[工學(xué)]第一章矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)題解

1、電磁場(chǎng)題解第一章 矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)1-1 求下列溫度場(chǎng)的等溫線1），2）解 求等溫線即設(shè)定相關(guān)的方程為常數(shù)，因此可得 ，； 1-2 求下列標(biāo)量場(chǎng)的等值面1），2）， 3）解 據(jù)題意可得 ， ，1-3 求矢量場(chǎng) 經(jīng)過點(diǎn)的矢量線方程。解 根據(jù)矢量線的定義，可得 解微分方程，可得 ， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得 ， 即 ， 為所求矢量線方程。1-4 求矢量場(chǎng)的矢量線方程。解 根據(jù)矢量線的定義，可得 解微分方程，可得 ， 為所求矢量線方程。1-5 設(shè)，求： 1）在點(diǎn)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)， 2）在點(diǎn)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)。解 的方向余弦為 ，； 又有 ， 據(jù)方向?qū)?shù)的定義，可得 1-6 求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn) 處沿

2、其矢徑方向的方向?qū)?shù)。解 的方向余弦為 ，； 又有 ，據(jù)方向?qū)?shù)的定義，可得 1-7 設(shè)有標(biāo)量場(chǎng)，求在點(diǎn)處沿該點(diǎn)至方向的方向?qū)?shù)。在點(diǎn)沿什么方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值？其值是多少？ 解 點(diǎn)至點(diǎn)的方向余弦為 ，； 又有 ，據(jù)方向?qū)?shù)的定義，可得 當(dāng)方向余弦均為1時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，即沿方向?qū)?shù)達(dá)最大值，1-8 求下列標(biāo)量場(chǎng)的 1）；2）；3）； 4）； 5）解 據(jù) ，可得1）2）3）4）5）1-9 求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度。解 ，則所求梯度為1-10 求標(biāo)量場(chǎng)具有最大方向?qū)?shù)的點(diǎn)及方向，所求的點(diǎn)滿足。（提示：最大的方向?qū)?shù)就是在點(diǎn)處的梯度，模最大，且滿足，即求條件極值。）解 ，將代入，可得 ，即

3、，當(dāng)、時(shí)，有，即點(diǎn)和為滿足條件的點(diǎn)，又，即最大方向?qū)?shù)的方向分別為1-11 設(shè)為正整數(shù)， 1）求 2）證明是常矢量）解 1） 2） 證明 設(shè) ，則 ，因此，可得 ，證畢。1-12 設(shè)s為上半球面其法向單位矢量與軸的夾角為銳角，求矢量場(chǎng) 沿所指的方向穿過s的通量。（提示：注意與同向）解 將用球坐標(biāo)表示，則在面上有，因此，可得 1-13 求均勻矢量場(chǎng)通過半徑為的半球面的通量。（如圖1-1所示）解 設(shè)半球面的方程為則矢量通過面的通量等于矢量通過面在的平面上的投影的通量，因此，1-14 計(jì)算曲面積分,其中是球心在原點(diǎn)，半徑為a的球面外側(cè)。解 設(shè)，根據(jù)散度定理，可得1-15 求矢量場(chǎng)從內(nèi)穿出所給閉曲面的

4、通量： 1），為球面 2），為橢球面解 1） 根據(jù)散度定理，可得2）1-16 求下列空間矢量場(chǎng)的散度： 1） 2）解 1） 2）1-17 求在給定點(diǎn)處的值： 1）在m（1.0，0.0，-1.0)處； 2） ,在m（1.0，1.0，3.0）處； 3）在m（1.0，3.0，2.0）處。解 1） ，則2） ，則3） ，則1-18 求標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)的散度。解 1-19 已知液體的流速場(chǎng) ，問點(diǎn)m（1.0，2.0，3.0）是否為源點(diǎn)？解 ，由于，所以是源點(diǎn)。1-20 已知點(diǎn)電荷分別位于兩點(diǎn)處，求從閉曲面s內(nèi)穿出的電場(chǎng)強(qiáng)度通量, ,其中為： 1）不包含兩點(diǎn)的任一閉曲面； 2）僅包含點(diǎn)的任一閉曲面； 3)

