的數(shù)字濾波器；三是將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再通過變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。數(shù)字iir濾波器的設(shè)計結(jié)構(gòu)如圖：模擬低通原型頻率變換模擬離散化iir數(shù)字濾波器圖1、iir濾波器的設(shè)計步驟2、帶阻濾

3、波器的設(shè)計規(guī)范： 本設(shè)計中分別用h(t)、h(s)、ha(j)表示模擬濾波器的單位脈沖相應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關(guān)系如下：ha(s) = ltha(t) =edtha(j)=ftha(t) =edt可以用h(t)、h(s)、ha(j)中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計模擬濾波器時，設(shè)計指標一般由幅頻相應函數(shù)|ha(j)|給出，而模擬濾波器設(shè)計就是根據(jù)設(shè)計指標，求系統(tǒng)函數(shù)h(s)。工程實際中通常用所謂的損耗函數(shù)即衰減函數(shù)a（）來描述濾波器的幅頻響應特性，對歸一化幅頻響應函數(shù)，a（）定義如下：a（）=-20lg|ha(j)|=-10lg|ha(j)

4、| db模擬帶阻濾波器的設(shè)計指標參數(shù)有、。和分別表示帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率；和分別表示帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度 圖2、帶阻濾波器帶阻濾波器的技術(shù)指標要求必須是幾何對稱的。如果帶阻濾波器不是幾何對稱的，為了使對稱的帶阻濾波器滿足最小阻帶衰減要求，在由非對稱的帶阻濾波器變換為對稱的帶阻濾波器時，保留非對稱帶阻濾波器的阻帶截止頻率調(diào)整兩個通帶截止頻率中的一個，調(diào)整過程步驟如下：1、 計算=2、 計算=，如果,用代替；3、 如果，計算=，并用代替；4、 如果a a，選擇a=min a, a。所有類型的變換，包括各自與低通原型的頻率

5、變換如表1所示。用頻率變換法設(shè)計一個模擬濾波器的步驟如下：1、確定低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器的技術(shù)要求。當要求的帶通或帶阻濾波器是非幾何對稱時，根據(jù)上面描述的過程使這些技術(shù)要求成幾何對稱的；2、根據(jù)表1中的變換關(guān)系，確定歸一化低通濾波器的技術(shù)要求：通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，阻帶衰減為a(db),阻帶衰減為a (db)；3、根據(jù)、a 和a，用巴特沃斯設(shè)計歸一化低通濾波器；4、根據(jù)表1最右欄的變換關(guān)系，得到要求的非歸一化模擬濾波器。 表1 模擬濾波器的頻率變換濾波器類型歸一化低通濾波器h(p)的技術(shù)指標要求要求的濾波器h(s), h(s)= h(p)低通h(p)低通h(s)p=低通h(

6、p)高通h(s)p=低通h(p)帶通h(s)p=低通h(p)帶阻h(s)p=下面我們用巴特沃斯濾波法來設(shè)計一個數(shù)字iir帶阻型濾波器：濾波器規(guī)范：通帶下邊界頻率： 50hz 通帶上邊界頻率： 450hz阻帶下邊界頻率： 200hz阻帶上邊界頻率： 300hz通帶最大衰減： 3db阻帶最小衰減： 20db 抽樣頻率： 1khz3、帶阻濾波器的系數(shù)計算： 首先確定所要求的帶阻濾波器是否為幾何對稱的：=2*50*2*450=4*2.25*10=2*200*2*300=4*6*10因為，而且設(shè)計的是帶阻濾波器，所以需要調(diào)整這個帶阻濾波器的通帶上下邊界頻率。因為： =，=，則= 用值代替值，即令=2*1

7、33.3hz。因此，所要求的帶阻濾波器的指標調(diào)整為：=2*133.3/1000 rad/s=2*450/1000 rad/s=2*200 /1000rad/s=2*300 /1000rad/sb=2*266.7 /1000rad/s=2*245 /1000rad/sa= a=3 dba= a=20 db根據(jù)表1中間欄的變換關(guān)系式，將上述給定的帶阻濾波器指標要求轉(zhuǎn)化為相應的歸一化低通技術(shù)要求，有 =1=2.6根據(jù)上面的技術(shù)要求，可以采用查表法或計算法來設(shè)計歸一化的巴特沃斯低通濾波器，這里采用計算法。 由式 確定最小的的濾波器階數(shù)，得n=1.9取n=2，計算巴特沃斯濾波器的歸一化極點 p=ee k

8、=0,1 p=e=-0.5000+0.8660j p= e=-1.0000+0.0000j因此，低通濾波器的歸一化傳輸函數(shù)h(p)為 h(p)= = 根據(jù)表1最右邊欄的變換關(guān)系式，把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數(shù)h(s) h(s) =h(p) =由雙線性變換法求得數(shù)字巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數(shù)為： h（z）= h(s)=軟件設(shè)計部分fs=1000;ap=3;as=20;wp=50/500,450/500;ws=200/500,300/500;b,a=butter(n,ws,stop)系統(tǒng)指標：傳輸函數(shù)系數(shù)a：系數(shù)b：4、帶阻濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)： 令h（z）=h(z)h(z)：

9、 其中 h(z)= h(z)= 對應的定義濾波器的差分方程如下：濾波器部分1：w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2) y(n)= w(n)s/s+ w(n-2) s/s濾波器部分2：w(n)= y(n)- w(n-2)y(n)= w(n) s+ w(n-2) s系數(shù)和的精確值依賴于我們對h（z）的多項式的分子和分母如何組對，以及實現(xiàn)多項式的二階濾波器部分是如何排序的。最好的組對和排序只能通過有限字長分析來確定。實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)圖如下：x(n) y(n) -a s/s s z z 圖3、濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖5、有效字長效應分析：由給定的性能規(guī)范，我們將假設(shè)使用的算法是定點的2的補碼算術(shù)，每一個系數(shù)

