高中數(shù)學必修一函數(shù)概念與基本初等函數(shù)精品教學案(教師版全套)

1、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（一）函數(shù)1了解構成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.2理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞唵蔚暮瘮?shù)。3了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來解決一些簡單的數(shù)學問題。4理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明一些簡單的函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷簡單的函數(shù)奇偶性。5理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡單的函數(shù)的最大（小）值.6會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).（二）指數(shù)函數(shù)1了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。2理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。3理解指數(shù)函數(shù)的概念，會求與指

2、數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關的問題。4知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。（三）對數(shù)函數(shù)1理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用。2理解對數(shù)函數(shù)的概念；會求與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關的問題.3知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4了解指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（ ）。（四）冪函數(shù)1了解冪函數(shù)的概念。2結合函數(shù) 的圖像，了解它們的變化情況。（五）函數(shù)與方程1了解函數(shù)零點的概念，結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。2理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函數(shù)零點的個數(shù).（六）函數(shù)模型及其應用1了解指

3、數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征。知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用。3能利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實際問題。根據(jù)考試大綱的要求，結合2009年高考的命題情況，我們可以預測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結合簡易邏輯知識考查學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法和

4、數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).函數(shù)是高考數(shù)學的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢.考試熱點：考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖象.函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數(shù)模型并用來解決問題，是考試的熱點.考查運用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結合和分類討論的基本數(shù)學思想.第1課時 函數(shù)及其表示一、映射1映射：設a、b是兩

5、個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合a中的 元素，在集合b中都有 元素和它對應，這樣的對應叫做 到 的映射，記作 .2象與原象：如果f:ab是一個a到b的映射，那么和a中的元素a對應的 叫做象， 叫做原象。二、函數(shù)1定義：設a、b是 ，f:ab是從a到b的一個映射，則映射f:ab叫做a到b的 ，記作 .2函數(shù)的三要素為 、 、 ，兩個函數(shù)當且僅當 分別相同時，二者才能稱為同一函數(shù)。3函數(shù)的表示法有 、 、 。典型例題例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）.a. b. c. d. 解：c變式訓練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是 （ ）a.y= b.y=()2 c.y=lg10x

6、 d.y=解：c例2.給出下列兩個條件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.解：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）設f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.變式訓練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2

7、f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.解：(1)令+1=t，則x=，f（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).（2）設f（x）=ax+b，則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， 把中的x換成，得2f（）+f（x）= 2-得3f（x）=6x-，f（x）=2x-.例3. 等腰梯形abcd的兩底分別為ad=2a，bc=a，bad=45，作直線mnad交ad于m，交折線abcd于n，記am=x，試將梯形ab

8、cd位于直線mn左側的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.解：作bhad，h為垂足，cgad，g為垂足，依題意，則有ah=，ag=a.（1）當m位于點h的左側時，nab，由于am=x，bad=45.mn=x.y=samn=x2（0x）.（2）當m位于hg之間時，由于am=x，mn=，bn=x-.y=s amnb =x+（x-）=ax-（3）當m位于點g的右側時，由于am=x，mn=md=2a-x.y=s abcd-smdn=綜上：y=變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.解：（1）分別作出f(x)在x0,x=0,x0段上的圖象，如圖所示

9、，作法略.小結歸納（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.1了解映射的概念，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性2函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法（或湊配法）、解方程組法使用換元法時，要注意研究定義域的變化3在簡單實際問題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關系，求得函數(shù)的解析式，還要注意定義域若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數(shù)來表示基礎過關第2課時 函數(shù)的定義域和值域一、定義域：1函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合.2常見的三種題型確定定義域： 已知函數(shù)的解析式，就是 . 復合函數(shù)f g(x)的有關定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的 域是外函數(shù)f

10、(x)的 域.實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合.二、值域：1函數(shù)yf (x)中，與自變量x的值 的集合.2常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮 ，取決于 ，常用的方法有：觀察法；配方法；反函數(shù)法；不等式法；單調(diào)性法；數(shù)形法；判別式法；有界性法；換元法（又分為 法和 法）例如： 形如y，可采用 法； y，可采用 法或 法； yaf (x)2bf (x)c，可采用 法； yx，可采用 法； yx，可采用 法； y可采用 法等.典型例題例1. 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.解：（1）由題意得化簡得即故函數(shù)的定義域為x|x0且x-1.（2）由題意可得