5、同時(shí)包含兩點(diǎn)任一閉曲面。解 據(jù)高斯通量定理，可得1）2）3）1-21 求矢量場(chǎng) (c為常數(shù)）沿下列曲線的環(huán)量 1）圓周（旋轉(zhuǎn)方向與軸成右手關(guān)系） 2）圓周（旋轉(zhuǎn)方向與軸成右手關(guān)系）解 設(shè)圓周包圍的曲面為，則，據(jù)斯托克斯定理，可得1） 2）1-22 求矢量場(chǎng)在點(diǎn)m（1.0，3.0，2.0）處的旋度以及在這點(diǎn)沿方向的環(huán)量面密度。解 矢量場(chǎng)在點(diǎn)m（1.0，3.0，2.0）處的旋度為沿方向的環(huán)量面密度為 1-23 設(shè)矢量場(chǎng)，求該矢量場(chǎng)沿橢圓周c：與軸成右手關(guān)系方向的環(huán)量。解 據(jù)斯托克斯定理，可得1-24 求題1-16中各矢量場(chǎng)的旋度。解 ，分別可得1） 2）1-25 試證明矢量恒等式和。證明 1） 對(duì)

6、于標(biāo)量函數(shù)，有 2） 對(duì)于矢量函數(shù)，有第二章 靜電場(chǎng) (注意：以下各題中凡是未標(biāo)明電介質(zhì)和導(dǎo)體的空間，按真空考慮）2-1 在邊長為的正方形四角頂點(diǎn)上放置電荷量為的點(diǎn)電荷，在正方形幾何中心處放置電荷量為的點(diǎn)電荷。問為何值時(shí)四個(gè)頂點(diǎn)上的電荷受力均為零。解 如圖建立坐標(biāo)系，可得據(jù)題設(shè)條件，令 ，解得 2-2 有一長為，電荷線密度為的直線電荷。 1）求直線延長線上到線電荷中心距離為處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位； 2）求線電荷中垂線上到線電荷中心距離為處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位。解 1）如圖（a）建立坐標(biāo)系，題設(shè)線電荷位于軸上之間，則處的電荷微元在坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位分別為，由此可得線電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

7、和電位分別為 2）如圖（b）建立坐標(biāo)系，題設(shè)線電荷位于軸上之間，則處的電荷微元在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位分別為，式中，分別代入上兩式，并考慮對(duì)稱性，可知電場(chǎng)強(qiáng)度僅為方向，因此可得所求的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位分別為2-3 半徑為的圓盤，均勻帶電，電荷面密度為。求圓盤軸線上到圓心距離為的場(chǎng)點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。解 根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在圓盤形面電荷的圓心，軸與面電荷軸線重合。場(chǎng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為。在帶電圓盤上取一個(gè)電荷元，源點(diǎn)坐標(biāo)為。由電荷元產(chǎn)生的電位 計(jì)算p點(diǎn)電位時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)不變，源點(diǎn)坐標(biāo)中是變量。 整個(gè)圓盤形面電荷產(chǎn)生的電位為 根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，整個(gè)圓盤形面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度只

8、有方向的分量 2-4 在空間，下列矢量函數(shù)中哪些可能是電場(chǎng)強(qiáng)度，哪些不是？回答并說明理由。 1） 2） 3） 4） （球坐標(biāo)系）5）（圓柱坐標(biāo)系）解 對(duì)于給定各矢量表達(dá)式求旋度，可得1）2）3）4）5） 據(jù)，可知式3）和式5）不可能是電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式，而其余各式可能是電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式。2-5 有兩相距為的平行無限大平面電荷，電荷面密度分別為和。求兩無窮大平面分割出的三個(gè)空間區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 如圖2-4所示的三個(gè)區(qū)域中，作高斯面，據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場(chǎng)強(qiáng)度為零；再作高斯面，據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（2）2-6 求厚度為，體電荷密度為的均勻帶電無限大平板在空間三個(gè)區(qū)域產(chǎn)生

