體檢中的排隊(duì)論

1、體檢中的排隊(duì)論摘要 一個(gè)好的體檢排隊(duì)方案不僅可以提高體檢中心的體檢效率和儀器的使用率，還可為體檢者節(jié)約時(shí)間和費(fèi)用。本文利用數(shù)學(xué)建模的方法，根據(jù)排隊(duì)論知識(shí)建立體檢中心排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)matlab軟件求解。對(duì)于問(wèn)題一、二對(duì)一個(gè)新來(lái)的顧客要體檢，他通過(guò)取票進(jìn)隊(duì)、排隊(duì)等待、叫號(hào)服務(wù)等功能，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)體檢隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)是隨機(jī)的，體檢所等待的時(shí)間是隨機(jī)的，服務(wù)臺(tái)是否忙碌也是隨機(jī)的。本文我們主要研究隊(duì)長(zhǎng)的分布和等待時(shí)間的分布及忙碌期的分布狀況。最終以達(dá)到顧客可以最短時(shí)間通過(guò)所有體檢，即以最優(yōu)化方案得到最接近的方法。我們采用排隊(duì)規(guī)則中等待制的先到先服務(wù)方法求出隊(duì)列的隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間、服務(wù)窗口的忙碌狀態(tài)，服務(wù)

2、規(guī)則是先到先服務(wù)以泊松分布方法建模型。最后問(wèn)題二引用一組數(shù)據(jù)通過(guò)極大似然法驗(yàn)證問(wèn)題一結(jié)論的真實(shí)性。1、 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長(zhǎng)2、 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值3、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間對(duì)于問(wèn)題三分析可知：對(duì)于在服務(wù)窗口忙碌情況下，則團(tuán)隊(duì)人數(shù)n與可服務(wù)窗口n數(shù)量是不確定，因此我們需要分為三種情況來(lái)討論。第一種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù)=服務(wù)窗口數(shù)并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù)情況下。第二種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù)服務(wù)窗口數(shù)并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情況下。關(guān)鍵字: 排隊(duì)論 泊松分布 負(fù)指數(shù)分布 極大似然法 最優(yōu)化方案一、 問(wèn)題重述某城市的體檢中心每天有許多人前去體檢，全部體檢項(xiàng)目包括：抽血、內(nèi)科、外

3、科、b超、五官科、胸透、身高、體重、等等。每個(gè)人的體檢項(xiàng)目可能各不相同，假設(shè)每個(gè)體檢項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間是確定的，并且只有1個(gè)醫(yī)生值班，每次只能為1個(gè)客戶(hù)服務(wù)。為提高設(shè)備利用率、降低客人的等待時(shí)間，中心請(qǐng)你幫助完成如下任務(wù)：(1)為某個(gè)新來(lái)的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時(shí)間盡量少（在各個(gè)體檢項(xiàng)目處都可能有人排隊(duì)等待）；(2)設(shè)計(jì)1組數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)論。(3)接待團(tuán)體客人時(shí)，如何安排每個(gè)人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完成任務(wù)，設(shè)計(jì)1組數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證該結(jié)論。二、 問(wèn)題分析問(wèn)題一每個(gè)體檢項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間是確定的，并且只有1個(gè)醫(yī)生值班，每次只能為1個(gè)客戶(hù)服務(wù)。經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)顧客要體檢，他通過(guò)取票

4、進(jìn)隊(duì)、排隊(duì)等待、叫號(hào)服務(wù)等功能，對(duì)他而言體檢的隊(duì)長(zhǎng)是隨機(jī)的，體檢所等待的時(shí)間是隨機(jī)的，服務(wù)臺(tái)是否忙碌也是隨機(jī)的。本文我們主要研究隊(duì)長(zhǎng)的分布和等待時(shí)間的分布及忙碌期的分布狀況。最終盡可能使顧客可以最短時(shí)間通過(guò)所有體檢，即以最優(yōu)化方案得到最接近的方法，服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù)，以泊松分布方法建模型。顧客到達(dá)體檢中心排隊(duì)流程示意圖 圖1排隊(duì)模型框圖由排隊(duì)論中m/m/1模型中假設(shè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔從參數(shù)為的泊松分布，顧客的服務(wù)時(shí)間為固定值t，到達(dá)時(shí)間與服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，且有n個(gè)服務(wù)臺(tái)，若顧客到達(dá)時(shí)服務(wù)窗全部處于忙的狀態(tài)，則進(jìn)行等待。1. 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長(zhǎng)2. 平均忙著的服務(wù)窗個(gè)數(shù)l服=13. 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)

