數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文

1、歸納與類比在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用目 錄摘要 1abstract1第一章 緒論21.1前言21.2歸納與類比法的作用21.2.1歸納法的作用21.2.2類比法的作用2第二章歸納與類比法的定義及其特點22.1歸納法與類比法的定義.22.1.1歸納法的定義22.1.類比法的定義22.2歸納法與類比法的特點32.2.1歸納法的特點32.2.1類比法的特點3第三章 歸納與類比的例題33.1歸納與類比在代數(shù)中應(yīng)用43.2歸納與類比在幾何中應(yīng)用53.3歸納與類比在函數(shù)中應(yīng)用63.4歸納與類比的綜合應(yīng)用8第四章 結(jié)論9參考文獻(xiàn)10致謝11歸納與類比在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用學(xué)生：指導(dǎo)教師：摘要：所謂數(shù)學(xué)歸納法，就

2、是從特殊的具體的認(rèn)識推進(jìn)到一般的抽象的認(rèn)識的一種思維方式,它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方式. 類比法是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的方法。關(guān)鍵詞：歸納法；類比法；數(shù)學(xué)教學(xué)；特例；證明 summarize and analogy in middle school mathematics teaching applicationstudent: guo li zhang supervisor: occurrence yuanabstract : so-called mathematical induction, is from the spec

3、ial specific knowledge advances into general abstract know a way of thinking, it is of scientific discovery with a long effective way of thinking. the analogy method is based on two or two things in some properties on the same or similar, and introduced them in other attributes on the same or simila

4、rkey word: induction , the analogy method , mathematics teaching exceptions , proof第一章 緒論1.1 前言歸納法和類比法是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基本方法。本文在給出歸納法和類比法定義及其特點的基礎(chǔ)上分析了其在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展教學(xué)中的重要作用。并分別從歸納與類比在代數(shù)、幾何、函數(shù)等例題中再逐步體會歸納與類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.1.2歸納與類比法的作用1.2.1 歸納法的作用歸納法在數(shù)學(xué)上是證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法。它包括兩個步驟：(1)驗證當(dāng)n取第一個自然數(shù)值n=n1(n1=1，2或其他常數(shù))時，命題正確；(2)假設(shè)當(dāng)

5、n取某一自然數(shù)k時命題正確，以此類推出當(dāng)n=k+1時這個命題也正確。從而就可斷定命題對于從n1開始的所有自然數(shù)都成立。 1.2.2類比法的作用類比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是結(jié)論，那么類比思維的過程就是一個推理過程。古典類比法認(rèn)為，如果我們在比較過程中發(fā)現(xiàn)被比較的對象有越來越多的共同點，并且知道其中一個對象有某種情況而另一個對象還沒有發(fā)現(xiàn)這個情況，這時候人們頭腦就有理由進(jìn)行類推，由此認(rèn)定另一對象也應(yīng)有這個情況?，F(xiàn)代類比法認(rèn)為，類比之所以能夠“由此及彼”，之間是經(jīng)過了一個歸納和演繹程序的即：從已知的某個或某些對象具有某情況，經(jīng)過歸納得出某類所有對象都具有這情況，然

6、后再經(jīng)過一個演繹得出另一個對象也具有這個情況。所謂演繹就是。第二章歸納與類比法的定義及其特點2.1 歸納法與類比法的定義2.1.1 歸納法的定義從許多個別事例中獲得一個較具概括性的規(guī)則。這種方法主要是從收集到的既有資料，加以抽絲剝繭地分析，最后得以做出一個概括性的結(jié)論。2.1.2 類比法的定義類比法是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法，它是一種從特殊到特殊的推理方法，屬于一種橫向思維2.2歸納法與類比法的特點2.2.1歸納法的特點歸納法是依據(jù)若干已知的不完盡的現(xiàn)象推斷上屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測的性質(zhì)；歸納法的前提是單個事實、特殊情況,所

7、以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或?qū)嶒灥幕A(chǔ)上的.2.2.2類比法的特點 類比法是“先比后推”?！氨取笔穷惐鹊幕A(chǔ)，“比”既要共同點也要“比”不同點。對象之間的共同點是類比法是否能夠施行的前提條件，沒有共同點的對象之間是無法進(jìn)行類比推理的。類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的一種有效的方法。這對數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要作用?，F(xiàn)在我先以歸納法為例簡單的說明一下：多面體的面數(shù)f、頂點數(shù)v和棱數(shù)e之間有什么關(guān)系呢?應(yīng)該從何處著手來研究這個問題呢?最容易下手的莫過于拿幾個多面體來看,具體地數(shù)一數(shù)它們的面、頂點和棱，于是產(chǎn)生了下面的表:

8、多 面 體面數(shù)(f)頂點數(shù)(v)棱數(shù)(e)長 方 體6812三 棱 柱569五 棱 柱71015 三 棱 錐 446 五 棱 錐6610從分析這些特例的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上就可以歸納出一個結(jié)論:.（2-1） 盡管這時還不能認(rèn)為這個結(jié)論是正確的,但是它畢竟為我們提供一個研究的方向,即根據(jù)這個結(jié)論再去證實它符合一般多面體的情形.在此就不證明了（這個很好的運用到了歸納法）第三章 歸納與類比的例題歸納與類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，代數(shù)幾何函數(shù)中都有所用到。下面我將從這幾方面的例題中逐一的介紹和論述。3.1 在代數(shù)中應(yīng)用例1. 已知數(shù)列，。s為其前n項和，求s、s、s、s，推測s公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明?！?/p>