11、解得故函數(shù)的定義域為x|-x且x.（3）要使函數(shù)有意義，必須有即x1,故函數(shù)的定義域為1，+）.變式訓練1：求下列函數(shù)的定義域：（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函數(shù)的定義域為（-3，1）(1,2).（2）由得函數(shù)的定義域為（3）由,得借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為例2. 設函數(shù)y=f(x)的定義域為0，1，求下列函數(shù)的定義域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）03x1,故0x,y=f(3x)的定義域為0, .（2）

12、仿（1）解得定義域為1，+).（3）由條件，y的定義域是f與定義域的交集.列出不等式組故y=f的定義域為.（）由條件得討論：當即0a時，定義域為a,1-a;當即-a0時，定義域為-a,1+a.綜上所述：當0a時，定義域為a，1-a；當-a0時，定義域為-a，1+a.變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是0，1，則f(x+a)f(x-a)（0a）的定義域是 （ ） a. b.a，1-a c.-a，1+a d.0，1解：b 例3. 求下列函數(shù)的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.解：（1）方法一 （配方法）y=1-而0值域為.方法二 （判別式法）由y=得(y-1)y=1時,1.又r，必須

13、=(1-y)2-4y(y-1)0.函數(shù)的值域為.（2）方法一 （單調(diào)性法）定義域，函數(shù)y=x,y=-均在上遞增，故y函數(shù)的值域為.方法二 （換元法）令=t,則t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.（3）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函數(shù)的值域為y|-1y1.變式訓練3：求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=|x|.解：（1）(分離常數(shù)法)y=-，0,y-.故函數(shù)的值域是y|yr,且y-.(2)方法一 (換元法)1-x20,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|,故函數(shù)值域為0，.方法二 y=|x|0y即函數(shù)的值域為.例4若函數(shù)f（x）=x2-x+

14、a的定義域和值域均為1，b（b1），求a、b的值.解：f（x）=(x-1)2+a-. 其對稱軸為x=1，即1，b為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.f（x）min=f（1）=a-=1 f（x）max=f（b）=b2-b+a=b 由解得 變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6 (xr).（1）求函數(shù)的值域為0，+)時的a的值；（2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）函數(shù)的值域為0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.（2）對一切xr，函數(shù)值均非負,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-

15、a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函數(shù)f(a)在上單調(diào)遞減，f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，f(a)的值域為.小結歸納1求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.2求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.第3課時 函數(shù)的單調(diào)性基礎

16、過關一、單調(diào)性1定義：如果函數(shù)yf (x)對于屬于定義域i內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1、0).(2) 性質(zhì)： ； 當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時，_ 2指數(shù)：(1) 規(guī)定： a0 (a0)； a-p ； .(2) 運算性質(zhì)： (a0, r、q) (a0, r、q) (a0, r、q)注：上述性質(zhì)對r、r均適用.3指數(shù)函數(shù)： 定義：函數(shù) 稱為指數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為 ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當_時函數(shù)為減函數(shù)，當_時為增函數(shù). 函數(shù)圖像：1) 過點 ，圖象在 ；2) 指數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向 無限接近軸，當時，圖象向 無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關于 對

17、稱. 函數(shù)值的變化特征： 典型例題例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.a= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去負指數(shù)后解. a=a+b=方法二 利用運算性質(zhì)解.a=a+b=變式訓練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2. 函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關系是 （ ）a.f(bx)f(cx) b.f(bx)f(cx)c.f(bx)f(cx) d.大小關系隨x的不同而不同解：a變式訓練2：已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關系式：0ba;ab0

18、;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的關系式有 （ ）a.1個 b.2個 c.3個 d.4個解：b例3. 求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依題意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定義域是（-，14，+）.令u=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函數(shù)f(x)的值域是1，+）.u=,當x（-，1時，u是減函數(shù)，當x4，+）時，u是增函數(shù).而31,由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）=3在（-，1上是減函數(shù)，在4，+）上是增函數(shù).故f（x）的增區(qū)間是4，+），減區(qū)間是（-，1.（2）由g(x)=-(函數(shù)的定義域

