關(guān)于高考數(shù)學(xué)平面解析幾何復(fù)習(xí)中的一點(diǎn)思考

1、關(guān)于平面解析幾何復(fù)習(xí)中的一點(diǎn)思考高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的，一方面是回顧已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不斷提高，學(xué)生不會(huì)僅僅滿足于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是有對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步理解的需求，如數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)之間本質(zhì)聯(lián)系等等，所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)既要“溫故”，更要“知新”，既能引起學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生的思維，又能促使學(xué)生不斷提出問題，有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問題研究的能力一、把握解析幾何的基本思想“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”是解析幾何的基本思想2004年的上海市秋季高考數(shù)學(xué)試卷的一道填空題就直接要求學(xué)生寫出解析幾何的思想本質(zhì)是什么，這道題目引起一

2、些爭(zhēng)議，但命題的意圖是好的，指導(dǎo)思想是正確的，在復(fù)習(xí)過程中要強(qiáng)化這種思想通過具體例子說明用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，以及用幾何的方法解決代數(shù)問題的優(yōu)越性二、構(gòu)建解析幾何知識(shí)的體系解析幾何復(fù)習(xí)時(shí)，需要理順解析幾何的知識(shí)體系：（1）首先要明確幾何中的點(diǎn)與代數(shù)中的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而要理解曲線與方程的概念圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心，然后可以通過對(duì)方程的研究來研究曲線的性質(zhì)，這是解析幾何的理論基礎(chǔ)深刻體會(huì)教材中是如何用代數(shù)形式來解決這些重要幾何概念以及位置關(guān)系的，那么遇見這些幾何表述時(shí)就能熟練轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式來處理（2）通過對(duì)直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等具體曲線的研究，不僅要理解和掌握它們

3、的一些基本性質(zhì)和結(jié)論，更重要的是體會(huì)解析幾何研究曲線性質(zhì)的具體方法和思想（3）了解坐標(biāo)系的平移，曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)系等等知識(shí)，體會(huì)解析幾何解決問題的方法不是單一的，而是多種多樣的三、剖析近年高考考點(diǎn)考點(diǎn)一 點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系問題【內(nèi)容解讀】點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有：點(diǎn)在直線上、直線外兩種位置關(guān)系，點(diǎn)在直線外時(shí)，經(jīng)常考查點(diǎn)到直線的距離問題；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外三種；直線與圓的位置關(guān)系有：直線與圓相離、相切、相交三種，經(jīng)常用圓心到直線之間的距離與圓的半徑比較來確定位置關(guān)系；圓與圓的位置關(guān)系有：兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種，一般用兩點(diǎn)之間的距離公式求兩圓心之間的距離，

4、再與兩圓的半徑之和或差比較。例(2009年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)p為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)p的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)?！窘馕觥?本題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。答：(1) 或(2) p在以c1c2的中垂線上，且與c1、c2等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計(jì)算可得點(diǎn)p坐標(biāo)為或?？键c(diǎn)二 直線、圓的方程問題【內(nèi)容解讀】直線方程的解析式有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、

5、一般式五種形式，各有特點(diǎn)，根據(jù)具體問題，選擇不同的解析式來求解。圓的方程有標(biāo)準(zhǔn)式、一般式兩種；直線與圓的方程問題，經(jīng)常與其它知識(shí)相結(jié)合，如直線與圓相切，直線與直線平行、垂直等問題。例 (2009年上海卷)過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)a、b，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線ab有（ ）（a） 0條 （b） 1條 （c） 2條 （d） 3條【答案】bbyeaxoc【解析】由已知，得：，第ii，iv部分的面積是定值，所以，為定值，即 為定值，當(dāng)直線ab繞著圓心c移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線ab只有一條，故選b。考點(diǎn)三 曲線（軌跡）方程的求法【內(nèi)容解讀】軌跡

6、問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，常見的求軌跡方程的方法：（1）單動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題直接法 待定系數(shù)法；（2）雙動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題代入法（3）多動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題參數(shù)法 交軌法。例 (2009年浙江卷)已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 （i）求橢圓的方程； （ii）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解析：（i）由題意得所求的橢圓方程為， （ii）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)p處的切線斜率為，直線mn的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€mn與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段mn的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段pa的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，

7、即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1例 (2009年海南，寧夏卷)已知橢圓c的中心為直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（）求橢圓c的方程；（）若p為橢圓c上的動(dòng)點(diǎn)，m為過p且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 考點(diǎn)四 有關(guān)圓錐曲線的定義的問題【內(nèi)容解讀】圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，除了在大題中考查軌跡時(shí)用到外，經(jīng)常在選擇題、填空題中也有出現(xiàn)例 (2009年廣東卷)巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距

8、離之和為12，則橢圓的方程為 【解析】，則所求橢圓方程為.例 (2009年北京卷)橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ；的小大為 . 【答案】 【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.考點(diǎn)五 圓錐曲線的幾何性質(zhì)【內(nèi)容解讀】圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓的對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率，雙曲線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線，拋物線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線方程等內(nèi)容，離心率公式一樣：e，范圍不一樣，橢圓的離心率在（0,1）之間，雙曲線的離心率在（1，）之間，拋物線的離心率為1例 (2009年浙江卷)過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線

9、，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是 ( )a b c d答案：c 【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為b，c，則，因例(2009年天津卷) 以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。1）求橢圓的離心率；2）求直線ab的斜率；3）設(shè)點(diǎn)c與點(diǎn)a關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力考點(diǎn)六 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題【內(nèi)容解讀】能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題