5、（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值4. 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間首先，我們用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)泊松分布中報(bào)還的未知參數(shù)。設(shè)總體x服從泊松分布得參數(shù)的極大似然估計(jì)量為：?jiǎn)栴}二問(wèn)題二是在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上研究的，所以我們用一組數(shù)據(jù)通過(guò)極大似然法來(lái)驗(yàn)證其是否正確。因?yàn)槊總€(gè)體檢項(xiàng)目中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)并只為顧客服務(wù)，故系統(tǒng)只有兩種可能的狀態(tài)：0服務(wù)臺(tái)空閑；1服務(wù)臺(tái)正在為顧客服務(wù) 0 1圖2 服務(wù)系統(tǒng)流程圖說(shuō)明：表示一個(gè)顧客進(jìn)入體檢時(shí)，服務(wù)系統(tǒng)就從狀態(tài)“0”以變換到狀態(tài)“1”。當(dāng)體檢的一個(gè)項(xiàng)目完畢，顧客離開(kāi)系統(tǒng)，系統(tǒng)從狀態(tài)“1”以服務(wù)速率變到狀態(tài)“0”。 把“輸入=輸出”看作系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，即： lp0 = p1又因?yàn)?/p>

6、 p0 + p1 =1故： p0 = /（l+） （閑著概率） p1 = l/（l+） （忙著概率）問(wèn)題三根據(jù)三種不同的狀態(tài)做出以下的討論：第一種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù)=服務(wù)窗口并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù)情況下。第二種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù)服務(wù)窗口并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情況下。三、 模型的假設(shè)1. 假設(shè)顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)后一切均正常進(jìn)行（服務(wù)人員、顧客狀態(tài)均良好，且儀器無(wú)故障出現(xiàn)），沒(méi)有突發(fā)情況出現(xiàn)。2. 在本次建模不做出特殊要求的情況下以先到先服務(wù)為前提。3. 從一個(gè)項(xiàng)目到另一個(gè)項(xiàng)目的時(shí)間忽略不計(jì)。四、 符號(hào)說(shuō)明表1 符號(hào)說(shuō)明參數(shù)參數(shù)解釋n項(xiàng)目個(gè)數(shù)t每個(gè)項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間l平均隊(duì)長(zhǎng)，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)

7、刻的所有顧客數(shù)的期望值lq平均等待隊(duì)長(zhǎng)，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值w平均逗留時(shí)間，即(在任意時(shí)刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的期望值wq平均等待時(shí)間，即(在任意時(shí)刻)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的期望值s系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目平均到達(dá)率平均服務(wù)率；n穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中所有顧客數(shù)）u任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間q任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時(shí)間五、 模型的建立與求解問(wèn)題一 服務(wù)臺(tái)1 服務(wù)完成后離去顧客到達(dá)- 服務(wù)臺(tái)2 服務(wù)完成后離去 服務(wù)臺(tái)s 服務(wù)完成后離去圖3 多服務(wù)窗口排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá) 服務(wù)臺(tái) 服務(wù)完成后離去正在接服務(wù)的顧客數(shù)圖4 單服務(wù)窗口系統(tǒng)問(wèn)題一是為一個(gè)

8、新來(lái)的顧客安排一個(gè)科學(xué)、合理、快速的體檢順序，他面對(duì)一個(gè)多服務(wù)窗口等待制排隊(duì)系統(tǒng)，我們從單服務(wù)系統(tǒng)分析，以單服務(wù)系統(tǒng)來(lái)求解多服務(wù)系統(tǒng)，我們有如下的定理：定理1 若x（t）表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)），則x(t)，t0是狀態(tài)空間e=0,1,2，且生率為：=k ,k=0，1,2,3滅率為：的生滅過(guò)程。定理2 若x（t）表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，設(shè) 則當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且有平穩(wěn)分布對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，可計(jì)算出如下相應(yīng)的目標(biāo)參量：1、 損失概率在等待制中，因到達(dá)系統(tǒng)請(qǐng)求服務(wù)的顧客遲早會(huì)被服務(wù)窗服務(wù)，故：p損=02、 系統(tǒng)的相對(duì)通過(guò)能力與絕對(duì)通過(guò)能力q=1-p損=1a=q=3、 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長(zhǎng)

