基本不等式２

1、3.43.4基本不等式基本不等式一、新課引入一、新課引入上圖是北京召開的第上圖是北京召開的第2424屆國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)屆國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計的，它，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計的，它是由四個全等的直角三角形拼接而成。顏色的是由四個全等的直角三角形拼接而成。顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。情好客。“風(fēng)車風(fēng)車”中有哪些圖形，這中有哪些圖形，這些圖形的面積有什么相等些圖形的面積有什么相等關(guān)系和不等關(guān)系？關(guān)系和不等關(guān)系？22Sab正方形ABCD直角三角形正方形SSABCD4abba222abS24直角三

2、角形不等式：不等式： 一般地，對于兩個正數(shù)一般地，對于兩個正數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。時，等號成立。222ababABCDE(FGH)ab證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)1： v問：何時相等？問：何時相等？結(jié)論：結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a a、b b，我們有，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時，等號成立時，等號成立222aba b當(dāng)當(dāng)a,ba,b為任意實數(shù)時，為任意實數(shù)時， 還成立嗎？還成立嗎？此不等式稱為此不等式稱為重要不等式重要不等式222aba b2.代數(shù)意義：兩個正數(shù)代數(shù)意義：兩個正數(shù)幾何平均數(shù)小于等于它們幾何平均數(shù)小于等于它們 的算術(shù)平均數(shù)

3、的算術(shù)平均數(shù)(0,0)2ababab（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時時，等號成立等號成立）二二、新課講解新課講解算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)1.1.思考思考: :如果當(dāng)如果當(dāng) 用用 去替換去替換 中的中的 , ,能得到什么結(jié)論能得到什么結(jié)論? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式基本不等式oabABPQ1.1.如圖如圖,AB,AB是圓是圓o o的的直徑，直徑，Q Q是是ABAB上任上任一點，一點，AQ=AQ=a a,BQ,BQ= =b b, ,過點過點Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，連，連AP,BPAP,BP, ,半徑半徑AO=AO=_ab2ba 幾何意

4、義：幾何意義：圓的半徑大于等于圓內(nèi)半弦圓的半徑大于等于圓內(nèi)半弦長長你能用這個圖得出基本你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎不等式的幾何解釋嗎? ?2.PQ2.PQ與與AOAO的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? ?則半則半PQ=PQ=_,_,基本不等式：基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，等號成立時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立時，等號成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同點：兩個不等式的）不同點：兩個不等式的適用范圍適用范圍不同。不同。（2）相同點：當(dāng)且僅當(dāng)）相同點：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。時，等號成立。2

5、100 mxy例例1 1用籬笆圍一個面積為的矩形用籬笆圍一個面積為的矩形菜園菜園, , 問該矩形的長、寬各為多少時問該矩形的長、寬各為多少時, , 所用籬笆最短，最短的籬笆是多少所用籬笆最短，最短的籬笆是多少? ?2100m三三、應(yīng)用應(yīng)用解解: (1): (1)設(shè)矩形菜園的長為設(shè)矩形菜園的長為 , ,寬為寬為 , , 則則 , , 籬籬笆的長為笆的長為 . . xm100 xyymmyx)(21002 yx等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng) 時成立時成立, ,此時此時因此因此, ,這個矩形的長和寬都是這個矩形的長和寬都是10m10m時時, ,所用的籬笆最短所用的籬笆最短, ,最短為最短為40m40myx

6、 10 yx402yx得得即即由由xyyx22 (2)一段長為一段長為36m的籬笆圍成一個矩形的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長，寬各為多少菜園，問這個矩形的長，寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多時，菜園的面積最大，最大面積是多少？少？已知已知a,ba,b都是正數(shù)，都是正數(shù)， （1 1）若）若abab是定值是定值P, P, 則當(dāng)則當(dāng)a=ba=b時時, ,a+ba+b有最小值有最小值 ； （2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S, S, 則當(dāng)則當(dāng)a=ba=b時時,ab,ab有最大值有最大值 ；P22S41積一定，和有最小值；積一定，和有最小值； 和一定，積有最大值。和一定，積有最大

7、值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！1、本節(jié)課主要內(nèi)容？、本節(jié)課主要內(nèi)容？你會了你會了嗎？嗎？五五 、小結(jié)小結(jié)2 2、兩個結(jié)論、兩個結(jié)論: :兩個正數(shù)兩個正數(shù), ,積定和最小積定和最小; ;和定積最大。和定積最大。.,.)2()2( ;2) 1 ( :2號成立時當(dāng)且僅當(dāng)即babaababba構(gòu)造條件構(gòu)造條件三三、應(yīng)用應(yīng)用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx變變3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 變變2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用

8、不等式問問:在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件條件“a0,b0”可以變化嗎可以變化嗎？變變1: :若若 求求 的最小值的最小值, 0 xxxy23 0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、應(yīng)用應(yīng)用例例2、已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 變式變式:已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式應(yīng)用要點：應(yīng)用要點：一正數(shù)一正數(shù) 二定值二定值 三相等三相等結(jié)論結(jié)論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論結(jié)論2 2：兩個正數(shù)和為定值，則積有

9、最大值兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值多少元?多少元?造價為造價為使總造價最低?最低總使總造價最低?最低總怎樣設(shè)計水池能怎樣設(shè)計水池能, ,元元120120價為價為的造的造m m1 1池壁每池壁每元,元,150150造價為造價為的的1m1m每每底底池池果果.如.如3m3m深度為深度為, ,4800m4800m其容積為其容積為長方體貯水池,長方體貯水池,某工廠建造一個無蓋的某工廠建造一個無蓋的: :2 22 22 22 2例3.3.已知直角三角形的面積等于已知直角三角形的面積等于5050，兩條直角邊各，兩條直角邊各為多少時為多少時, ,兩條直角邊的和最小，最小值是多兩條直角邊的和最小，最小值是多少

10、？少？4.4.用用20cm20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應(yīng)長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應(yīng)怎樣折？怎樣折？ 四四 、鞏固鞏固.,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此時值有最則滿足若正數(shù)此時值有最則滿足若正數(shù)大大933小小26232證明證明:要證要證abba2只要證只要證ba ( ) 要證，只要證要證，只要證ba 0( ) 要證，只要證要證，只要證（ ) 20ab2ab2abba 顯然顯然: : 是成立的是成立的, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時中的等號成立中的等號成立. .證明:當(dāng) 時, . abba20, 0ba作業(yè)作業(yè)課本課本P100P100習(xí)題習(xí)題3.4A