10、；能夠把研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題；會(huì)利用直線與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；能夠利用數(shù)形結(jié)合法，迅速判斷某直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但要注意曲線上的點(diǎn)的純粹性；涉及弦長(zhǎng)問題時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦的問題，利用點(diǎn)差法較為簡(jiǎn)便。例(2009年湖北卷)已知雙曲線的準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是a. b. c. d. 【答案】a【解析】易得準(zhǔn)線方程是所以 即所以方程是聯(lián)立可得由可解得a例(2009年江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物

11、線c的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)a（2，2），其焦點(diǎn)f在軸上。（1）求拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)f，且與直線oa垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線c于d、e兩點(diǎn)，me=2dm，記d和e兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式?！窘馕觥勘拘☆}主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。四、掌握研究解析幾何問題的基本方法近幾年解析幾何的考題在難度、計(jì)算的復(fù)雜程度等方面都有所下降，突出對(duì)解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點(diǎn)要掌握解析幾何的一些基本方法來解決問題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等方法課堂教學(xué)中選擇例題要突出題目的普遍性，解題方法要具

12、有代表性，即通性通法所以在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做到:1牢固掌握?qǐng)A錐曲線定義 圓錐曲線定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，是構(gòu)建有關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。同時(shí)，定義直接用于解題常常使一些看似很難解決的問題變得簡(jiǎn)單。 例點(diǎn)f是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)m在橢圓上，求使|pm|+2|mf|取最小值的點(diǎn)m的坐標(biāo)。 解析：直接應(yīng)用距離公式難以奏效，而根據(jù)橢圓第二定義，將|mf|用點(diǎn)m到左準(zhǔn)線的距離來表示，問題容易得解。 2重視基礎(chǔ)知識(shí)，基本題型的復(fù)習(xí) （1）注意課本典型例題、習(xí)題的延伸 教材中的例題、習(xí)題雖然大多比較容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，適當(dāng)?shù)鼐帞M題組進(jìn)行復(fù)習(xí)訓(xùn)練，有利于系統(tǒng)地掌握知識(shí)，融會(huì)貫通。如教材中題

13、:“過拋物線y2=2px焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2，求證y1y2=-p2。” 給出的結(jié)論是關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的一條重要性質(zhì)，而其證明方法也是解決有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的最基本最典型的方法。 例.設(shè)拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)為f，經(jīng)過點(diǎn)f的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，c在拋物線上，且bc/x軸。證明直線ac經(jīng)過原點(diǎn)o。 解析：設(shè)a(x1,y1)，b(x2,y2)，由bc/x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線x=上，所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為(,y2)。要證直線ac經(jīng)過原點(diǎn)o，只需證明koc=koa，koa=，koc=,下面的問題是如何將兩者聯(lián)系起來，這只要重復(fù)上述課本習(xí)題的解答過

14、程，得y1y2=-p2，即可得，又，命題即得證。 （2）注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法 解析幾何中有一些基本問題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)的計(jì)算等等，對(duì)這些問題的處理方法是熟知的。但有不少題目，所給的條件無法直接使用，或者使用起來比較困難，此時(shí)，可考慮對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過程納入到學(xué)生所熟悉的軌道。 3重視判別式的作用 有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常都是利用一元二次方程來解決的。其中，根的判別式往往起著關(guān)鍵的作用。如例94強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和運(yùn)用 （1）函數(shù)與方程思想 解析幾何的研究對(duì)象和方法決定了它與函數(shù)、方程的“不解之緣”，很多解析幾何問題實(shí)際上就是建立方程后研

15、究方程的解或建立函數(shù)后研究函數(shù)的性質(zhì)。（2）分類討論思想 解析幾何中，有些公式，性質(zhì)是有適用條件的，解題時(shí)必須注意分類討論、區(qū)別處理。例如直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式中斜率必須存在，截距式只適用在兩軸上的截距存在且不為零的情況，兩點(diǎn)式不適用于與坐標(biāo)軸垂直的直線。（3）數(shù)形結(jié)合思想 解析幾何的本質(zhì)就是將“數(shù)”與“形”有機(jī)地聯(lián)系起來，曲線的幾何特征必然在方程、函數(shù)或不等式中有所反映，而函數(shù)、方程或不等式的數(shù)字特征也一定體現(xiàn)出曲線的特性。五、關(guān)注研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新實(shí)踐能力由于解析幾何知識(shí)內(nèi)容豐富，與其它數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)系密切，所以值得研究的數(shù)學(xué)素材很多，復(fù)習(xí)時(shí)可以注意復(fù)習(xí)方式的改善（1）可以采用專

16、題研究學(xué)習(xí)的形式，教師設(shè)計(jì)一些專題，讓學(xué)生去做研究和整理如讓學(xué)生去整理總結(jié)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)時(shí)，會(huì)有哪些有意義的結(jié)論；如舉例說明求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法；如探究求直線被曲線截得的線段的中點(diǎn)的軌跡的各種方法，又如可以研究與圓錐曲線有關(guān)的定值、定點(diǎn)問題等等，這種學(xué)習(xí)方法使學(xué)生不知不覺就翻閱了許多資料，理解問題的能力得到鍛煉（2）研究性課程已經(jīng)作為新課程，另外近年來高考中增加了探索性、研究性等能力型試題，其本質(zhì)是突出對(duì)探究精神，創(chuàng)造能力與綜合素質(zhì)的考查，教師精心設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)研究過程中，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提出問題，合作探究，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，在此過程中獲取對(duì)知識(shí)和情感的親身體驗(yàn)例（2003春季第21題）已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值. 試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明學(xué)生解決這個(gè)問題不難，用的方法也是很基本的，關(guān)鍵是通過這個(gè)