全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（B卷）

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（b卷）說明：1評閱試卷時(shí)，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次題一圖一、（本題滿分50分）如題一圖，是圓內(nèi)接四邊形與的交點(diǎn)為，是弧上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在，的延長線上，滿足，求證：四點(diǎn)共圓 證 由已知條件知 10分又，所以，答一圖從而四點(diǎn)共圓，此圓記為同理可證：四點(diǎn)共圓，此圓記為 20分點(diǎn)在圓，內(nèi)延長與圓相交于點(diǎn)，則，故四點(diǎn)共圓 30分所以在的外接圓上，故在上 40分再用相交弦定理：，故四點(diǎn)共圓 50

2、分二、（本題滿分50分）求滿足下列關(guān)系式組的正整數(shù)解組的個(gè)數(shù)解 令，由條件知，方程化為，即 （1）因，故，從而設(shè)因此（1）化為 （2） 10分下分為奇偶討論，（）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由（2）知為奇數(shù)令，代入（2）得 （3）（3）式明顯無整數(shù)解故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原方程無正整數(shù)解 20分（）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，由方程（2）知也為偶數(shù)從而可設(shè)，代入（2）化簡得 （4）由（4）式有，故，從而可設(shè)，則（4）可化為， （5）因?yàn)檎麛?shù)，故 30分又，因此 ，得， 因此，對給定的，解的個(gè)數(shù)恰是滿足條件的的正因數(shù)的個(gè)數(shù)因不是完全平方數(shù)，從而為的正因數(shù)的個(gè)數(shù)的一半即 40分由題設(shè)條件，而25以內(nèi)有質(zhì)數(shù)9個(gè)：2，3，5，7，11，

3、13，17，19，23將25以內(nèi)的數(shù)分為以下八組：，從而易知，將以上數(shù)相加，共131個(gè)因此解的個(gè)數(shù)共131 50分三、（本題滿分50分）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿足以下條件：（），；（）存在；（）， 證 必要性：假設(shè)存在滿足（），（）注意到（）中式子可化為 ， 其中將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得 10分由（）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此 20分充分性：假設(shè)定義多項(xiàng)式函數(shù)如下： ，則在0,1上是遞增函數(shù)，且，因此方程在0,1內(nèi)有唯一的根，且，即 30分下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設(shè)條件（），且 因，故，因此，即的極限存在，滿足（） 40分最后驗(yàn)證滿足（），因，即，從而 綜上，已證得存在數(shù)

4、列滿足（），（），（） 50分高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（b卷）以說明：1評閱試卷時(shí)，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1函數(shù)在上的最小值是 （ b ）a3 b2 c1 d0解 當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號而此方程有解，因此在上的最小值為22設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ a ）a b c

5、 d 解 因有兩個(gè)實(shí)根 ，故等價(jià)于且，即且，解之得3甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為 （ c ）a. b. c. d. 解法一 依題意知，的所有可能值為2，4，6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故解法二 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨(dú)立性與互不相

6、容性得， ， ，故4若三個(gè)棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個(gè)正方體的體積之和為 （ d ）a. 586 cm3 b. 586 cm3或564 cm3 c. 764 cm3 d. 764 cm3或586 cm3解 設(shè)這三個(gè)正方體的棱長分別為，則有，不妨設(shè)，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無解，若，則無解此時(shí)無解若，則，有唯一解，若，則，此時(shí)，故，但，故，此時(shí)無解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm35方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為 （ c ）a. 4 b. 3 c. 2 d. 1解 若，則解得或若，則由得 由得 將代入得

7、 由得，代入化簡得.易知無有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6設(shè)的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是 （ b ）a. b. c. d. 解 設(shè)的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 17 .解 由題意知，由得，因此，因此8設(shè)的最小值為，則解 ，(1) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值；(2) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值1；(3) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值又或時(shí)，的最小值不能為，故，解得，(舍去)9將24個(gè)志愿者名額分配給3

8、個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有 222種解法一 用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用表示名額如 表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額若把每個(gè)“”與每個(gè)“”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當(dāng)于個(gè)位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“”占領(lǐng)的一種“占位法”“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“”，故有種又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種解法二設(shè)分配給3個(gè)學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個(gè)名額的分法數(shù)為不定

9、方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，它等于3個(gè)不同元素中取21個(gè)元素的可重組合：又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種10設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以因此11設(shè)是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足 ，則=解法一 由題設(shè)條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以12一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 答12圖1解 如答12圖1，考

10、慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因 ，故，從而記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，求證： 答13圖證 的圖象與直線 的三個(gè)交點(diǎn)如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點(diǎn)為，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即 5分分組分解 ， 10分所以， 15分所以，即或故原不等式解集為 20分解法二 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于5分即， ， 10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價(jià)于