全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(2001年)[1]

1、中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng) http:/ 第 1 頁(yè) http:/ http:/共 3 頁(yè)2001 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一、選擇題（每小題 7 分，共 42 分） 1、a，b，c 為有理數(shù)，且等式成立，則62532cba2a+999b+1001c 的值是（ ）（a） 1999（b）2000（c）2001（d）不能確定 2、若，且有 5a2+2001a+9=0 及，則的值是（ 1ab05200192bbba） （a）（b）（c）（d）59955200192001 3、已知在abc 中，acb=900，abc=150，bc=1，則 ac 的長(zhǎng)為（ ） （a）（b）（c）（d）32 32 3023

2、4、如圖，在abc 中，d 是邊 ac 上的一點(diǎn)，下面四種情況中，abdacb 不一定成立的情況是（ ） （a） （b）bdabbcadacadab2 （c）abd=acb （d）bdacbcab 5、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根為；02cbxaxaacbbx242在abc 中，若，則abc 是銳角三角形；在abc 和222abbcac中，a，b，c 分別為abc 的三邊，分別為的三邊，若111cba111,cba111cba，則abc 的面積 s 大于的面積。以上三個(gè)命題中，111,ccbbaa111cba1s假命題的個(gè)數(shù)是（ ） （a）0（b）1（c）2（d）3 6、某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠

3、，規(guī)定：如一次購(gòu)物不超過(guò) 200 元，則不予折扣；如一次購(gòu)物超過(guò) 200 元但不超過(guò) 500 元的，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；如一次購(gòu)物超過(guò) 500 元的，其中 500 元按第條給予優(yōu)惠，超過(guò) 500 元的部分則給予八折優(yōu)惠。某人兩次去購(gòu)物，分別付款 168 元和 423 元；如果他只去一次購(gòu)物同樣的商品，則應(yīng)付款是（ ） （a）522.8 元（b）510.4 元（c）560.4 元（d）472.8二、填空題（每小題 7 分，共 28 分） 1、已知點(diǎn) p 在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（0，1） ，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng) http:/ 第 2 頁(yè) http:/ http:/共 3 頁(yè)

4、qpo=1500，且 p 到 q 的距離為 2，則 q 的坐標(biāo)為 。 2、已知半徑分別為 1 和 2 的兩個(gè)圓外切于點(diǎn) p，則點(diǎn) p 到兩圓外公切線(xiàn)的距離為 。 3、已知是正整數(shù)，并且，則= yx,120,2322xyxyxxyy22yx。 4、一個(gè)正整數(shù)，若分別加上 100 和 168，則可得到兩個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)正整數(shù)為 。三、解答題（共 70 分） 1、在直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn) a（0，1） ，b（1，3） ，c（2，6） ；已知直線(xiàn)上橫坐標(biāo)為 0、1、2 的點(diǎn)分別為 d、e、f。試求的值使得baxyba,ad2+be2+cf2達(dá)到最大值。 （20 分）（1） 證明：若 取任意整數(shù)時(shí)，二次函

5、數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么xcbxaxy2都是整數(shù)；cbaa,2（2）寫(xiě)出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證明你的結(jié)論。 （25 分） 3、如圖，d，e 是abc 邊 bc 上的兩點(diǎn)，f 是 bc 延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，dae=caf。 （1）判斷abd 的外接圓與aec 的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若abd 的外接圓的半徑的 2 倍，bc=6，ab=4，求 be 的長(zhǎng)。解答題：1、如圖，efgh 是正方形 abcd 的內(nèi)接四邊形，兩條對(duì)角線(xiàn) eg 和 fh 所夾的銳角為，且beg 與cfh 都是銳角。已知 eg=k，fh= ，四邊形 efgh 的面l積為 s。 （1）求證：sin=；kls2 （2）試用來(lái)表示正方形的面積。slk ,2、求所有的正整數(shù) a，b，c，使得關(guān)于 x 的方程，0232baxxb b楃楃d da ab bc cd de ef fg gh h o o中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng) http:/ 第 3 頁(yè) http:/ http:/共 3 頁(yè)， 0232cbxx的所有的根都是正整數(shù)。0232acxx 3、在銳角abc 中，adbc，d 為垂足，deac，e 為垂足，dfab，f 為垂足。o 為abc 的外心。 求證：（1）aefabc； （2）aoef 4、如圖，在四邊形 abcd 中，ac