常見不等式通用解法

1、常見不等式通用解法總結(jié)一、根底的一元二次不等式，可化為類似一元二次不等式的不等式 根底一元二次不等式如2x2 x 6 0， x2 2x 1 0，對(duì)于這樣能夠直接配方或者因式分解的根底一元二次不 等式，重點(diǎn)關(guān)注解區(qū)間的“形狀。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0,不等號(hào)為小于(或小于等于號(hào))時(shí)，解區(qū)間為兩根的中間。2x2 x 6 0 的解為(-,2)2當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0,不等號(hào)為大于(或大于等于號(hào))時(shí)，解區(qū)間為兩根的兩邊。x2 2x 1 0 的解為(，1 2)(1 2,)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，化成二次項(xiàng)系數(shù)大于0的情況考慮。 可化為類似一元二次不等式的不等式(換元)如3x 1 9x 2，令t 3x，原不等式就變?yōu)?/p>

2、t2 3t 2 0，再算出t的范圍，進(jìn)而算出x的 范圍又如x2 ax4 -，令t x2，再對(duì)a進(jìn)行分類討論來確定不等式的解集2 含參數(shù)的一元二次不等式解法步驟總結(jié)：序號(hào)步驟1首先判定二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,為0那么化為一元一次不等式，再分類討論2二次項(xiàng)系數(shù)非0,將其化為正的，討論 判別式的正負(fù)性，從而確定不等式的解 集3假設(shè)可以直接看出兩根，或二次式可以因 式分解，那么無需討論判別式，直接根據(jù) 不同的參數(shù)值比擬兩根大小4綜上，寫出解集如不等式x2 ax 1 0 ,首先發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)大于 0,而且此不等式無法直接看出兩根, 所以，討論a2 4的正負(fù)性即可。0,R此不等式的解集為0,xR|x -2a

3、. a2 4a a240,(,2 )(2 ,)又如不等式x2 (a2 a)x a3 0,發(fā)現(xiàn)其可以通過因式分解化為(x a)(x a2) 0，所以只 需要判定a2和a的大小即可。a 0or a 1,x R | x a此不等式的解集為0 a 1,(,a2) (a,)2a 0or a 1,(,a) (a ,)又如不等式ax2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同學(xué)發(fā)現(xiàn)其可以因式分解，就直接寫成(ax 2)( x 2) 0，然后開始判斷兩根-和2的大小關(guān)系，這樣做是有問題的。a事實(shí)上，這個(gè)題目中并沒有說此不等式一定是一元二次不等式，所以參數(shù)a是有可能為0的。討論完a 0的情況再討論a 0和a 0的

4、情況。所以此不等式的解集應(yīng)該是： 注意，a 0和a 0時(shí)解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊。二、數(shù)軸標(biāo)根法(又名穿針引線法)解不等式這種問題的一般形式是(x aj(x a2)(x a3).(x a.) 0 (或，)步驟： 將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式，一段為 0，另一端為一次因式的乘積(注意！系數(shù)為正)或二 次不可約因式(二次項(xiàng)系數(shù)為正)。 畫出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線自右向左一次由各根穿過數(shù)軸。 記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集。例如，求不等式(x 1)(x 2)( x 3)(x 4) 0的解集，畫出圖如下，發(fā)現(xiàn)解集為(,1)(2,3)(4,)為什么數(shù)軸標(biāo)根法是正確的

5、呢對(duì)于不等式(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0來說，要滿足四項(xiàng)相乘為正，說明四項(xiàng)均正，解集為(4,)兩正兩負(fù)，只能是(x 1),(x 2)正，(x 3),(x 4)負(fù), 此時(shí)解集為(2,3)四項(xiàng)均負(fù)，解集為(,1)。綜上，解集為這三種情況的并集。當(dāng)不等式左 側(cè)有奇數(shù)項(xiàng)的時(shí)候同理。由此可知，遇到奇數(shù)個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情況，如果不把系數(shù)化為正的，結(jié)果一定是錯(cuò) 誤的。注意，這種方法要靈活使用，假設(shè)不等式為(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0，使用數(shù)軸標(biāo)根法得 到的解集顯然和上述不一樣，因?yàn)?x 1)2是偶次項(xiàng)，必然非負(fù)，所以在“穿針引線時(shí)，可 以忽略，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿

