直角三角形和勾股定理

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 直角三角形和勾股定理【教學(xué)目標(biāo)】 1. 知識與技能 （1）掌握判定直角三角形全等的條件和直角三角形的性質(zhì)。 （2）掌握角平分線性質(zhì)的逆定理。 （3）掌握勾股定理及其逆定理。 2. 過程與方法 （1）經(jīng)歷探索直角三角形全等條件的過程，把握直角三角形全等的條件，并能靈活地解決一些問題。 （2）通過本節(jié)的學(xué)習(xí)掌握勾股定理的推導(dǎo)和證明思想，靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用勾股定理的推導(dǎo)和證明思想，靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用勾股定理判定三角形為直角三角形。 3. 情感態(tài)度與價值觀 （1）通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步培養(yǎng)動手操作的能力和鍥而不舍的探索意識。 （2）在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗數(shù)學(xué)活動充滿

2、了探索性、知識性、趣味性，同時又具有嚴(yán)密的邏輯性，當(dāng)然，許多數(shù)學(xué)問題又都源于生活實際，由此引出相關(guān)的內(nèi)容，以培養(yǎng)大家應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。二. 重點、難點： 1. 重點： 直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其應(yīng)用。 2. 難點： 直角三角形的性質(zhì)和判定以及直角三角形全等的判定定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)知識要點】 1. 直角三角形的性質(zhì)： （1）在直角三角形中，有一個角為90。 （2）在直角三角形中，兩銳角互余。 （3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。 （4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 （5）在直角三角形中，如果一條直

3、角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。 2. 直角三角形的判定： （1）有一個角為90的三角形是直角三角形。 （2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。 3. 直角三角形全等的判定方法： （1）SAS定理 （2）ASA定理 （3）AAS定理 （4）SSS定理 （5）HL定理（或簡寫成“斜邊直角邊”）： 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。 4. 定理： 到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。 5. 勾股定理： 直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2b2c2。 6. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么

4、這個三角形是直角三角形。【幾點說明】 1. HL定理是判定直角三角形全等獨有的方法，因此在應(yīng)用這一性質(zhì)時，必須點明“在Rt和Rt”中。 2. 直角三角形是特殊三角形，除具有特殊性外，還具有一般性，所以一般三角形全等的四種判定方法也適用于直角三角形，因此判定兩個直角三角形全等的方法有五種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL是直角三角形所特有的。 3. 定理“角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等”與定理“到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”，二者是互逆定理，前者是角平分線的性質(zhì)定理，后者是角平分線的判定定理。 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （

5、2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。 （3）用于證明線段平方關(guān)系的問題。 5. 勾股定理與勾股定理的逆定理是一對互逆定理，前者是直角三角形的性質(zhì)定理，后者是直角三角形的判定定理。 6. 勾股定理的逆定理把數(shù)的特征（a2b2c2）轉(zhuǎn)化為形的特征（三角形有一個角為直角），因此逆定理的作用是提供了一個判定三角形是不是直角三角形的方法，它與前面講的判定方法不同，它需要通過代數(shù)運(yùn)算“算”出來。【典型例題】基礎(chǔ)知識題 例1. 如圖甲，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PRAB，PSAC，垂足分別為R、S，若AQPQ，PRPS，則這三個結(jié)論中正確的是（ ） （1）ASAR（2）QPAR（3）

6、BRPCSP A. （1）和（2）B. （2）和（3） C. （1）和（3）D. （1）（2）和（3） 分析：幾何中添加輔助線的實質(zhì)是把不完整的基本圖形補(bǔ)充完整，即構(gòu)造基本圖形，此題的切入點是從圖中識別如圖乙、丙、丁基本圖形，并且聯(lián)想有關(guān)定理，通過分解圖，然后重組，問題便得到解決。 由乙圖中角平分線性質(zhì)定理的逆定理有12，且由HL知RtPARRtPAS，有ARAS，故（1）成立。 由丙圖中，等腰三角形性質(zhì)23，又由乙中知：12，13，推出QPAR，故（2）成立。 由丁圖中，尋找判定直角三角形的條件有PRPS，雖然P在BAC的角平分線上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3

7、）不成立。 解：由上述分析可得，此題應(yīng)選A。 說明：觀察、分解、重組、構(gòu)造是研究幾何的基本方法，此題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、化歸思想。 例2. 如圖甲，已知：BC90，M是BC的中點，DM平分ADC，試說明：AM平分DAB。 分析：要說明AM平分DAB，即說明34，借助于三角形全等的性質(zhì)，需構(gòu)造全等三角形，考慮到B90，需構(gòu)造一個直角三角形，因此，過點M作MEAD于E，也可延長DM交AB的延長線于N。 解法1：如甲圖，過點M作MEAD于E DEMAEM90 在MCD和MED中 MCDMED（AAS） MEMC（全等三角形的對應(yīng)邊相等） M是BC的中點 CMBM MEBM 在RtMEA和RtMBA中 Rt

8、MEARtMBA（HL） 34（全等三角形的對應(yīng)角相等） AM平分DAB 解法2：如乙圖，延長DM交AB的延長線于點N 在RtDMC與RtNMB中 RtDMCRtNMB（ASA） DMNM 1N（全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等） 又DM平分ADC 12 2N ADN是等腰三角形 又DMNM AM是DAN的角平分線 例3. 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求：AB的長。 分析：但要想求出AB，必須先設(shè)法求出AD、BD或找到AD、BD與AB的關(guān)系，注意到ACAB，則ADACCDAB1，只需再找出BD與AB的關(guān)系，這就必須從條件CD2BD2A

