常微分方程的常數(shù)變易法及其應(yīng)用

1、畢業(yè)論文常微分方程的常數(shù)變易法及其應(yīng)用摘 要本文歸納整理了常微分方程常數(shù)變易法的幾個應(yīng)用.關(guān)鍵詞常數(shù)變易法; 微分方程; 齊次; 系數(shù)constant variating method and application in ordinary differential equationabstract this paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationkeywords constant variating method ; diff

2、erential equation ; homogeneouscoefficient一、關(guān)于常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是微分方程中解線性微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的變換為函數(shù),它是拉格朗日(lagrangr joseph louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的僅是他的結(jié)論。二、常數(shù)變易法的幾個應(yīng)用1.常數(shù)變易法在一階線性非齊次微分方程中的應(yīng)用一階線性非齊次微分方程 （1） 它所對應(yīng)的齊次方程為 （2）是變量分離方程，它的通解為 （3）下面討論一階線性非齊次微分方程（1）的解法。方程（2）與方程（1）既有聯(lián)系又有區(qū)別設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系，（3）中的

3、恒為常數(shù)，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常數(shù)，將是的待定函數(shù)，為此令 （4）兩邊積分得到 將（4）（5）代入（1），得到 （5）即 兩邊積分得 （6）這里是任意的常數(shù)，將代入得到 這就是方程 的通解例1 求方程的通解，這里的為常數(shù).解 將方程改寫為 （7）先求對應(yīng)齊次方程 的通解，得 令 （8）微分得到 （9）將（8）、（9）代入（7）中再積分，得 將其代入（8）中，即得原方程的通解 這里是任意的常數(shù)例2 求方程的通解.解 原方程改寫為 （10）把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對于及來說，方程（10）就是一個線性先求齊次線性方程的通解為 （11）令，于是 代入（1

4、0），得到 從而原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.初值問題為了求初值問題 常數(shù)變易法可采用定積分形式，即（4）可取為 （12）代入（1）化簡得 積分得 代入（12）得到 將初值條件、代入上式于是所求的初值問題為 或 定理一階非齊線性方程（1）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2）之解；若是（2）的非零解，而是（1）的解，則（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù)；方程（2）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2）的解.證明 設(shè)是非齊線性方程的兩個不同的解，則應(yīng)滿足方程使 兩式相減有 說明非齊線性方程任意兩個解的差是對應(yīng)的齊次線性方程的解. 因為故結(jié)論成立. 因為故結(jié)論成

5、立.2.常數(shù)變易法在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用 我們知道常數(shù)變易法用來求非齊次線性微分方程的通解十分有效，現(xiàn)將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中.該方法是新的,具有以下優(yōu)點：無需求非齊次方程的特解，從而免去記憶二階微分方程各種情況特解的形式；無需求出相應(yīng)齊次方程的全部解組，僅需求出一個即可；可得其通解公式.現(xiàn)考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （1）其對應(yīng)的齊次方程為 （2）下面對（2）的特征方程 （3）x有實根和復(fù)根加以考慮若為（3）的一實根，則是（2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為通過求導(dǎo)可得 （4）將（4）和代入（1）化簡得 這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為

6、（5） 若為（3）的一復(fù)根，不妨設(shè)，且，則f為（2）一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為 ，與情形的推到類似，不難求得方程（1）的通解公式為 （6） 例1求的通解 解 相應(yīng)的特征方程為 有解，故設(shè)非齊次方程的解為 對其求導(dǎo)得 代入原方程化簡得 其通解為 所以 從而原方程的通解為 例2求的通解解 相應(yīng)的特征方程為 有解，有公式（5），得其通解為 = 3.常數(shù)變易法在三階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用 前文中對二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法進(jìn)行了討論，以下對一般的三階常系數(shù)非齊次線性微分方程詳細(xì)論述，此方法彌補了一般情況下只有特殊才能求解的缺陷，擴大了的適用范圍.由前面知，二階常系數(shù)非齊次線

7、性微分方程 對應(yīng)齊次微分方程的特征方程 若為實特征根，通解為 （1）若為一復(fù)根，不妨設(shè)，且，通解為 （2）三階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （3）則對應(yīng)的齊次方程為 （5）其對應(yīng)的齊次方程 （6）若為其一實根，為方程根，則方程（3）的通解為 當(dāng)為實根時， 當(dāng)為復(fù)根時，不妨設(shè)，且 證明 因為特征方程（5）是三階方程，所以它至少有一實根，不妨設(shè)為特征方程一實根，則是（4）的一解，這時可設(shè)（3）的解為將其代入（3）中可得 因為為特征方程一根，所以 ，因此 這是關(guān)于的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其特征方程，其特征方程為 若其根為為實根，則由二階方程通解公式（1）可得 那么（3）的通解為 若其根為復(fù)根時，

8、不妨設(shè)，且則由二階方程通解公式（2）可得 那么（3）的通解為 例1 求解方程的通解.解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 其根為方程，即， 其根為所以取 代入公式 則其通解為 求解過程只需依次積分即可 令那么方程的通解為（）. 4.常數(shù)變易法在二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用二階變系數(shù)微分方程 的通解為 那么可以通過常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解設(shè)非齊次方程具有形式 的特解，其中是兩個待定函數(shù)，對求導(dǎo)數(shù)得 我們補充一個的條件 這樣 因此 將其代入化簡得 聯(lián)立方程解得 積分并取得一個原函數(shù) 則所求的特解為 + 所以方程的通解為 + 例1 求方程的通解解 方程對應(yīng)的齊次方程為 由得 積分得 即，得其通解為 所以對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解是，為了求非齊次方程的一個特解，將換成待定函數(shù)，且滿足下列方程 解得 于是原方程的一個特解為 從而原方程的通解 參考文獻(xiàn)1 鄧春紅.關(guān)于二、三階線性微分方程通解求法j.零陵學(xué)報.2004,25(6):42-45.2 劉許成.三階線性微分方程系數(shù)的常數(shù)化定理及應(yīng)用j.濰坊學(xué)報.2003,3(2):39-40.3 常微分方程m.北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.4 崔士襄.常數(shù)變易法來歷的探討j.邯鄲農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報,1998,(1):40-41.5 俞岑源.關(guān)于一階線性常微分方程常數(shù)變易法的一點注記j.2001,(3):13-