護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度的最優(yōu)模型

1、護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度的最優(yōu)模型何挺 嚴(yán)茂花 萬啟龍摘要： 本文主要建立整數(shù)規(guī)劃模型解決護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度的問題。模型I、II:針對(duì)問題1，考慮到每個(gè)護(hù)士一天工作8小時(shí)，且連續(xù)工作4小時(shí)后 需要休息 2 小時(shí)，我們建立了以滿足需求時(shí)需要工作的最少護(hù)士人數(shù)為目標(biāo)函數(shù) 的整數(shù)規(guī)劃模型。用LINGO軟件求解得到滿足需求至少需要的護(hù)士為100名，且第 1、 2、 L L 11、 12 時(shí)段開始工作的人數(shù) x1、 x2L L x11、 x12 分別為: 23、17、 12、 0、 0、 11、 17、 13、 7、 0、 0、 0 人；對(duì)應(yīng)時(shí)段內(nèi)實(shí)際工作的護(hù)士人數(shù) 分別為: 30、 40、 29、 35、 40

2、、 40、 40、 41、 35、 35、 30、 20 人。從此工作時(shí) 間調(diào)度表可以看出凌晨 0: 00到早上 4: 00這段時(shí)間， 安排開始上班和下班的總 人數(shù)有 59 人，占滿足需求時(shí)需要工作的最少護(hù)士人數(shù)的 59%。這不利于這段時(shí) 間開始上班和下班的護(hù)士的生活， 會(huì)引起護(hù)士對(duì)工作時(shí)間調(diào)度的不滿意， 為降低 不滿意度，我們對(duì)模型 I 進(jìn)行改進(jìn)，即給出人性化安排。以凌晨 0: 00 到早上 4: 00開始上班和下班的人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)，建立模型II。用LINGO軟件求得這段時(shí)間開始上班和下班的人數(shù)為 1 0人,所占比率為 10%。提高了護(hù)士對(duì)工作時(shí) 間安排滿意度，并給出最佳工作時(shí)間安排。模

3、型III IV：針對(duì)問題2,在醫(yī)院護(hù)士人數(shù)不足的情況下需要部分護(hù)士加班。同 問題 1 類似分析，建立以需要加班的護(hù)士人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。用LINGO軟件求得需要加班的最少護(hù)士人數(shù)為 40人。同模型II分析，此安排在 凌晨 0： 00 到早上 4： 00 開始上班（包括需要加班的護(hù)士和不需要加班的護(hù)士） 和下班的人數(shù)有 29 人，占醫(yī)院護(hù)士人數(shù)的 %,也比較大。 所以對(duì)模型 III 進(jìn)行改進(jìn)， 也即給出人性化安排。以凌晨 0： 00到早上 4： 00這段時(shí)間開始上班（包括需要 加班的護(hù)士和不需要加班的護(hù)士）的下班的人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)，建立模型IV，利用 LINGO 軟件處理得到這段

4、時(shí)間開始上班和下班的護(hù)士為 5 人，所占比率 為%。并給出醫(yī)院護(hù)士在只有 80名的情況下護(hù)士的工作時(shí)間最佳安排。針對(duì)模型II和模型IV對(duì)各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)m醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最少、醫(yī)院 護(hù)士人數(shù)限定以及最少加班人數(shù)作靈敏度分析。 得出，在模型 II 中如過醫(yī)院的護(hù) 士增加到 100人，凌晨 0： 00到早上 4： 00這段時(shí)間，安排開始上班和下班的人 數(shù)為0，即護(hù)士對(duì)工作時(shí)間調(diào)度的滿意度最高；在模型IV中，醫(yī)院護(hù)士加班的人數(shù)增多 5人，在凌晨 0： 00到早上 4： 00這段時(shí)間安排開始上班和下班的人數(shù)才 減少 1 人，而醫(yī)院的護(hù)士人數(shù)增加為 85 人時(shí)，這段時(shí)間開始上班和下班的人數(shù) 就可減少到