9、C得來。 解：ABAC，CD1 BDAC 說明：（1）利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的重要作用，在有垂直條件時，經(jīng)?？紤]到利用勾股定理去解。 （2）勾股定理反映的是三個量之間的關(guān)系，如果已知一個量，要設(shè)法求出另外一個量，或求出另外兩個量之間的關(guān)系，才能求出第三個量，實質(zhì)就是方程思想。 （3）在已知中沒有垂直，或有垂直但與問題相距“較遠(yuǎn)時”，常需適當(dāng)作輔助線，構(gòu)造直角三角形，創(chuàng)造條件來利用勾股定理。能力提高題 例4. 如圖，ABC中，ACB90，ACBC，直線MN過C點，ANMN于N，BMMN于N，那么MN與ANBM有什么關(guān)系？為什么？請說明理由。 分析：利用度量的方法可以猜出結(jié)論MNAN

10、BM，如何說明呢？可將MN拆成MC和CN，分別說明MCAN，CNBM即可，即要說明BMCCNA，已知MN90，ACBC，兩個條件只要再找出一個即可。 解：結(jié)論：MNANBM 理由： 13（同角的余角相等） ANNM，BMMN MN90 在BMC和CNA中 BMCCNA（AAS） BMCN，MCAN（全等三角形對應(yīng)邊相等） MNMCCN MNANBM 說明：（1）當(dāng)題目中的直角條件較多時，常用“同角或等角的余角相等”來說明角相等。 （2）在說明兩條線段之和等于第三條線段時，常將較長的線段拆成兩條線段的和，再分別說明拆成的兩條線段與要說明的兩條線段對應(yīng)相等。 例5. 已知：a、b、c為ABC的三邊

11、長，且a2b22c250710a24b52c，試判定ABC的形狀。 分析：由條件a2b22c250710a24b52c聯(lián)想到配方，運(yùn)用非負(fù)數(shù)性質(zhì)，求得a、b、c的值。 解： C90 故ABC是直角三角形 說明：本題將代數(shù)與幾何融為一體，不妨細(xì)細(xì)體味其中的技巧。創(chuàng)新應(yīng)用題 例6. 如圖，在一張長48dm，寬10dm的長方形紙片長邊豎直放一平面鏡，一束光線從紙片頂點A處射入，恰好由O點反射后經(jīng)過B點，求光線在紙片上通過的距離。 分析：在物理中的光學(xué)知識中，平面鏡成像，凸透鏡成像中的線路圖不僅包含對稱，而且有時也包含直角三角形，對有些題目也能用勾股定理解答。 解：作點A關(guān)于CD的對稱點A，連接AB，

12、交CD于O點，則O點就是光的反射點。 AODBOC（AAS） OB26dm AA兩點關(guān)于直線CD對稱 說明：本題是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及豐富的幾何知識，由此可見，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ)?！灸M試題】（答題時間：50分鐘）一. 填空題。 1. 在ABC中，若A35，B55，則此三角形為_三角形。 2. 在ABC中，A：B：C1：2：3，若AB10cm，BC的長是_。 3. 如圖，在ABC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，則AB_，BD_。 4. 在RtABC中，C90，若a：b3：4，c10，則a_，b_。 5. 在ABC中，三邊長分別為，則_。 6. 在ABC中，則ABC是

13、_三角形。 7. 在一個三角形中，若一邊上的中點到另兩邊距離相等，則該三角形是_三角形。 8. 如圖，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，則C的度數(shù)是_。二. 選擇題。 1. 在判定三角形全等的三個條件中，至少要有（ ） A. 一個角對應(yīng)相等B. 兩個角對應(yīng)相等 C. 一條邊對應(yīng)相等D. 兩條邊對應(yīng)相等 2. 下列命題中，真命題的個數(shù)是（ ） （1）有一個角為45的兩個直角三角形全等 （2）斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等 （3）有一條直角邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等 （4）有一條直角邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 A. 1個B. 2個C. 3個D. 4

14、個 3. 等邊三角形一邊上的高與邊長的比為（ ） A. B. C. D. 1：2 4. 下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)組的是（ ） A. B. C. D. 5. 如圖，將兩個全等的有一個角等于30的直角三角形拼在一起，其中兩條長直角邊在同一直線上，則圖中有（ ）個等腰三角形。 A. 4個B. 3個C. 2個D. 5個三. 有一次，小明坐著輪船由A點出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點望湖中小島M，測得MAN30，當(dāng)他到B點時，測得MBN45，AB100米，你能算出AM的長嗎？四. 已知：如圖，PA、PC分別為ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于D，PFBN于F。 求證：BP為MBN的平分

15、線。五. 如圖，在RtABC中，ABAC，BAC90，O為BC的中點。 （1）請你寫出O到ABC三頂點A、B、C的距離關(guān)系并證明。 （2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明?！驹囶}答案】一. 1. 直角2. 5cm3. 6，1.5 4. 6，85. 6. 直角 7. 等腰8. 90二. 1. C2. C3. A4. D5. B三. 解：過M作MCAN于C 設(shè)MCx，則AM2x，BCx 根據(jù)勾股定理得： 解得： （米）四. 證明：過P作PEAC于E PA、PC分別是MAC與NCA的平分線，且PDBM，PFBN PDPE，PFPE PDPF 又PDBM，PFBN 點P在MBN的平分線上 BP為MBN的平分線五. 連結(jié)OA （1）OAOBOC O是RtABC斜邊上的中點 OAOBOC （2）OMN是等腰直角三角形 ABAC，BAC90 OANB45 又ANBM，OAOB OANOBM NOABOM，ONOM 同理AOMCON OMN為等腰直角三角形【勵志故事】金幣有個叫阿巴格的人生活在內(nèi)蒙古草原上。有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不動了。