9、的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 如圖2-5所示的三個(gè)區(qū)域中，作高斯面，據(jù)高斯通量定理，電場(chǎng)強(qiáng)度在上的通量為可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場(chǎng)強(qiáng)度 對(duì)于區(qū)域（2），如圖建立坐標(biāo)系，作高斯面，據(jù)高斯通量定理，電場(chǎng)強(qiáng)度在上的通量為 ，得 2-7 有一半徑為的均勻帶電無窮長圓柱體，其單位長度上帶電荷量為。求空間的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 如圖建立圓柱坐標(biāo)系，設(shè)圓柱體的體電荷密度為，則有 ，即 作柱對(duì)稱高斯面，可得當(dāng)，解得 當(dāng)，解得 2-8 如圖2-7所示，一半徑為的均勻帶電無窮長圓柱體電荷，電荷體密度為，在其中挖出半徑為的無窮長平行圓柱孔洞，兩圓柱軸線距離為。求孔洞內(nèi)各處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 設(shè)孔洞內(nèi)任意場(chǎng)點(diǎn)至大、小兩圓柱體軸心的矢徑分

10、別為、，則當(dāng)孔洞內(nèi)充滿體密度為的電荷時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)處有 孔洞內(nèi)充滿充滿體密度為的電荷時(shí)，由在場(chǎng)點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 則所求場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 式中為兩圓柱軸線間距的單位矢量，方向?yàn)閺拇髨A柱體的軸心指向小圓柱體的軸心。2-9 求如圖2-8所示電偶極子對(duì)實(shí)驗(yàn)電荷的作用力。解 據(jù)教材36頁式（2-67），可得實(shí)驗(yàn)電荷處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 則實(shí)驗(yàn)電荷所受電場(chǎng)力為 2-10 如圖2-9所示，平行平板電容器中，一半是介電常數(shù)為的電介質(zhì)，另一半是真空。電容器正負(fù)極之間距離為，加電壓。求電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移矢量、極化強(qiáng)度、極化電荷體密度以及電介質(zhì)與真空分界面上的極化面電荷密度。解 設(shè)介電常數(shù)為的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為，真空

11、中的電場(chǎng)強(qiáng)度為，據(jù)邊界條件可得 ，據(jù)，可得電位移矢量分別為 ， 據(jù)，可得介質(zhì)中的極化強(qiáng)度為 以上各矢量的方向均為從正極板指向負(fù)極板。極化電荷體密度為 分界面上的極化面電荷密度為 2-11 有一帶電導(dǎo)體球，帶電荷量為，周圍空間為空氣?？諝獾慕殡姵?shù)為，空氣的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為。問導(dǎo)體球的半徑大到什么程度就不會(huì)出現(xiàn)空氣擊穿？解 電場(chǎng)強(qiáng)度在導(dǎo)體球表面達(dá)到最大值，即 則 2-12 試證明在線性、各向同性、均勻電介質(zhì)中若沒有自由體電荷就不會(huì)有束縛體電荷。證明 由于在線性、各向同性、均勻電介質(zhì)中，又，則，可得，即。2-13 已知某種球?qū)ΨQ分布的電荷產(chǎn)生的電位在球坐標(biāo)系中的表示式為，和均為常數(shù)。求體電荷密度。解 據(jù)

12、，可得 2-14 有一平行平板電容器，兩極板距離 ，之間平行地放置兩塊薄金屬片和，忽略薄金屬片的厚度，有。若將兩極板充電到電壓后，拆去電源，問： 1）之間的電壓為多少？和兩金屬片上電荷分布如何？之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少？ 2）在1）的基礎(chǔ)上，若將和兩金屬片用導(dǎo)線聯(lián)接后再斷開，重新回答1）中的三個(gè)問題。 3）若充電前先用導(dǎo)線聯(lián)接和兩金屬片，充電完成后先斷開電源，再斷開和之間連線，重新回答1）中的三個(gè)問題。 4）在2）的基礎(chǔ)上，若將和用導(dǎo)線聯(lián)接再斷開，重新回答1）中的三個(gè)問題。解 極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為均勻的，各極板位于等位面上。 1）各極板間距相同，因此 ， 在c、d兩金屬片的兩面均勻分布有電量相同的正

