廈門(mén)大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)期末考試試卷A (含答案）

1、廈門(mén)大學(xué) 線(xiàn)性代數(shù) 課程試卷學(xué)院系年級(jí)專(zhuān)業(yè)主考教師：線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)組 試卷類(lèi)型：（a卷）一、填空題（每小題4分，共24分）1設(shè)四階方陣，其中均為四維列向量，且，則 2n階方陣a滿(mǎn)足，則 3向量組 ，和的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是 。4已知四元線(xiàn)性方程組的三個(gè)解為，且，則方程組的通解是 。5設(shè)，則a= 。6設(shè)二次型，則其對(duì)應(yīng)的矩陣a的正特征值有 個(gè)。二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1若行列式，則x=( )。a1； b1; c; d2設(shè)矩陣，其中，則為（ ）a. 1； b2； cn； d無(wú)法確定。3向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是（ ）。a；b；c；d。4. 設(shè)a是n階方陣，且方程組有無(wú)窮多組解，則方程組

2、（ ）。a有無(wú)窮多組解； b僅有零解；c有有限組解；d無(wú)解。5設(shè)a是n階方陣，b是a經(jīng)過(guò)若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣，則有（ ）。a；b； c若，則一定有；d若，則一定有。6設(shè)，則與b（ ）a合同且相似； b合同但不相似；c不合同但相似； d不合同且不相似。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分）1 已知矩陣，其中，求矩陣a，a2，a100。2 設(shè)四元線(xiàn)性方程組（i）：，又已知齊次方程組（ii）的通解為，（1）求方程組（i）的基礎(chǔ)解系； （2）問(wèn)（i）與（ii）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解。若沒(méi)有，則說(shuō)明理由。3設(shè)矩陣，矩陣b滿(mǎn)足，求矩陣b。4設(shè)二次型，其中二次型矩陣a的特

3、征值之和為1，特征值之積為。（1）求a, b的值；（2）利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣。四、證明題（每小題6分，共12分）1. 二維向量在基下的坐標(biāo)為，求，并證明在基，下的坐標(biāo)與其在下的坐標(biāo)相同。2. 已知a、b均為n階矩陣，且，證明：。廈門(mén)大學(xué)線(xiàn)代參考答案課程試卷主考教師：線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)組 試卷類(lèi)型：（a卷） =一、填空題154； 2. ; 3. ; 4. ；5； 6. 2.二、單項(xiàng)選擇題：1c; 2. a; 3. c; 4. a; 5. c; 6. a三、計(jì)算題：1解：，。 . 。2解：（1）求（i）的基礎(chǔ)解系（i）的系數(shù)矩陣為 故（i）的基礎(chǔ)解系為：

4、.（2）求（i）與（ii）的非零公共解。方法1 由（i），（ii）的通解表達(dá)式相等，得。即 因 ，故上述方程組的解為，于是（i），（ii）的所有非零公共解為為任意常數(shù)。方法2 把（ii）的通解代入方程組（i），則有，得解，于是向量是方程組（i）、（ii）的公共解，令，則上述方程組的所有非零公共解為，其中為任意非零常數(shù)。3解：由于，所以a為可逆矩陣。又.把等式兩邊同時(shí)左乘a，右乘，得，即（2a+e）b9e。由于，所以存在，故。由得，故。4 解：（1）二次型f的矩陣為 ，設(shè)的特征值為，由題設(shè)，有 解得。（2）由矩陣a的特征多項(xiàng)式 得a的特征值對(duì)于，由,即，得基礎(chǔ)解系對(duì)于，由，即得基礎(chǔ)解系.由于已是正交向量組，所以只需單位化，由此得.令矩陣 ，則p為正交矩陣。在正交變換下，二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形為。四、證明題1證：（1）。（2）設(shè)在基下的坐標(biāo)為，所以于是在基下的坐標(biāo)與其在基下的坐標(biāo)相同。2證：由題設(shè)a2-ab=e，即a(a-b)