9、4、 平均忙著的服務(wù)窗個(gè)數(shù)l服=15、 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)（或系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）的均值6、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間7、 顧客在系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間8、 來(lái)到系統(tǒng)的顧客必須排隊(duì)等待的概率 特別的，當(dāng)n=1時(shí)（即單服務(wù)窗口等待制m/m/1排隊(duì)模型），系統(tǒng)的平穩(wěn)分布為 k=0故相應(yīng)的目標(biāo)參量為：1. 服務(wù)臺(tái)空閑的概率2. 系統(tǒng)額相對(duì)通過(guò)能力與絕對(duì)通過(guò)能力3. 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長(zhǎng)4. 平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù)l服 =5. 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的均值首先，我們用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)泊松分布中報(bào)還的未知參數(shù)。設(shè)總體x服從泊松分布則參數(shù)的似然函數(shù)為：兩邊取對(duì)數(shù)得：得似然方程：解得：又可算得：故得到參數(shù)的極大似然估計(jì)量為：與顧客達(dá)到時(shí)

10、間一樣，進(jìn)行x2擬合檢驗(yàn)，同樣可驗(yàn)證：該體檢中心排隊(duì)系統(tǒng)中體檢人員接受體檢的時(shí)間服務(wù)參數(shù)為u的負(fù)指數(shù)分布。綜上所述，體檢排隊(duì)模型的假設(shè)是成立的。該顧客總共平均所花時(shí)間：結(jié)論：通過(guò)假設(shè)再論證可知在體檢中如果平均等待隊(duì)長(zhǎng)lq越小，則顧客體檢中所用時(shí)間就越少，即顧客在檢查完一項(xiàng)后，應(yīng)該選擇所有沒(méi)檢查項(xiàng)目中平均隊(duì)長(zhǎng)最短的隊(duì)列排隊(duì)檢查，且顧客到達(dá)該對(duì)列的平均到達(dá)率最低，這是讓顧客以最短時(shí)間體檢完的較好的方法。問(wèn)題二：系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，對(duì)每個(gè)狀態(tài)來(lái)說(shuō)，輸入=輸出。對(duì)于狀態(tài)n來(lái)說(shuō)，有： lpn-1+pn+1 = (+1)pn n1對(duì)于狀態(tài)“0”，有： lp0 = p1 表2 狀態(tài)從0到n的穩(wěn)定方程狀態(tài)輸入 輸

11、出0up1 = p0p0+up2 = up1 + up2nupn+1+ pn-1 = up1+p1求解以上方程組可以得到： p 0 = 1- 0 = l / 1 p n = n(1- ) n=0,1,2,即來(lái)到服務(wù)臺(tái)必須等待的概率為： c(n,1)=nn(1-)/ n-1表3 p0和lq的值n5678910po(10-2)0.74491.14721.27311.31371.47972.0541lq4.32530.94580.29710.10030.03770.0171matlab畫(huà)出的圖形 圖4 顧客體檢時(shí)間圖圖5 顧客等待與停留時(shí)間圖由問(wèn)題一得知：平均排隊(duì)等待的隊(duì)長(zhǎng)：平均隊(duì)長(zhǎng)與到達(dá)率是存在一

12、定聯(lián)系的，要使顧客所化時(shí)間最少，則平均等待隊(duì)長(zhǎng)lq和平均到達(dá)率越小越好。因此驗(yàn)證了問(wèn)題一的正確性。問(wèn)題三：表4 各個(gè)科室參數(shù) 科室名稱(chēng)內(nèi)科外科口腔科彩超（心臟）動(dòng)態(tài)心電圖胸透t(分)4.235.463.0210.032.246.12u（人/時(shí)）14.18410.98919.8685.98226.7869.804nmln911620512nbest912720514服務(wù)臺(tái)窗口數(shù):n，團(tuán)隊(duì)人數(shù)：n假設(shè)一：團(tuán)隊(duì)享有優(yōu)先權(quán)服務(wù)，n=n服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)n=團(tuán)隊(duì)人數(shù)n，則每人分別排一個(gè)項(xiàng)目的隊(duì)，然后依次交替，則團(tuán)隊(duì)所花時(shí)間：w團(tuán)=n*t此時(shí)所花時(shí)間最少假設(shè)二：團(tuán)隊(duì)采用等待制先來(lái)先服務(wù),n=n此時(shí)顧客群為連續(xù)到