5、 0，所以我們建議醫(yī)院最好采用增加護(hù)士人數(shù)的辦法來增加護(hù)士的滿 意度。關(guān)鍵字：整數(shù)規(guī)劃模型 護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度 滿意度 人性化安排。 LINGO 軟件 靈敏度分析問題重述某醫(yī)院一個(gè)工作日（分為12個(gè)兩小時(shí)長(zhǎng)的時(shí)段）每個(gè)時(shí)段需要護(hù)士人數(shù)如下表: 每個(gè)時(shí)段的人員需求表編號(hào)時(shí)段需要護(hù)士人數(shù)000am-02am151102am-04am15204am-06am151306am-08am351408am-10am40i510am-12pm401612pm-02pm401702pm-04pm30:804pm-06pm31906am-08pm351008am-10pm301110pm-12am20問題1:假定

6、每個(gè)護(hù)士每天工作8小時(shí)，且在連續(xù)工作4小時(shí)后需要休息2小時(shí), 請(qǐng)計(jì)算為滿足需求至少需要多少個(gè)護(hù)士。問題2:此醫(yī)院目前只有80名護(hù)士，這個(gè)數(shù)目不足以滿足需求，因此需要安部 分人加班，每天加班時(shí)間為2小時(shí)，且緊跟隨在后一個(gè)4小時(shí)工作時(shí)段之后，中 間沒有休息，請(qǐng)給出護(hù)士工作時(shí)間安排方案，以使需要加班的護(hù)士人數(shù)最少。二模型假設(shè)模型I、II的假設(shè)：1、假設(shè)每個(gè)護(hù)士都服從工作安排；2、 假設(shè)每個(gè)護(hù)士都準(zhǔn)時(shí)上、下班，在上班期間無特殊情況發(fā)生，不需要請(qǐng)假；3、假設(shè)每個(gè)護(hù)士每天工作8小時(shí)，且連續(xù)工作4小時(shí)后只能休息2小時(shí)，在休 息2小時(shí)后連續(xù)工作；4、假設(shè)在夜晚要上班的護(hù)士所要休息的 2個(gè)小時(shí)都在醫(yī)院休息。模型

7、III、IV的假設(shè)：1、假設(shè)此醫(yī)院目前只有80名護(hù)士，且每名護(hù)士都要上班，無請(qǐng)假人員；2、假設(shè)80名護(hù)士不能滿足要求，需要安排部分人加班；3、假設(shè)每天加班的時(shí)間為2小時(shí)，且緊跟隨在后一個(gè)4小時(shí)工作時(shí)段之后，中 間沒有休息時(shí)間。三符號(hào)約定乙：為滿足要求至少需要的護(hù)士人數(shù);Z2 :在護(hù)士人數(shù)不滿足要求時(shí)，至少需要加班的護(hù)士人數(shù);mi :第i個(gè)時(shí)段醫(yī)院需要護(hù)士人數(shù);Xi :第i個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)，(第1時(shí)段為00am 02am，第2時(shí)段為02am04amL L 第 12時(shí)段為 10pm12am)， (i 1,2L 12)；W :第i個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)，(i 1,2L 1

8、2);yi :第 i 個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加班的人數(shù)，(i 1,2L 12) 。四 問題分析根據(jù)醫(yī)院需求，我們需要合理安排護(hù)士的工作時(shí)間。問題 1:我們需要保證在每個(gè)時(shí)段都有足夠的護(hù)士在工作。考慮到護(hù)士一天只工 作8小時(shí)，且連續(xù)工作 4小時(shí)后需要休息 2小時(shí)。例如:在第 6時(shí)段內(nèi)工作的護(hù) 士人數(shù)等于此時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)、第 5 時(shí)段開始工作的人數(shù)、以及第 2 個(gè)和第 3 個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)之和。 即:在時(shí)段 6 中，正在工作的護(hù)士分 別在時(shí)段 2、3、5、6開始工作，例如:有個(gè)護(hù)士在時(shí)段 2開始工作，則她在時(shí) 段 2 和時(shí)段 3中將進(jìn)行工作，在時(shí)段 4 休息，然后在時(shí)段 5