6、。(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4)0 的示意圖見下。三、解分式不等式分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0,另一邊為含x的多項(xiàng)式。把一個(gè)分式不等式經(jīng)過移項(xiàng)和通分處理，最終總能化為竺 0 (或g(x),的形式)，此時(shí)解f(x)g(x) 0就可以解出原不等式的解集。特別地，假設(shè)要解 他0,那么解f(x)g(x) 0即可。g(x)g(x) 02例如81，移項(xiàng)化簡(jiǎn)得x 2 3x 2 0，使用穿針引線法得到解集為x x 6x x 6x|x 2或1 x 2或x 3，一定要注意 分母不為零，而分子可以為零例：一道比擬復(fù)雜的題，求a(x 1(a 1)的解集，現(xiàn)寫出此

7、題的完整解題過程x 2解：原不等式通過移項(xiàng)通分可化為y 0，由于a 1，所以可以進(jìn)一步化為a 20，兩根為2和2a 1(a 1)(x)a 1 r2當(dāng)a 1時(shí)，解集為兩根的兩邊，顯然有 2，所以此時(shí)解集為(，電二)(2,) a 1a 1當(dāng)a 1時(shí)，解集為兩根中間，此時(shí)必須根據(jù) a的取值判斷兩根范圍。 當(dāng)0 a 1時(shí)，2，此時(shí)解集為(2,)a 1a 1 當(dāng)a 0時(shí)，匚2，此時(shí)解集為a 1 當(dāng)a 0時(shí)，-2 2，此時(shí)解集為(a,2)a 1a 1至此，a的所有值都討論完畢，所以這道題討論到這樣就結(jié)束了當(dāng)然，如果這道題不給a 1的限制條件，只需要再討論一下a 1時(shí)的解集情況即可。 補(bǔ)充內(nèi)容：一類經(jīng)典但易

8、錯(cuò)的分式不等式問題 求1 1的解集x 求1 1的解集x 求11的解集x 求11的解集x 求3 1 2的解集x解答：(0,1)(，0)(1,)(1,0)(，1) (0,)( 丄)(-)，注意的，32區(qū)別四、絕對(duì)值不等式對(duì)于含有絕對(duì)值的不等式，解題思想為 直接脫去絕對(duì)值符號(hào)f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)， f (x) g(x) f(x) g(x)或 f (x) g(x) 構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合 在不等式的一端有多個(gè)絕對(duì)值時(shí)，使用零點(diǎn)分段法分類討論(分類討論思想隨處可見) 平方法(不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)才能用，慎用)的圖像如下，然后分類例：圖形法某經(jīng)典問題，解不等式1 1 a，先畫出f

9、(x) 1x討論a的取值，通過觀察y f (x)和y a的圖像，來確定不等式的解集情況當(dāng)a 0時(shí)，y f(x)的圖像在y a的圖像上方，除了點(diǎn)(1,1)，此時(shí)顯然不等式無解 當(dāng)a 1時(shí)，y f (x)的圖像與y a的圖像交點(diǎn)為(-,1)，此時(shí)的解集為(-,)2 2 當(dāng)0 a 1時(shí)，y f(x)的圖像與y a的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為L(zhǎng),L，此時(shí)解集為(,L)1 a 1 a1 a 1 a 當(dāng)a 1時(shí)，y f(x)的圖像與y a的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為L(zhǎng),L，此時(shí)解集為1 a 1 aa),(當(dāng)然此題使用f (x) g(x) g(x) f(x) g(x)也可以做，化成a 1 1 a，只是在討論的x時(shí)候需要細(xì)心，考

10、慮到a的所有取值。絕對(duì)值不等式的零點(diǎn)分段法，以及特別的做題技巧例如x 1 x 25，發(fā)現(xiàn)不等號(hào)左邊有兩個(gè)絕對(duì)值，所以應(yīng)該根據(jù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)分段討論 當(dāng)x 1時(shí)，原不等式化為2x 1 5，解得x 2 當(dāng)2 x 1時(shí)，原不等式化為3 5，顯然無解 當(dāng)x 2時(shí)，原不等式化為1 2x 5，解得x 3綜上，原不等式的解集為三種情況下的并集(注意，為什么是并集而不是交集) (,32,)技巧：可以將絕對(duì)值看成距離，也就是將 x 1看成數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1的距離，將x 2看成x到-2的距離，假設(shè)畫出數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)位于區(qū)間2,1的點(diǎn)(綠色點(diǎn))到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和為3，位于區(qū)間2,1之外的點(diǎn)到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和大于3，特別地，在2處和-3處距離之 和為5，所以令x繼續(xù)遠(yuǎn)離區(qū)間2,1，發(fā)現(xiàn)距離之和大于5。也就是說x 1 x 2的取值范圍是3,同理，遇到減號(hào)的情況，例如x 3 x 1，發(fā)現(xiàn)其取值范圍是4,4此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的范圍。例1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)x使得不等式x 1 x a 1成立，那么a的取值范圍是 (答案2,0)例2:不等式x 2 x 12的解集是 _