經(jīng)典力學(xué)的秘密微積分精要和物理與數(shù)學(xué)的奧秘

1、 經(jīng)典力學(xué)的秘密微積分精要和物理與數(shù)學(xué)的奧秘 secrets of classical mechanicsthe essence of calculus and the mysteries of physics and mathematicsdawei tang摘要：“如果我比別人看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上?！痹?7世紀(jì)的約200年前，意大利有一位大家（注：為了避免一些可能性的歷史糾紛，未使用人名，統(tǒng)稱“大家”），他首先發(fā)現(xiàn)了重力和慣性，200年后，在英國的另一位大家將這個發(fā)現(xiàn)首先用數(shù)學(xué)的方式論證出來。世間流傳他是因為在一顆蘋果樹下思考重力的奧秘，被蘋果砸中頭頂，靈感一現(xiàn)才思考通了這

2、個道理。其實，這個故事或真或假，也有很大可能是他為了搪塞眾口而臨時起意，即使真有這個經(jīng)過，是否跟蘋果砸中頭頂有關(guān)系，無從考證，也沒有必要探究清楚，并不影響我要在下文講解的內(nèi)容。if i have seen further than others, it is by standing on the shoulders of giants.關(guān)鍵詞：經(jīng)典力學(xué)；力學(xué)距離公式；微積分；classical mechanics；mechanical distance formula；calculus引言：我們這個物質(zhì)世界，由許許多多的物理規(guī)則和公式組成，出現(xiàn)了物體就有數(shù)學(xué)可以對它們進行表示，各位大家創(chuàng)造出來

3、的數(shù)學(xué)原理，也必然可以切合入物理規(guī)則中，那么物理和數(shù)學(xué)之間的應(yīng)用就可以相輔相成。正文：在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)界，或許早已精通如何計算累加值，比如從1累加到10，它的總數(shù)等于55，應(yīng)該說從古羅馬古經(jīng)典時期，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)得出了這個計算公式，公式如下它的意思是從1累加到x，其中每個值只自增1，將首尾的數(shù)字相加再乘以相加的次數(shù)，再除以2，就等于累和的值。這是前人總結(jié)出來的數(shù)學(xué)計算公式，英國的那位大家，也許是從中得到了一些經(jīng)驗和啟發(fā)，又或者從比薩斜塔著名的自由落體實驗中得到啟示。當(dāng)一個物體下落的時候，移動速度越來越快，那么這個下落的過程中，如果把總時間分割為每單位時間，其中每單位時間經(jīng)過的距離就會不斷地

4、增加，把后一單位時間的距離減去前一單位時間的距離，等于多出來的一段自增距離，那么，這位大家如果根據(jù)這個原理，測量出了每個單位時間增加的距離都相同，就能夠斷定，這各下落的物理現(xiàn)象中存在一個恒定的加速度，再根據(jù)比薩斜塔的自由落體運動實驗，兩個質(zhì)量差異巨大的物體落下經(jīng)過的路程和過程用時幾乎一樣，那么加速度相同，是不是受到了同一個力量呢？這或許就是他找出了地球存在一個同樣的引力在作用的原因。那么將他在大腦里得出的這個原理導(dǎo)入到數(shù)學(xué)的累和公式中，比如把第一單位時間內(nèi)移動的距離好比為1，把最后落地所經(jīng)過的最后單位時間移動的距離比作x，假設(shè)每單位時間增加的距離等于1，則受這個加速度影響的整個移動距離就等于(

5、1+x)x/2。其實這里每單位時間移動的距離增加的1，就是整個下落運動中的加速度a，如圖1所示進一步講解圖1從每單位時間就增加a=1的加速度來看，整個落地過程就可以表示為從移動距離的1、2、3一直到10落地，再將這幾個按單位時間分割的移動距離累和起來，就是在a=1這個加速度影響下移動了t=10個單位時間所移動的總距離。每次單位時間移動的距離等于整個下落過程中每單位時間內(nèi)的速度，所以，我們把這個累和公式中，后一個x單位當(dāng)作t時間，得到距離h的式子等于又從數(shù)學(xué)關(guān)系上知道 ，則這就是那位大家的第一經(jīng)典力學(xué)定律的距離計算公式的由來，可見物理和數(shù)學(xué)是互通的，并且也是可以互相得到啟發(fā)的。當(dāng)然這位大家在后來