9、 和時(shí)段 6繼續(xù)工作。 所以以滿足要求時(shí)需要工作的最少護(hù)士人數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，護(hù)士一天工作八小時(shí)， 且連續(xù)工作四小時(shí)后需要休息 2小時(shí)為約束條件， 建立整數(shù)規(guī)劃模型， 求出滿足 需求時(shí)需要護(hù)士的最少人數(shù)。此工作時(shí)間安排可以滿足醫(yī)院需求， 但按此工作時(shí)間調(diào)度表， 凌晨 0: 00 到早上 4: 00 開始上班和下班的護(hù)士人數(shù)很多人，所占總?cè)藬?shù)的比率很大，考慮到這樣 的工作時(shí)間調(diào)度表可能會(huì)引起在這段時(shí)間內(nèi)開始上班和下班的護(hù)士的不滿， 為解 決不滿，我們對(duì)模型I進(jìn)行改進(jìn)，以凌晨0： 00到早上4： 00開始上班和下班的 護(hù)士人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)，建立模型II，利用LINGO軟件求出更為合理的護(hù)士工 作時(shí)間

10、調(diào)度表。問題 2：此醫(yī)院目前只有 80 名護(hù)士，這個(gè)數(shù)目不足以滿足需求，故需要安排部 分人加班。 考慮到護(hù)士每天只加班兩小時(shí)， 且緊跟隨在后一個(gè) 4 小時(shí)工作時(shí)段之 后，中間沒有休息，同問題一類似分析，例如：在第 6 時(shí)段內(nèi)工作的護(hù)士人數(shù)等 于此時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)、 第5時(shí)段開始工作的人數(shù)、 第2個(gè)和第 3個(gè)時(shí)段 開始工作的護(hù)士人數(shù)以及第 1 時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加班的護(hù)士人數(shù) 之和。建立整數(shù)規(guī)劃模型 山，利用LINGO軟件處理求出最少加班人數(shù)。同問題 1，考慮到凌晨 0： 00到早上 4： 00開始上班(包括需要加班的護(hù)士和不 需要加班的護(hù)士)和下班的護(hù)士較多，所占比率較大。我們

11、對(duì)模型 III 進(jìn)行改進(jìn)， 建立以凌晨 0： 00到早上 4： 00這段時(shí)間開始上班 (包括需要加班的護(hù)士和不需 要加班的護(hù)士)的下班的人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃模型，用 LINGO 軟件處理 求得更為合理的護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度表。五 模型的建立與求解模型 I ：首先，知某醫(yī)院的一個(gè)工作日分為 12個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段所需護(hù)士的人數(shù)不同，所以，必須保證每個(gè)時(shí)段都有足夠的護(hù)士在工作；其次，每個(gè)護(hù)士一天只工作8小時(shí)，且連續(xù)工作4小時(shí)后需要休息2小時(shí)，所以可以給出約束條件；接下來， 建立以滿足需求至少需要的護(hù)士人數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。模型如下：min乙12Xii 1X1X9X10X1215X1X2X10

12、X1115XX3X11X1215X1X3X4X1235X1X2X4X540X2X3X5X640st X3X4X6X740X4X5X7X40X5X6X8X931X6X7X9X1040X7X8X10X1140XX9X11X1240Xi*Z用LINGO軟件求解，得：為滿足需求，最少需要的護(hù)士人數(shù)為100人，且第1、2、L L 11、12時(shí)段新安排工作的人數(shù)x,、x2L L心、x12和總的工作人數(shù)如下表一所示：時(shí)間段開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:00233002:00-04:00174004:00-06:00122906:00-08:0003508:00-10:0004010:00-12:0

13、0114012:00-14:00174014:00-16:00134116:00-18:0073518:00-20:0003520:00-22:0003022:00-00:00020表一模型II:為更好的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行闡述分析，我們用圖將其表示出來 醫(yī)院在不同時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)如圖一所示：護(hù)士需求人數(shù).cP .cP .0 .0 .0 .cP d .0 .0 .0 .cP .cP 0246824682n護(hù)士需求人數(shù)圖一通過該圖可以看出，醫(yī)院的護(hù)士人數(shù)在白天需求量比較多， 晚上較少，與針對(duì)不 同疾病開設(shè)的醫(yī)院在不同時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)進(jìn)行比較， 可推斷該醫(yī)院可能是病 人在白天需要護(hù)士護(hù)理的醫(yī)院（如心腦血