13、、負(fù)面電荷， 各極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度相同，2）將和兩金屬片用導(dǎo)線聯(lián)接，則，由于a、b極板上的電荷不變，則a、c間和d、b間的電場(chǎng)強(qiáng)度不變，電壓也不變，即，；c、d相對(duì)的面上電荷中和后為零，另一面不變，量值。3）若充電前先用導(dǎo)線聯(lián)接和兩金屬片，則充電后，各極板上的電荷同2）一樣，分布在a、c或d、b相對(duì)的面上，但電荷的量值為，a、c及d、b之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為，c、d之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。4）據(jù)題設(shè)條件，可知，這時(shí)c、d極板上的電荷量不變，但分布于極板的兩側(cè)，設(shè)a、c及d、b相對(duì)面的電荷為，而d、c相對(duì)面的電荷為，則，根據(jù)電荷分布，設(shè)，可得，即，根據(jù)可得，即，解式、，可得、，因此可得、，a、c及d、b相對(duì)

14、面電荷分布，c、d相對(duì)面電荷分布。 2-15 有一分區(qū)均勻電介質(zhì)電場(chǎng)，區(qū)域1（）中的相對(duì)介電常數(shù)為，區(qū)域2（）中的相對(duì)介電常數(shù)為。已知，求、和。解 根據(jù)，已知 ，則有 有根據(jù)邊界條件，可得 及 2-16 一半徑為的金屬球位于兩種不同電介質(zhì)的無窮大分界平面處，導(dǎo)體球的電位為。求兩種電介質(zhì)中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量。解 設(shè)上、下半球的電荷面密度分別為和，則在半徑為的球面上，有，即 將、代入上式，同時(shí)考慮到在介質(zhì)界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度只有沿界面切線方向的分量，即，則有 ，據(jù)題意可得 ，由此可得，并可得 ，2-17 在直角坐標(biāo)系中，給定一電荷分布為求空間各區(qū)域的電位分布。解 作圖2-12所示的圓柱面，兩端

15、面位于處，則當(dāng)時(shí)，閉合面內(nèi)所包圍的電荷量為電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)時(shí)，閉合面內(nèi)所包圍的電荷量為則電場(chǎng)強(qiáng)度也為零。 設(shè)，可得2-18 在平行平面靜電場(chǎng)中，若邊界線的某一部分與一條電場(chǎng)強(qiáng)度線重合。問：這部分邊界線的邊界條件如何表示？解 由于邊界線為電場(chǎng)強(qiáng)度線，則不能是等電位線，界面上也無電場(chǎng)強(qiáng)度的法線方向分量，則界面上，由此可得，界面上邊界條件為2-19 無限大導(dǎo)體平面上方左右對(duì)稱放置兩種電介質(zhì)，介電常數(shù)分別為和。在第一種電介質(zhì)中距導(dǎo)體平面，距電介質(zhì)分界面處，放置一點(diǎn)電荷。若求解區(qū)域?yàn)榈谝环N媒質(zhì)的空間，求鏡象電荷。解 在圖2-13中，設(shè)下半?yún)^(qū)為導(dǎo)體，則可得鏡象電荷分別為、和，其中2-20 導(dǎo)體表面如圖2-1

16、4所示的兩無限大平面，在兩導(dǎo)體平面形成的空間區(qū)域放置一點(diǎn)電荷。問：兩平面之間夾角為下列數(shù)值中哪一個(gè)時(shí)可以用鏡象法？鏡象電荷如何分布？1）， 2），3）解 當(dāng)時(shí)可以用鏡象法求解，鏡象電荷如圖2-15所示。2-21 求截面如圖2-16所示長度為的兩種圓柱形電容器的電容。解 （1） 設(shè)內(nèi)、外極板上分別有電荷，則在兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為，電極間電壓為 因此，極間電容為 （2） 設(shè)內(nèi)、外極板上分別有電荷，其中在第一種介質(zhì)中，內(nèi)導(dǎo)體上的面電荷密度為，在第二種介質(zhì)中，內(nèi)導(dǎo)體上的面電荷密度為，則據(jù)高斯定理，有 ，考慮邊界條件，有， 代入上式，可得 ，即，又有 因此 2-22 球形電容器內(nèi)導(dǎo)體極板半徑為，外