10、被舍入量化到16位字長。這里我們主要的是評估不同量化誤差對濾波器性能的影響，以及根據(jù)信噪比確定最好的濾波器結(jié)構(gòu)用于實現(xiàn)，所要考慮的誤差源主要是：1、 溢出誤差2、 舍入誤差3、 系數(shù)量化誤差但由于dsp本身有限字長和精度的因素，加上iir濾波器在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路，是遞歸型的，再者高階濾波器參數(shù)的動態(tài)范圍很大。這樣一來造成兩個后果：結(jié)果溢出和誤差增大，從而導致算法無法在dsp上實現(xiàn)。解決此問題的有效方法是把高階iir數(shù)字濾波器簡化成幾個2階濾波器來設(shè)計，即采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)。因此系統(tǒng)函數(shù)為：h(z)=h1(z)h2(z)hn(z)(3)上述4階iir數(shù)字濾波器采用級聯(lián)的結(jié)構(gòu)后變成2個濾波器級聯(lián)的形式

11、，每個濾波器的系數(shù)表如下所示。量化前濾波器系數(shù)為了設(shè)計可實現(xiàn)的iir濾波器:需要對上一步分解獲得的二階基本節(jié)的濾波器系數(shù)進行量化,即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會導致濾波器的頻率響應出現(xiàn)偏差,嚴重時會使iir濾波器的極點移到單位圓之外,系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)量化后濾波器的系數(shù)：除了系數(shù)存在量化誤差,數(shù)字濾波器運算過程中有限字長效應也會造成誤差,因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數(shù)據(jù)寬度要也進行合理的設(shè)計,以防止產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導致濾波器的頻率響應出現(xiàn)偏差，嚴重時會使iir濾波

12、器的極點移到單位圓之外，系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性圖4、量化前后系統(tǒng)的零極點圖 由圖4可看出系統(tǒng)零極點都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定可實現(xiàn)。這兩個可能的濾波器結(jié)構(gòu)的每一個都有不同的比例因子，以及不同的信號舍入誤差。這個步驟的目標是根據(jù)信噪比性能方面來確定最好的組對和排序。溢出和舍入誤差是緊密相連的，所以伸縮變換和舍入分析應該同時進行。利用有限字長的分析程序，可以得到對于上面兩個可能的濾波器的比例因子，它們是基于l 、l 和l的范數(shù)。在這個例子里，我們利用了l的范數(shù)，對于一個以兩個標準部分串聯(lián)實現(xiàn)的四階濾波器，在伸縮變換以后，輸出端的舍入噪聲為：=3s| h(z)h(z)|+5s|h(z)|+3其中q是量化步長

13、或舍入，|.|是l范數(shù)的平方。h(z)是第一級濾波器的傳遞函數(shù)，h(z)是第二級濾波器的傳遞函數(shù)，s是第一個濾波器階段的伸縮比例因子，s是第二個濾波器的比例因子。系統(tǒng)的量化誤差的效應：我們檢查那些給出的系數(shù)字長是否滿足穩(wěn)定和頻率響應的規(guī)范。當極點不是非常靠近單位圓時，16位的系數(shù)字長對保持穩(wěn)定是足夠的。例如，對于第一個濾波器部分，實驗程序表明2位就足以滿足穩(wěn)定要求，把系數(shù)量化成16位僅改變極點半徑。采用16位系數(shù)字長時，濾波器的響應實際上和未量化的濾波器的響應是一樣的。圖5描繪了量化前后的濾波器的頻率響應。圖5、帶阻濾波器量化前后的幅頻響應-為量化前 量化后6、帶阻濾波器的軟件實現(xiàn)：由系統(tǒng)指標

14、規(guī)范可編程：n為濾波器的階數(shù)；zz和pz為系統(tǒng)的零點和極點；kz為系統(tǒng)的增益：fs=1000;ap=3;as=20;wp=50/500,450/500;ws=200/500,300/500;n,wc=buttord(wp,ws,ap,as);zz,pz,kz=butter(n,ws,stop);b,a=butter(n,ws,stop);subplot(2,1,1)h,f=freqz(b,a,512,fs);plot(f,abs(h)xlabel(頻率/(hz)ylabel(幅度/(db)subplot(2,1,2)zplane(b,a)極點(pz)：增益（kz）：圖6、帶阻濾波器的幅頻響應，

15、零極點圖圖7、量化前后階躍響應圖8、群延時響應圖9、量化前后脈沖響應總結(jié)在信號與信息的過濾、檢測和預測等處理中，都要使用濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用最廣泛的一種方法。iir數(shù)字濾波器的設(shè)計過程中，可以借助模擬濾波器的設(shè)計成果或直接采用典型的濾波器類型，減少工作量.。通過這個實驗，對設(shè)計帶通數(shù)字濾波器的整個過程有了很好的掌握。其中雙線性變換法，巴特沃斯設(shè)計模擬濾波器的運用，也比較熟悉了。通過對數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計，熟悉了matlab的運行環(huán)境，初步掌握了matlab語言在數(shù)字信號處理中一些基本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫基本程序等應用；熟悉了濾波器設(shè)計的一般原理，對濾波器有了一個感性的認識；學會了數(shù)字高通濾波器設(shè)計的一般步驟；加深了對濾波器設(shè)計中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點的理解和認