14、管醫(yī)院）。 各個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)如圖二所示：護(hù)士安排0 2 4 6 8：0叭2468： 刃. /圖二通過該圖可以看出：護(hù)士在凌晨 0： 004： 00開始上班與下班的總?cè)藬?shù)為 59 人，占最少所需護(hù)士總?cè)藬?shù)的59%;在這段時(shí)間間開始上班和下班的護(hù)士在生活 會(huì)有很大的不便，如乘車，且所占百分比很大，超過一半。這對(duì)在這段時(shí)間開始 上班和下班的護(hù)士有一定的不公平性，會(huì)引起這些護(hù)士的不滿意。為降低不滿意 度，我們對(duì)模型I進(jìn)行改進(jìn)。為此本文做如下定義1: xi表示第i個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)，（第時(shí)段為00am 02am，第 2 時(shí)段為 02am 04am L L 第 12 時(shí)段為 10pm 12

15、am),(i 1,2L 12);當(dāng) Xj !、x 3、X 4 ( i 1、2、12）中 i 1、i 3、i 4 等于 0、-1、-2、-3時(shí)，x 1、X 3、X 4分別表示第12、11、10、9個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)。定義2:凌晨0: 00到早上4： 00開始上班和下班人數(shù)的多少為醫(yī)院護(hù)士對(duì)工作 時(shí)間調(diào)度表的滿意度。這段時(shí)間開始上班和下班的人數(shù)越多， 護(hù)士對(duì)工作時(shí)間調(diào) 度表的滿意度越小，這段時(shí)間開始上班和下班的人數(shù)越少，護(hù)士對(duì)工作時(shí)間調(diào)度表的滿意度越大。護(hù)士在凌晨0: 004： 00開始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10個(gè)時(shí) 段開始工作的護(hù)士人組成，因此在滿足醫(yī)院各個(gè)時(shí)段護(hù)士需求的

16、條件下， 在模型 I的基礎(chǔ)上醫(yī)院有100名護(hù)士，對(duì)護(hù)士的滿意度可建立模型II，如下：min x1 x2 x3 x8 x9 x10Xi Xi 1 x 3 x 4 mi12s.txi 100i 1xi z*用LINGO軟件求解，得到第3時(shí)段（04： 00 06： 00）開始上班的護(hù)士人數(shù)為 5人；第2時(shí)段（02: 0004： 00）下班的護(hù)士人數(shù)也即第10時(shí)段（18: 00 20： 00）開始上班的護(hù)士人數(shù)為5人，其他時(shí)段開始上班和下班的人數(shù)為 0。即 在凌晨0: 00到早上4: 00開始上班和下班的總?cè)藬?shù)為10人（具體安排如下表 二），僅占總?cè)藬?shù)的10%。比模型I的工作調(diào)度表更為合理，能很大程度

17、上降低 護(hù)士對(duì)工作時(shí)間安排的不滿意度。得到模型改進(jìn)后的最佳工作時(shí)間安排如圖三所 示：時(shí)間段開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:0001502:00-04:0001504:00-06:0052506:00-08:00203508:00-10:00204010:00-12:00154012:00-14:00155514:00-16:0005516:00-18:0003518:00-20:0053520:00-22:00103022:00-00:001020表二改進(jìn)后的值班安排圖三模型III:首先，醫(yī)院只有80名護(hù)士，這個(gè)數(shù)目不足以滿足需求。所以要部分人加班；其 次，同模型I，只不過此模型中，每

18、個(gè)時(shí)段內(nèi)工作的護(hù)士人數(shù)（包括需要加班的 護(hù)士人數(shù)和不需要加班的護(hù)士人數(shù)這兩部分）不僅僅是前幾個(gè)時(shí)段和相對(duì)應(yīng)的此 時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)之和，還應(yīng)加上某時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加班 的那一部分。例如：在第6時(shí)段內(nèi)工作的護(hù)士人數(shù)等于此時(shí)段開始工作的護(hù)士人 數(shù)、第5時(shí)段開始工作的人數(shù)、第2個(gè)和第3個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)以及第 1時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加班的那部分護(hù)士人數(shù)之和；最后，建立以加 班的護(hù)士人數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型如下：12min ZYiyW1y1W9y9W10Y10WY1215yW1y1W2y2W10Y10WuY1115y10W2y2W3y3W1YuW12Y122 15