9、解】 （就講其中的一種解法）：計算得s，s，s，s ， 猜測s (nn)。 （3-1-1） 當(dāng)n1時，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即s， （3-1-2）當(dāng)nk1時，ss , （3-1-3）由此可知，當(dāng)nk1時等式也成立。綜上所述，等式對任何nn都成立?！咀ⅰ?把要證的等式s作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k3）1。這樣證明的過程簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法做出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論

10、不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 猜想 證明。例 2：計算下列式子的值 分析：以上式子是有理數(shù)的除法的運算，其中含有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運算。首先我們先看第一個式子 這是整數(shù)相除，我們可以把它轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)計算，根據(jù)小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)概念：兩數(shù)相除，可以表示成分?jǐn)?shù)的形式，（運用到類比的方法：小學(xué)分?jǐn)?shù)與初中有理數(shù)的除法） ，再看第二個式子這個式子是分?jǐn)?shù)相除，我們把它與乘法進(jìn)行比較把轉(zhuǎn)化成 得出？=1，這是在上新課的時候用的方法即可以把看作得出有理數(shù)除法的法則?！窘狻浚?在解的過程中，一定要注意進(jìn)行類比的相同之處和不同之處轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的要求是什么？分母不能為零和書寫的要求 3.2 在幾何

11、中的運用例 3： n個半圓的圓心在同一條直線上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證 當(dāng)n=2時，由圖(1)兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22當(dāng)n=3時，由圖(2)三個半徑交于三點，則分成9段圓弧，故f (3)=9=32由n=4時，由圖(3)三個半圓交于6點，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：證明：當(dāng)n=2時，上面已證設(shè)n=k時，f (k)=k2，那么當(dāng)n=k

12、+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓??；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最多分成(k+1)2段圓弧由、可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了多少條？可以從f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)

13、例4：已知p是abc所在平面外一點，已知pa、pb、pc兩兩垂直，ph平面abc于h，求證：證明：連ch延長交ab于d pcpa，pcpb， pc平面pab pcab，又ph平面abc phab ab平面pch，pdab又papb，由三角形面積公式有 ，又， 同理 3.3 在函數(shù)中的運用例 5 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：coscoscos.cos =證畢。這是一道往年的高考題，我們觀察上式中的左邊可以發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，如單個式子歸納猜想出從而一步一步的進(jìn)行代換，最后剩下和右邊的式子相同。從而得到證明，在解此類題目的時候解題前的分析十分重要注意觀察題目中的關(guān)系。運用以前學(xué)過的方法公示等計算。例 6：已

14、知函數(shù)，試求它的反函數(shù)以及反函數(shù)的定義域和值域。 (1-y)=y, （3-3-1） （3-3-2） （3-3-3）反函數(shù)的定義域為(0，1)，值域為yr解析：這道題主要運用類比的方法求反函數(shù)的定義域和值域，在學(xué)過反函數(shù)后我們都知道反函數(shù)和原函數(shù)的定義域和值域剛好相反，在解此類題時，我們只需求出原函數(shù)的定義域和值域那么反函數(shù)的定義域和值域就知道了。3.4 歸納與類比的綜合運用例 7：如果空間有n個平面，其中任何3個平面至少有1個公共點，任何3個平面不共一條直線，任何4個平面不共有同一點，那么這n個平面能夠把空間分成幾個部分？分析：把問題“退”到“平面問題”任何3條直線不相交于同一點，那么這n條直

15、線能夠把平面分成幾個部分？分1條、2條、3條.直線的個別情況，運用歸納推理，有： k=1,f(1)=f(0)+1=1+1=2； （3-4-1） k=2,f(2)=f(1)+2=2+2=4； （3-4-2） k=3,f(3)=f(2)+3=4+3=7； （3-4-3）k=4,f(4)=f(3)+4=7+4=11； （3-4-4）推測：k=n,f(n)=f(n-1)+n. （3-4-5）將以上幾個式子相加，得f(n)=f(0)+(1+2+3+4+n)=1+n(n+1)(nn). （3-4-6） 即平面內(nèi)符合題意的n條直線將該平面分成1+n(n+1)個部分。第四章 結(jié)論通過以上幾個例子我們可以簡單的

16、了解到歸納與類比在中學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛的，幾乎可以在中學(xué)數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容中看到。本文結(jié)合實例，對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了介紹和論述大量實踐表明：解數(shù)學(xué)問題時，首先必須按照問題的要求確立一個解題目標(biāo)，然后比較初始條件、中間狀態(tài)、解題目標(biāo)之間的差異，以此確定和控制解題方向，再進(jìn)行推理運算，使差異逐步縮小，最終實現(xiàn)解題眾所周知，數(shù)學(xué)歸納法與類比法是重要的證明方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點，為了解決這一難點，可以將目標(biāo)意識運用在數(shù)學(xué)歸納與類比法中。經(jīng)過多年的探索和嘗試,數(shù)學(xué)歸納與類比法在人類的各個領(lǐng)域內(nèi)都有很大的貢獻(xiàn)，是科學(xué)研究最基本的方法.參考文獻(xiàn)【1】 黃壽鈺歸納與類比在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2 0 0 0，（ 1 1）【 1 】【2】 陳吉云，郭朋貴，蔣永紅數(shù)學(xué)創(chuàng)新方法漫談（二）歸納法與類比法高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版)2006，（2） 【2】致謝值此論文完成之際,謹(jǐn)向關(guān)心、幫