數學建模優(yōu)秀論文噴油泵問題

1、b 噴油泵問題摘要本文通過建立數學模型研究了柴油機噴油泵的油量調節(jié)桿的位移、噴油泵的轉速和平均供油量的函數關系。下面就簡述一下我們的思路：由于題目是給出數據要求建立三個變量之間的函數關系，因此我們先通過spss軟件假設出所有可能出現的函數模型，然后導入已知數據，觀察所建立的數學模型與已知數據的擬合程度，從而決定出變量之間的函數關系。一、問題重述為使車用柴油機滿足日益嚴格的排放法規(guī)和要求更高的燃油經濟性及動力性，需要實時優(yōu)化柴油機的運轉參數并進行控制，傳統(tǒng)的機械式調速系統(tǒng)難以達到要求，希望建立機電調速系統(tǒng)能實時優(yōu)化柴油機的運轉參數并進行控制。為此研究柴油機噴油泵的油量調節(jié)桿的位移、噴油泵的轉速和

2、平均供油量的關系。在試驗中，逐步由低向高調節(jié)噴油泵的轉速，測量并記錄相應的轉速、調節(jié)桿的位移和平均供油量，直到最高停油轉速為止（實驗數據見附表）。問題：（1）試建立油量調節(jié)桿的位移與噴油泵的轉速的函數關系；（2）試建立油量調節(jié)桿的位移與平均供油量的函數關系；（3）分別在油量調節(jié)桿位移為2，6和11.5三點上估計噴油泵的轉速和平均供油量。 附錄：轉速（單位：轉/分）位移（單位：mm）供油量（單位：ml/100次）9912.117.8510011.917.7514911.817.4515011.717.4220011.617.3820511.617.325011.617.252511117.253

3、009.9173509.813.954009.313.24509.112.855008.812.45508.712.156008.311.96508.211.57007.810.87507.5108005.35.458504.33.890033.29501.52100000二、模型假設線性回歸概念：線性回歸是利用數理統(tǒng)計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法之一，運用十分廣泛。 分析按照自變量和因變量之間的關系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。 如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線

4、性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。數據組說明線性回歸：我們以一簡單數據組來說明什么是線性回歸。假設有一組數據型態(tài)為 y=y(x)，其中 x=0, 1, 2, 3, 4, 5, y=0, 20, 60, 68, 77, 110 如果我們要以一個最簡單的方程式來近似這組數據，則非一階的線性方程式莫屬。先將這組數據繪圖如下 圖中的斜線是我們隨意假設一階線性方程式 y=20x，用以代表這些數據的一個方程式。以下將上述繪圖的 matlab 指令列出，并計算這個線性方程式的 y 值與原數據 y 值間誤差平方的總合。 x=0 1 2

5、 3 4 5; y=0 20 60 68 77 110; y1=20*x; % 一階線性方程式的 y1 值 sum_sq = sum(y-y1).2); % 誤差平方總合為 573 axis(-1,6,-20,120) plot(x,y1,x,y,o), title(linear estimate), grid 如此任意的假設一個線性方程式并無根據，如果換成其它人來設定就可能采用不同的線性方程式；所以我們 須要有比較精確方式決定理想的線性方程式。我們可以要求誤差平方的總合為最小，做為決定理想的線性方 程式的準則，這樣的方法就稱為最小平方誤差(least squares error)或是線性回歸

6、。matlab的polyfit函數提供了 從一階到高階多項式的回歸法，其語法為polyfit(x,y,n)，其中x,y為輸入數據組n為多項式的階數，n=1就是一階 的線性回歸法。polyfit函數所建立的多項式可以寫成 從polyfit函數得到的輸出值就是上述的各項系數，以一階線性回歸為例n=1，所以只有 二個輸出值。如果指令為coef=polyfit(x,y,n)，則coef(1)= , coef(2)=,.,coef(n+1)= 。注意上式對n 階的多 項式會有 n+1 項的系數。我們來看以下的線性回歸的示范： x=0 1 2 3 4 5; y=0 20 60 68 77 110; coe

7、f=polyfit(x,y,1); % coef 代表線性回歸的二個輸出值 a0=coef(1); a1=coef(2); ybest=a0*x+a1; % 由線性回歸產生的一階方程式 sum_sq=sum(y-ybest).2); % 誤差平方總合為 356.82 axis(-1,6,-20,120) plot(x,ybest,x,y,o), title(linear regression estimate), grid對于本題，我們可以看出，所給出的已知數據極有可能適合線性回歸的特性，一次，我們在此設建立的模型為線性模型。三、符號約定y-油量調節(jié)桿的位移x1-噴油泵的轉速x2-平均供油量b

8、0、b1、b2、b3均為函數式中的常數。四、問題分析及數據處理（1）油量調節(jié)桿的位移與噴油泵的轉速的函數問題：模型匯總和參數估計值因變量:位移(mm)方程模型匯總參數估計值r 方fdf1df2sig.常數線性.904197.403121.000對數.74160.044121.000倒數.50221.205121.000二次.963259.040220.000三次.986430.911319.000復合a.000冪a.000sa.000增長a.000指數a.000logistica.000自變量為 轉速(轉/分)。a. 因變量 (位移(mm) 包含非正數值。 最小值為 .0。無法應用對數變換。