19、YuW1y3W3y3W4Y4W12Y1235y12W1y1W2y2W4Y4W5Y540Y1 W2y2W3y3W5Y5W6Y640y2W3y3W4y4W6Y6W7Y740St.y3W4y4W5y5W7Y7W8Y840y4W5y5W6y6W8Y8W9Y931y5W6y6W7y7W9Y9W10Y1040y6W7y7W8yW10Y10W11Yu40y7W8y8W9y9W11YuW12Y124012i 1w y 80y、Wj Z利用LINGO軟件求解，得到最少加班的護(hù)士人數(shù)為 40人；第5、6、7、12時(shí)段 開始工作的護(hù)士中需要加班的人數(shù)分別為：& 15、14、5人；其余時(shí)段開始工作的護(hù)士不需要加班。并

20、求得各個(gè)時(shí)段開始工作的人數(shù)、 開始工作的人數(shù)中不需 要加班的人數(shù)及各個(gè)時(shí)段總工作人數(shù)如下表二所示；時(shí)間段不加班工作人數(shù)要加班人數(shù)開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:0019；0192402:00-04:000001904:00-06:00100101506:00-08:001013508:00-10:0096154010:00-12:00015154012:00-14:00014144014:00-16:001013116:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:000003022:00-00:0005520表二模型IV：表二中不加班工作人數(shù)、要加班人數(shù)

21、、開始工作人數(shù)的分布分別用圖 表示如下：20181614121086420口值班安排H9 .1h11I1|不加班值班安排：00 .C：00 .0 .0 ：00：00 .0：00 ：00 .0 ：000 24 68 0 占48 20 22開始值班人數(shù)安排1614121086420.00-加班值班安排LI加班安排II11111II11112 叫出髀胖/岸肆朮00捫通過該工作時(shí)間調(diào)度表，我們可得知：在凌晨 0: 00到早上4: 00開始上班（包括需要加班的護(hù)士和不需要加班的護(hù)士）和下班的人數(shù)有 29人，所占比例為 %。 為求得更為合理的工作時(shí)間調(diào)度表，對(duì)模型III進(jìn)行改進(jìn)，以凌晨0: 00到早上4:

22、 00 這段時(shí)間開始上班（包括需要加班的護(hù)士和不需要加班的護(hù)士）的下班的人 數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)。為此本文做與模型II類似的定義：Wi、yi分別表示第i個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中不需要加班的人數(shù) （i 1,2L 12）與第 i 個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加班的人數(shù)（i 1,2L 12）；（第1時(shí)段為00am 02am，第2時(shí)段為02am 04am L L 第 12 時(shí)段為 10 pm12am ）， （i 1,2L 12） ；當(dāng) wi 1、 wi 3、 wi 4（i1、2、2）中 i1、i3、i 4等于0、-1、-2、-3 時(shí)，wWi 3、w 4 分 別表示第 12、11、10、9 個(gè)時(shí)段開始工

23、作的護(hù)士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)；當(dāng)yi 1 yi 3 yi 4 （ i 1、2、12）中 i 1、i 3 i 4等于 0、-1、-2、-3 時(shí)，yi 1、 yi 3、 yi 4分別表示第 12、 11、 10、 9 個(gè)時(shí)段開始工作的護(hù)士人數(shù)中需要加 班的人數(shù)。護(hù)士在凌晨 0: 004: 00開始上班和下班的人是由第 1、 2、 3、 8、 9、 10 個(gè)時(shí) 段開始工作的不需要加班護(hù)士與第 1、 2、 3、 7、 8、 9、 10 個(gè)時(shí)段開始工作的需 要加班護(hù)士人組成，因此在滿足醫(yī)院各個(gè)時(shí)段護(hù)士需求的條件下，在模型 III 的 基礎(chǔ)上不改變醫(yī)院現(xiàn)有 80名護(hù)士，并且最少需要 40名護(hù)士加班的條件

24、下， 對(duì)護(hù) 士的滿意度可建立模型IV。模型如下：min W1W2W3 W8W9W10 y1y2 y3 y7y8 y9 y10Wi 1Wi 3 Wi4yiyi 1yi 3 yi 4y i4 mixi yi 80yi 40s.t.Wi12i112i1Wi、yi z *利用 LINGO 軟件求解，得到第 1 時(shí)段（ 00： 0002： 00）開始上班的人數(shù)為 5 人。即在凌晨 0： 00 到早上 4： 00 開始上班（包括要加班的護(hù)士和不加班護(hù)士） 和下班的總?cè)藬?shù)為 5 人，占總?cè)藬?shù)的 %（具體數(shù)據(jù)如下表三所示）。在模型 III 求得的結(jié)果上有一定的改進(jìn)， 能降低護(hù)士對(duì)工作時(shí)間安排的不滿意度， 有較