17、導(dǎo)體極板半徑為，極板間充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)。求電容器的電容。解 設(shè)球形電容器內(nèi)導(dǎo)體電極上的分別帶有電荷，則在極間介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為，極間電壓為因此 第四章 恒定磁場(chǎng) (注意：以下各題中凡是未標(biāo)明磁媒質(zhì)的空間，按真空考慮）4-1 如題4-1圖所示，兩條通以電流的半無窮長直導(dǎo)線垂直交于o點(diǎn)。在兩導(dǎo)線所在平面，以o點(diǎn)為圓心作半徑為的圓。求圓周上a、b、c、d、e、f各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 參考教材71頁的例4-1，可知，圖4-2所示通有電流的直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為因此，可得（設(shè)參考正方向?yàn)橹赋黾埫妫┯妙愃频姆椒傻?，4-2 平面上有一正邊形導(dǎo)線回路?；芈返闹行脑谠c(diǎn)，邊形頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為。

18、導(dǎo)線中電流為。 1）求此載流回路在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度； 2）證明當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，所得磁感應(yīng)強(qiáng)度與半徑為的圓形載流導(dǎo)線回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同；3）計(jì)算等于3時(shí)原點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 。解 如圖4-3中所示為正邊形導(dǎo)線回路的一個(gè)邊長，則所對(duì)應(yīng)的圓心角為，各邊在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1）n條邊在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 2）當(dāng)n時(shí)，圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 3）當(dāng)?shù)扔?時(shí)圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 4-3 設(shè)矢量磁位的參考點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處，計(jì)算半徑為的圓形導(dǎo)線回路通以電流時(shí)，在其軸線上產(chǎn)生的矢量磁位。解 如圖4-4建立坐標(biāo)系，可得軸線上處的矢量磁位為 4-4 設(shè)矢量磁位的參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，計(jì)算一段長為2米的直線電流

19、在其中垂線上距線電流1米處的矢量磁位。解 據(jù)76頁例4-4，可得 ，其中，則 4-5 在空間，下列矢量函數(shù)哪些可能是磁感應(yīng)強(qiáng)度？哪些不是？回答并說明理由。 1） （球坐標(biāo)系） 2） 3） 4） （球坐標(biāo)系） 5） （圓柱坐標(biāo)系）解 1） 2）3）4）5） 由于，因此以上表達(dá)式中，1）不是磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式，而2）5）可能是磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式。4-6 相距為的平行無限大平面電流，兩平面分別在和平行于平面。面電流密度分別為和，求由兩無限大平面分割出的三個(gè)空間區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 如圖建立坐標(biāo)系，并作平行于平面的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得 和平行于平面的閉合回線，可得 考慮坐標(biāo)系，及可得當(dāng)，；當(dāng)，；

20、當(dāng)，；4-7 求厚度為，中心在原點(diǎn)，沿平面平行放置，體電流密度為的無窮大導(dǎo)電板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 如圖4-6建立坐標(biāo)系，當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得，當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得，因此，可得4-8 如圖4-7所示，同軸電纜通以電流。求各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 作半徑為的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得 4-9 如圖4-8所示，兩無窮長平行圓柱面之間均勻分布著密度為的體電流。求小圓柱面內(nèi)空洞中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 設(shè)小圓柱面內(nèi)空洞中的任意點(diǎn)至大、小圓柱面的軸心距離分別為、，當(dāng)空洞內(nèi)也充滿體電流時(shí)，可得點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，空洞內(nèi)的體電流密度在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為4-10 內(nèi)半徑為，外半徑為，

21、厚度為，磁導(dǎo)率為（）的圓環(huán)形鐵芯，其上均勻緊密繞有匝線圈，如圖4-9所示。線圈中電流為。求鐵芯中的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁通以及線圈的磁鏈。解 在鐵芯中作與鐵芯圓環(huán)同軸半徑為的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得鐵芯中磁感應(yīng)強(qiáng)度為 相應(yīng)的磁通為 磁鏈為 4-11 在無限大磁媒質(zhì)分界面上，有一無窮長直線電流，如圖4-10所示。求兩種媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 設(shè)軸與電流的方向一致，則據(jù)安培環(huán)路定律，可得 ，據(jù)邊界條件，可得 解以上兩式，得 ，4-12 如圖4-11所示，無窮大鐵磁媒質(zhì)表面上方有一對(duì)平行直導(dǎo)線，導(dǎo)線截面半徑為。求這對(duì)導(dǎo)線單位長度的電感。解 根據(jù)教材97頁例題4-12、4-13，可得平行長線a