6、更將這個原理發(fā)展到了極致，創(chuàng)作出了流傳幾百年的經(jīng)典數(shù)學(xué)原理：微積分。微積分的用處非常廣泛，特別是到了近代，它可以用于計算不規(guī)則形狀的長度和面積，以及體積。在微積分出現(xiàn)以前，要計算不規(guī)則的復(fù)雜模型的數(shù)據(jù)，是行不通的，當(dāng)時只有規(guī)則的模型，比如矩形、三角形、圓形、球體等這些幾何形狀才能被精確計算。當(dāng)然也有比較古老笨拙的計算方法，就是把不規(guī)則形狀的模型放入一個立方體內(nèi)，然后注滿水，再把模型撈出來，計算水的體積，再用立方體的體積減去水的體積，就得到不規(guī)則模型的體積了。但如果單從數(shù)學(xué)的方法入手，就必須要借用微積分的思路了。那位大家將計算力學(xué)中距離累和的公式引入到了計算曲線中，來解決測量曲線長度或曲面面積的

7、數(shù)值的問題。如圖2圖2從計算定加速度距離的公式中看，要計算一條曲線的長度，可以將這曲線移動距離的時間t分割若干單位時間，也就是自增量 ，也可以記作 ，如圖2中，每個 內(nèi)，線段都移動若干格子的距離，這個距離可以記作 ，假設(shè)每個 距離增加的量相等，也就是在曲線中從物理的方面看，定加速度a恒定，則曲線長度式子h可以寫作 ，也可以寫作 。其實這是 無限小的情況下，一種近乎垂直的曲線的計算狀況，實際計算曲線長度需要用到勾股定律計算 和 組成的三角形最長邊的長度來累和。一個微分的單位斜邊可以用 來表示，將整個微分的曲線過程累和就是曲線的長度了，如下 就是微積分中的導(dǎo)數(shù)，雖然只是表示一個值，通常也叫做導(dǎo)函數(shù)

8、，它的實現(xiàn)是將原函數(shù)代入到導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)中進行演化后得到，比如導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)等于如果將 這個曲線作為原函數(shù)帶入到導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)中，得到再將導(dǎo)函數(shù)2x導(dǎo)入到曲線 的積分中，得到若， 可導(dǎo)，則表示在定區(qū)間內(nèi)，任意x點的左右導(dǎo)數(shù)相同且連續(xù)，這種情況也表示了每次 的增加值恒定，因為 無限小，可看作每個 的增加值也近似恒定，也就是曲線運動中物理的加速度a恒定，則可利用 公式進行累和計算。得到曲線經(jīng)過0點的長度積分求和的方法等于所以，可以算出當(dāng)x取3的時候，曲線 從0點畫到3時的曲線長度是 10.6241437，當(dāng)x取1的時候，曲線長度等于1.6180339。它表示了一條穿過0點的可導(dǎo)曲線從0點到x的長度計算公式等于函數(shù)可導(dǎo)的意義在于函數(shù)線段連續(xù)平滑，連續(xù)平滑就表示了任意點左右導(dǎo)數(shù)相同且連續(xù)，每 中 的增加量恒定，當(dāng) 或者 時，一次計算 之間的差值并不能得到恒定的a加速度增加值，比如 這個函數(shù)就會得到一個變加速a，需要多次求a，最后能找到一個恒定的增加值，這表示取 無限小的時候，累加可行，可以看作是物理曲線運動中的a加速度恒定。如果這個a加速度在曲線某區(qū)間內(nèi)的過程中不恒定，則這條曲線畫出來就不是一條連續(xù)平滑的曲線，就不可導(dǎo)。這就是微積分的精要，由英國那位大家先是通過數(shù)學(xué)累和公式完成了經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)原理，再通過經(jīng)典力學(xué)原理完成了微積分的原理。這就是當(dāng)代物理和數(shù)學(xué)之間最大的奧秘，也是