13、達(dá)，服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)nn此時(shí)顧客群為連續(xù)到達(dá)，服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)n團(tuán)隊(duì)人數(shù)n，由于每個(gè)項(xiàng)目所花時(shí)間是相同的，則由表三可知，每個(gè)體檢項(xiàng)目每小時(shí)所到達(dá)的人數(shù)是不同的，所以對(duì)于平均隊(duì)長(zhǎng)最短的項(xiàng)目，則安排超過(guò)3個(gè)顧客排隊(duì)等待；平均隊(duì)長(zhǎng)最長(zhǎng)的項(xiàng)目，則安排一個(gè)人排隊(duì)等候；居于中間區(qū)域的平均隊(duì)長(zhǎng)，就安排23個(gè)人排隊(duì)等待。每個(gè)項(xiàng)目均如此循環(huán)下午，這樣既提高了服務(wù)臺(tái)儀器的利用率，同時(shí)也降低了顧客體檢需要等待的時(shí)間，醫(yī)生也可輕松、快速完成工作。六、 模型的評(píng)價(jià)與推廣優(yōu)點(diǎn)：我們用泊松分布法建立模型之后可以用極大似然法來(lái)驗(yàn)證器正確性，并在問(wèn)2中引入數(shù)據(jù)來(lái)論證，該模型是成立的，有比較好的理論依據(jù)；且抽象的概念用圖形的方式展現(xiàn)，易

14、于理解。缺點(diǎn)：體檢中的突發(fā)情況很多，且不容易控制，所分析的與實(shí)際有一定的誤差，參考資料不太完善，對(duì)醫(yī)院的項(xiàng)目沒(méi)有過(guò)多的了解，有待于再次考量。推廣：本模型的排隊(duì)系統(tǒng)不僅可以用于體檢中心的排隊(duì)，同樣可以考慮運(yùn)用在服務(wù)行業(yè)的單位和機(jī)構(gòu)，如：銀行、鐵路局、電信、超市等。七、 參考文獻(xiàn)1汪曉銀,周寶平， 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) ,科學(xué)出版社，20102宗容，施繼紅，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模，云板大學(xué)出版社，20093孟玉珂，排隊(duì)論基礎(chǔ)及應(yīng)用，同濟(jì)大學(xué)出版社，19894楊連國(guó)，醫(yī)院智能排隊(duì)叫號(hào)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，河南大學(xué)，2005八、 附錄matlab的數(shù)據(jù)clc %* %初始化顧客源 %* %總仿真時(shí)間 total

15、_time = 10; %隊(duì)列最大長(zhǎng)度 n = 10000000000; %到達(dá)率與服務(wù)率 lambda = 10; mu = 6; %平均到達(dá)時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(total_time*lambda*2); events = ; %按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客達(dá)到時(shí)間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達(dá)時(shí)刻等于時(shí)間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:); %按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客服務(wù)時(shí)間

16、 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計(jì)算仿真顧客個(gè)數(shù)，即到達(dá)時(shí)刻在仿真時(shí)間內(nèi)的顧客數(shù) len_sim = sum(events(1,:)total_time break; else number = sum(events(4,member) events(1,i); %如果系統(tǒng)已滿(mǎn)，則系統(tǒng)拒絕第 i個(gè)顧客，其標(biāo)志位置 0 if number = n+1 events(5,i) = 0; %如果系統(tǒng)為空，則第 i個(gè)顧客直接接受服務(wù) else if number = 0 %其等待時(shí)間為 0%programlanguageprogramlangua

17、geevents(3,i) = 0; %其離開(kāi)時(shí)刻等于到達(dá)時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標(biāo)志位置 1 events(5,i) = 1; member = member,i; %如果系統(tǒng)有顧客正在接受服務(wù)，且系統(tǒng)等待隊(duì)列未滿(mǎn)，則 第 i個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng) else len_mem = length(member); %其等待時(shí)間等于隊(duì)列中前一個(gè)顧客的離開(kāi)時(shí)刻減去其到 達(dá)時(shí)刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem)-events(1,i); %其離開(kāi)時(shí)刻等于隊(duì)列中前一個(gè)顧客的離開(kāi)時(shí)刻加上其服 %務(wù)時(shí)間 events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i); %標(biāo)識(shí)位表示其進(jìn)入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內(nèi)共有的顧客數(shù) events(5,i) = number+1; member = member,i; end end end end %仿真結(jié)束時(shí)，進(jìn)入系統(tǒng)的總顧客數(shù) len_mem = length(member); %* %輸出結(jié)果 %* %繪制在仿真時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入系統(tǒng)的所有顧客的到達(dá)時(shí)刻和離 %開(kāi)時(shí)刻曲線(xiàn)圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs(0 events(1,mem