22、、b的單為長度內(nèi)自感為 對(duì)于外自感，如圖4-12取鏡象，a、b之間的外磁鏈可視為a、b和c、d中的電流分別作用后疊加，即，外磁鏈為 外自感為 因此，自感為4-13 如圖4-13所示，若在圓環(huán)軸線上放置一無窮長單匝導(dǎo)線，求導(dǎo)線與圓環(huán)線圈之間的互感。若導(dǎo)線不是無窮長，而是沿軸線穿過圓環(huán)后，繞到圓環(huán)外閉合，互感有何變化？若導(dǎo)線不沿軸線而是從任意點(diǎn)處穿過圓環(huán)后繞到圓環(huán)外閉合，互感有何變化？解 設(shè)長直導(dǎo)線中有電流，則在鐵芯線圈中產(chǎn)生的磁通和磁鏈分別為，因此，兩線圈之間的互感為根據(jù)諾以曼公式，可知兩線圈之間的互感也可視為鐵芯線圈中的電流產(chǎn)生被直導(dǎo)線所鏈繞的磁通與電流的比值，則題設(shè)后兩種情況中，直導(dǎo)線鏈繞的

23、磁通沒有發(fā)生變化，因此互感也不變。4-14 如圖4-14所示，內(nèi)半徑為，外半徑為，厚度為，磁導(dǎo)率為（）的圓環(huán)形鐵芯，其上均勻緊密繞有匝線圈。求此線圈的自感。若將鐵芯切割掉一小段，形成空氣隙，空氣隙對(duì)應(yīng)的圓心角度為，求線圈的自感。解 當(dāng)線圈中有電流時(shí)，設(shè)鐵芯中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為、氣隙中為，據(jù)安培環(huán)路定律，可得據(jù)邊界條件，可得 ，代入上式，得相應(yīng)的磁通為 則鐵芯及氣隙中的磁通為 線圈所鏈繞的磁通為 則電感為 4-15 分別求如圖4-15所示，兩種情況中兩回路之間的互感。解 （a）如圖建立坐標(biāo)系，對(duì)于三角形部分，可得長直導(dǎo)線中的電流在三角形線圈中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，則磁通為互感為 （b）如圖建立坐標(biāo)系，對(duì)

24、于三角形部分，可得長直導(dǎo)線中的電流在三角形線圈中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，則磁通為 互感為 4-16 試證明真空中以速度運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量之間關(guān)系為 。證明 如圖4-16，點(diǎn)電荷在半徑為處產(chǎn)生的電位移矢量為，當(dāng)點(diǎn)電荷以速度向方向運(yùn)動(dòng)時(shí)在半徑為處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為證畢。4-17 試證明真空中以角速度作半徑為圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，是與圓周運(yùn)動(dòng)方向成右手螺旋關(guān)系方向的單位矢量。證明 如圖4-17所示，以角速度作半徑為圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷的線速度為 ，則磁場(chǎng)強(qiáng)度 證畢。4-18 如圖4-18所示，半徑為，長度為的永磁材料圓柱，被永久磁化到磁化強(qiáng)度為。求軸線上任一點(diǎn)的磁感

25、應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 等效的磁化電流體密度和面密度分別為 ， 參閱教材72頁例4-2，可得圖4-19所示電流微元在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則圓柱體上的磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為4-19 有兩個(gè)相鄰的線圈，設(shè)各線圈的磁鏈的參考方向與線圈自身電流的參考方向成右手螺旋關(guān)系，問：如何選取兩線圈電流參考方向，才能使互感系數(shù)為正值？如何選取兩線圈電流參考方向，才能使互感系數(shù)為負(fù)值。解 選擇和的參考方向，使產(chǎn)生的磁通與成右手關(guān)系、產(chǎn)生的磁通與成右手關(guān)系，則互感系數(shù)為正值。選擇和的參考方向，使產(chǎn)生的磁通與成左手關(guān)系、產(chǎn)生的磁通與成左手關(guān)系，則互感系數(shù)為負(fù)值。4-20 半徑為的無窮長圓柱，表面載有密度為的面