19、為r，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等號成立的條件是t=2,即g(x)9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是減函數(shù)，要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.g（t）在（0，2上遞增，在2，+）上遞減，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上遞減，在（-，-1上遞增，故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-，-1，單調(diào)遞減區(qū)間是-1，+）.變式訓練3：求下列函數(shù)的單

20、調(diào)遞增區(qū)間：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函數(shù)的定義域為r.令u=6+x-2x2,則y=(.二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=,在區(qū)間，+）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)，又函數(shù)y=(u是減函數(shù)，函數(shù)y=(在，+）上是增函數(shù).故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為，+）.（2）令u=x2-x-6,則y=2u,二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=,在區(qū)間，+）上u=x2-x-6是增函數(shù).又函數(shù)y=2u為增函數(shù)，函數(shù)y=2在區(qū)間，+）上是增函數(shù).故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是，+）.例4設a0,f(x)=是r上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）求證：f(x)在（0，+）上是增函數(shù).（1）解： f（x）

21、是r上的偶函數(shù)，f（-x）=f（x），（a-=0對一切x均成立，a-=0，而a0,a=1. （2）證明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 則f(x1)-f(x2)= +-= ( x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函數(shù). 變式訓練4：已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x(0,1)時，f(x)=. （1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù).（1）解： 當x(-1,0)時，-x(0,1).f（x）是奇函數(shù)，f（x）=-f（-x）=-由f

22、(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在區(qū)間-1，1上，有f（x）=(2)證明 當x(0,1)時，f(x)=設0x1x21,則f(x1)-f(x2)=0x1x21,0，2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減.小結歸納1 a，abn，loganb(其中n0，a0，a1)是同一數(shù)量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同底.2處理指數(shù)函數(shù)的有關問

23、題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結合的思想進行求解.3含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4含有指數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.基礎過關第6課時 對數(shù)函數(shù)1對數(shù)：(1) 定義：如果，那么稱 為 ，記作 ，其中稱為對數(shù)的底，n稱為真數(shù). 以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作_ 以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_(2) 基本性質(zhì)： 真數(shù)n為 (負數(shù)和零無對數(shù))； ； ； 對數(shù)恒等式： (3) 運算

24、性質(zhì)： loga(mn)_； loga_； logamn (nr). 換底公式：logan (a0，a1，m0，m1，n0) .2對數(shù)函數(shù)： 定義：函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域為( ；2) 函數(shù)的值域為 ；3) 當_時，函數(shù)為減函數(shù)，當_時為增函數(shù)；4) 函數(shù)與函數(shù) 互為反函數(shù). 1) 圖象經(jīng)過點( )，圖象在 ；2) 對數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；4) 函數(shù)ylogax與 的圖象關于x軸對稱 函數(shù)值的變化特征： 典型例題例1 計算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一 利用對數(shù)定義求值設=

25、x,則(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)= lg10=.變式訓練1：化簡求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解：(1)原式=log2+

26、log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(例2 比較下列各組數(shù)的大小.（1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7;（3）已知logblogalogc,比較2b,2a,2c的大小關系.解：（1）log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7l

27、og1.20.7.(3)y=為減函數(shù)，且,bac,而y=2x是增函數(shù)，2b2a2c.變式訓練2：已知0a1,b1,ab1，則loga的大小關系是 （ ）a.loga b.c. d.解： c例3已知函數(shù)f(x)=logax(a0,a1)，如果對于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍.解：當a1時，對于任意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上為增函數(shù)，對于任意x3，+），有f(x)loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 當0a1時，對于x3，+），有f(x)

28、0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+）上為減函數(shù)，-f（x）在3，+）上為增函數(shù).對于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga,即3,a1.綜上，使|f(x)|1對任意x3，+）都成立的a的取值范圍是：(1，3，1）. 變式訓練3：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-,1-上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=x2-ax-a,則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關于直線x=對稱且此拋物線開口向上.因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)21,在區(qū)間（-,1-上是減函數(shù)，所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-,1-上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)0.解得2-2a2.故a的取值范圍是a|2-2a2.