9、無法為此變量計算復合模型、冪模型、s 模型、增長模型、指數模型和對數模型。模型匯總和參數估計值因變量:位移(mm)方程參數估計值常數b1b2b3線性13.929-.011對數32.832-4.087倒數5.412905.787二次11.561.002-1.236e-5三次14.187-.0223.946e-5-3.209e-8復合a.000冪a.000sa.000增長a.000指數a.000logistica.000自變量為 轉速(轉/分)。分析、選取模型：在線性回歸的模型中，r方表示了實際數據的變量y的總偏差中能夠被直線模型所解釋的那一部分的比例，其取值范圍為（0-1），r方越接近于1，用回

10、歸曲線模型對實際數據的擬合越好。在上面的模型匯總的表中我們觀察到，三次函數的r方的值最大0.986，最接近于一，因此認為所建立的三次函數模型對于實際數據的擬合程度最好。從位移與轉速的函數曲線也可以看出，建立的一次線性模型、對數函數模型、反向函數模型、二次函數模型、三次函數模型中，與已觀測數據曲線最吻合的曲線是三次函數曲線。由以上推論我們得出結論，即選定建立的三次函數模型為我們所求的調節(jié)桿的位移與噴油泵的轉速的函數關系模型。（2）、油量調節(jié)桿的位移與平均供油量的函數問題：模型匯總和參數估計值因變量:位移(mm)方程模型匯總參數估計值r 方fdf1df2sig.常數線性.976840.891121

11、.000對數a.倒數b.二次.982558.283220.000三次.988504.875319.000復合c.000冪a,c.000sb,c.000增長c.000指數c.000logisticc.000自變量為 供油量(ml/100次)。a. 自變量 (供油量(ml/100次) 包含非正數值。 最小值為 .00。無法計算對數模型和冪模型。b. 自變量 (供油量(ml/100次) 包含零值。 無法計算倒數模型和 s 模型。c. 因變量 (位移(mm) 包含非正數值。 最小值為 .0。無法應用對數變換。 無法為此變量計算復合模型、冪模型、s 模型、增長模型、指數模型和對數模型。模型匯總和參數估計

12、值因變量:位移(mm)方程參數估計值常數b1b2b3線性1.087.607對數a.000.000倒數b.000.000二次.441.811-.010三次-.2591.321-.075.002復合c.000冪a,c.000sb,c.000增長c.000指數c.000logisticc.000自變量為 供油量(ml/100次)。a. 自變量 (供油量(ml/100次) 包含非正數值。 最小值為 .00。無法計算對數模型和冪模型。b. 自變量 (供油量(ml/100次) 包含零值。 無法計算倒數模型和 s 模型。c. 因變量 (位移(mm) 包含非正數值。 最小值為 .0。無法應用對數變換。 無法為

13、此變量計算復合模型、冪模型、s 模型、增長模型、指數模型和對數模型。分析選取模型對于位移與平均供油量的函數模型，由模型匯總與參數估計的表中可以看出，三次函數的r方值為0.988，最接近于1，且由函數曲線圖可以觀察出，三次函數的曲線與實際觀測數據擬合度最好，因此，選取三次函數模型即為油量調節(jié)桿的位移與平均供油量的函數關系模型。五、模型求解方法一：圖形法：按照函數關系式，將函數圖形繪制出來，選取具體點，估計函數值。（一）對油量調節(jié)桿的位移與噴油泵的轉速的函數關系的求解：既已選取好模型，對應的參數如下：方程b0三次14.187已知三次函數對應的線性方程：y=b0+b1x+b2x2+b3x3代入參數可

14、得：油量調節(jié)桿的位移與噴油泵的轉速的函數關系為：y=14.187 0.022x1+（3.946e-5）x12+（-3.209e-8）x13（二）對油量調節(jié)桿的位移與平均供油量的函數關系的求解：對應的參數如下：方程b0b1b2b3三次-.2591.321-.075.002代入參數得：油量調節(jié)桿的位移與平均供油量的函數關系為：y=-0.259+1.321x20.075x22+0.002x23(三)在油量調節(jié)桿位移為2、6和11.5三點上估計噴油泵的轉速和平均供油量：在圖上作業(yè)由以上圖形可以粗略估計出，當油量調節(jié)桿位移為2、6和11.5三點上估計噴油泵的轉速和平均供油量如下表所示：油量調節(jié)桿位移（m

15、m）2611.5噴油泵的轉速(轉/分)935775165平均供油量（ml/100次）1.906.9519.00方法二: 用lingo編寫程序問題一y=2y=6y=11.5問題二y=2y=6y=11.5由以上程序運行結果可以看出，當油量調節(jié)桿位移為2、6和11.5三點上估計噴油泵的轉速和平均供油量如下表所示：油量調節(jié)桿位移（mm）2611.5噴油泵的轉速(轉/分)931.38769.60163.89平均供油量（ml/100次）1.917.0019.03六、模型評價本題在建立模型時，對題中所給出的數據做了大量的研究，另外結合線性回歸問題的一些特性，從而大膽的作出決定，首先建立出一系列的線性模型，然后通過實際數據對所建立的模型進行驗證、評價，因此，本文的結果是建立在經過事實驗證的基礎上的，因此具有一定的科學性和說服力。并且，將這一類的問題統(tǒng)一的規(guī)劃到了線性回歸的一類，使問題在一定程度上變得簡潔，減少了一定的運算量。但是，我們