26、電流。求空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度和矢量磁位。解 如圖建立圓柱坐標(biāo)，由于對(duì)稱性，則場(chǎng)量僅可能為的函數(shù)，作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓柱面，據(jù)，可得，即；對(duì)于，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度線應(yīng)經(jīng)無窮遠(yuǎn)處閉合，即，則當(dāng)，；當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得，即；作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓環(huán)線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得。 綜合以上分析，可得磁感應(yīng)強(qiáng)度為 根據(jù)，可得矢量磁位為 式中為環(huán)繞的閉合回線。4-21 在沿軸放置的長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)中，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的矢量磁位差和標(biāo)量磁位差（積分路徑不得環(huán)繞電流）。解 沿軸放置的長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，作軸心與重合、半徑為1的圓環(huán)線，設(shè)積分路徑為點(diǎn)與點(diǎn)之間半圓環(huán)線，由于在半

27、徑相同的點(diǎn)上，矢量磁位相同，因此矢量磁位差為0；標(biāo)量磁位差，式中正、負(fù)與電流與積分路徑繞行方向相關(guān)。第五章 時(shí)變電磁場(chǎng)5-1 如圖5-1所示，一個(gè)寬為、長為的矩形導(dǎo)體框，放置在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為。導(dǎo)體框靜止時(shí)其法線方向與呈角。求導(dǎo)體框靜止時(shí)或以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)（假定時(shí)刻，）時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 由于 ，據(jù) ，導(dǎo)體框靜止時(shí)， 導(dǎo)體框旋轉(zhuǎn)時(shí)，5-2 設(shè)圖5-2中隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)只有軸分量，并沿軸按的規(guī)律分布。現(xiàn)有一匝數(shù)為n的線圈平行于平面，以速度沿軸方向移動(dòng)（假定時(shí)刻，線圈幾何中心處）。求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 據(jù) 設(shè) ，則有5-3 一半徑為的金屬圓盤，在垂直方向的均勻磁場(chǎng)中以等角速度旋轉(zhuǎn)，其軸線與

28、磁場(chǎng)平行。在軸與圓盤邊緣上分別接有一對(duì)電刷，如圖5-3所示。這一裝置稱為法拉第發(fā)電機(jī)。試證明兩電刷之間的電壓為。解 由于，則有 5-4 設(shè)平板電容器極板間的距離為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，極板間接交流電源，電壓為。求極板間任意點(diǎn)的位移電流密度。解 對(duì)于平板電容器，極間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，則有 ，5-5 一同軸圓柱形電容器，其內(nèi)、外半徑分別為、，長度，極板間介質(zhì)的介電常數(shù)為，極板間接交流電源，電壓為 。求時(shí)極板間任意點(diǎn)的位移電流密度。解 對(duì)于同軸圓柱形電容器，由于，則極間電場(chǎng)強(qiáng)度和電壓分別為，因此 ，5-6 當(dāng)一個(gè)點(diǎn)電荷以角速度作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求圓心處位移電流密度的表達(dá)式。解 在圓心處，電位移矢量，由

29、于 ，則可得圓心處位移電流為 5-7 一個(gè)球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為和，內(nèi)、外導(dǎo)體間材料的的介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為，在內(nèi)、外導(dǎo)體間加低頻電壓。求內(nèi)、外導(dǎo)體間的全電流。解 對(duì)于球形電容器，極間電場(chǎng)強(qiáng)度為 ，電壓 ，則有，因此，傳導(dǎo)電流密度 位移電流密度 全電流密度 全電流 5-8 在一個(gè)圓形平行平板電容器的極間加上低頻電壓，設(shè)極間距離為，極間絕緣材料的介電常數(shù)為，試求極板間的磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 圓形平行平板電容器極間的電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移矢量及位移電流密度均為均勻場(chǎng)，即 ，據(jù)安培環(huán)路定律，可得 ，則 5-9 在交變電磁場(chǎng)中，某材料的相對(duì)介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為。分別求頻率、以及時(shí)位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比

30、值。解 據(jù) ，可得時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，5-10 一矩形線圈在均勻磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸與磁場(chǎng)方向垂直，轉(zhuǎn)速。線圈的匝數(shù)，線圈的邊長、。磁感應(yīng)強(qiáng)度。計(jì)算線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 轉(zhuǎn)速 ，角頻率 線圈截面 ，磁通 ，磁鏈 線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 5-11圖5-4所示的一對(duì)平行長線中有電流。求矩形線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 如圖建立坐標(biāo)系，則線框中任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 元磁通 ，則線圈所鏈繞的磁通線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)5-11 一根導(dǎo)線密繞成一個(gè)圓環(huán)，共100匝，圓環(huán)的半徑為5cm，如圖5-5所示。當(dāng)圓環(huán)繞其垂直于地面的直徑以的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，測(cè)得導(dǎo)線的端電壓為（有效值），求地磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的水平分量。解 轉(zhuǎn)速 ，角頻率 ，線圈

31、截面 通過線圈的磁通量 ，相應(yīng)的磁鏈 ，則線圈的電動(dòng)勢(shì)為 ，電動(dòng)勢(shì)的有效值 因此，所求地磁 5-13 真空中磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式為，求空間的位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。解 據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式，可得電場(chǎng)強(qiáng)度 ，又 ，則 ，位意電流密度 5-14 已知在某一理想介質(zhì)中的位移電流密度為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，磁導(dǎo)率為。求介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 據(jù)位移電流表達(dá)式，可得 則可得電位移矢量 ，電場(chǎng)強(qiáng)度 磁場(chǎng)強(qiáng)度 5-15 由兩個(gè)大平行平板組成電極，極間介質(zhì)為空氣，兩極之間電壓恒定。當(dāng)兩極板以恒定速度沿極板所在平面的法線方向相互靠近時(shí)，求極板間的位移電流密度。解 設(shè)兩極板間的初始距離為，在時(shí)刻，極板間的距離為，則

32、，極間電場(chǎng)強(qiáng)度 ，電位移矢量 因此，位移電流密度 第六章 電磁場(chǎng)能量6-1 一個(gè)空氣介質(zhì)的電容器，若保持極板間電壓不變，向電容器的極板間注滿介電常數(shù)為的油，問注油前后電容器中的能量密度將如何改變？若保持電荷不變，注油前后電容器中的能量密度又將如何改變？解 平行極板間電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量分別為 ，當(dāng)極板間電壓不變時(shí)，空氣介質(zhì)中電場(chǎng)能量密度 注油后電場(chǎng)能量密度 當(dāng)極板上電荷不變時(shí)，極板上的電荷面密度 ，則電場(chǎng)強(qiáng)度 ，電位移矢量 ，空氣介質(zhì)中電場(chǎng)能量密度 注油后電場(chǎng)能量密度 6-2 內(nèi)、外兩個(gè)半徑分別為、的同心球面極板組成的電容器，極板間介質(zhì)的介電常數(shù)為，當(dāng)內(nèi)、外電極上的電荷分別為時(shí)，求電容器內(nèi)儲(chǔ)存

33、的靜電場(chǎng)能量。解 如圖6-1建立球坐標(biāo)，球形極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量為 ，則極板間的電場(chǎng)能量 6-3 兩個(gè)同軸薄金屬圓柱，半徑分別為、，小圓柱有放在大圓柱內(nèi)，極板間介質(zhì)的介電常數(shù)為，如果在兩圓柱間加上的電壓，求電容器極板間儲(chǔ)存的靜電場(chǎng)能量。解 如圖6-2建立圓柱坐標(biāo)，圓柱形極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ，由于極板間的電壓，則有，可得，則極板間的電場(chǎng)能量 6-4 內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外半徑為的同軸電纜中通有電流。假定外導(dǎo)體的厚度可以忽略，求單位長度的磁場(chǎng)能量。解 如圖6-3建立圓柱坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，有 相應(yīng)的磁場(chǎng)能量為 當(dāng)時(shí)，有 相應(yīng)的磁場(chǎng)能量 所求磁場(chǎng)能量為 6-5 空氣中有一個(gè)邊長為的等邊三角形回路和一長直導(dǎo)線，三角形回路的一邊與長直導(dǎo)線平行，