25、大的 可取性。時(shí)間段不加班工作人數(shù)要加班人數(shù)開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:005051502:00-04:000001504:00-06:000002006:00-08:00100103508:00-10:00105154010:00-12:001015254012:00-14:005054014:00-16:000004016:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:00010103022:00-00:000101020表三六模型的討論與靈敏度分析模型的討論：本文建立了四個(gè)模型，模型I和模型III運(yùn)用了整數(shù)規(guī)劃模型解決了 在滿足需求時(shí)所需護(hù)士人數(shù)

26、最少和加班人數(shù)最少的問題。模型II和模型IV在考慮護(hù)士工作滿意程度和在醫(yī)院所需護(hù)士人數(shù)最少和加班人數(shù)最少的情況下，分別對(duì)模型I、III改進(jìn)后，進(jìn)一步得到更為合理的工作時(shí)間安排表。以上四個(gè)模型假 設(shè)了每名護(hù)士在且連續(xù)工作4小時(shí)后只能休息2小時(shí)，在休息2小時(shí)后連續(xù)工作。 在實(shí)際工作中，護(hù)士在工作時(shí)間內(nèi)，可能會(huì)有特殊情況需要請(qǐng)假；護(hù)士上班時(shí)間 不連續(xù)；或者是有突發(fā)事件導(dǎo)致所需護(hù)士人數(shù)增加。考慮以上因素，可建立一個(gè)工作時(shí)間不連續(xù)的整數(shù)規(guī)劃模型，用枚舉法可得出在工作時(shí)間不連續(xù)的情況下的 最優(yōu)人數(shù)與工作時(shí)間安排。靈敏度分析：本文中對(duì)模型結(jié)果產(chǎn)生影響的因素主要是：各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)mi、醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最少

27、（100）、醫(yī)院護(hù)士人數(shù)限定（80）、最少加班人數(shù)（40）。1、模型II對(duì)各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)和醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最少的靈敏度分析 醫(yī)院各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)是此模型的重要因素，各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)的 多少直接影響著醫(yī)院所需護(hù)士的總?cè)藬?shù)、護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度；而醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最 少是護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度和滿意度的主要因素。 在醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最少為100時(shí)，各 個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)和醫(yī)院護(hù)士人數(shù)最少對(duì)護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度和滿意度作靈 敏度分析，解得值如下表：時(shí)段號(hào)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)mi變化區(qū)間100am-02am155，30202am-04am155，35304am-06am150，25406am-08am353

28、0，35508am-10am4030，40610am-12pm4035, 40712pm-02pm400，55802pm-04pm300，559104pm-06pm310，351006am-08pm3525，351108am-10pm3025，3012 10pm-12am200，20護(hù)士人數(shù)100100，105由此可知：所需的護(hù)士人數(shù) mi在以上區(qū)間內(nèi)，對(duì)醫(yī)院所需護(hù)士人數(shù)的影響較??；護(hù)士人數(shù)增加至105人時(shí)，可使所有護(hù)士都不在凌晨0： 00到早上4： 00這段時(shí) 間內(nèi)開始上班和下班，即護(hù)士對(duì)工作時(shí)間安排滿意度最高。2、模型IV對(duì)各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)、醫(yī)院護(hù)士人數(shù)限定以及最少加班人數(shù)的 的靈敏

29、度分析對(duì)模型IV中醫(yī)院各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)同樣是此模型的重要因素，醫(yī)院所需 護(hù)士的總?cè)藬?shù)和最少加班人數(shù)是護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度和滿意度的主要因素。在醫(yī)院護(hù)士人數(shù)為80和最少加班人數(shù)為40時(shí)，各個(gè)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)、醫(yī)院護(hù)士人 數(shù)以及最少加班人數(shù)對(duì)護(hù)士工作時(shí)間調(diào)度和滿意度作靈敏度分析，解得值如下 表：時(shí)段號(hào)時(shí)段所需的護(hù)士人數(shù)mi變化區(qū)間100am-02am1515，23202am-04am155，15304am-06am150，20406am-08am3532，35508am-10am4040，40610am-12pm4040，40712pm-02pm400，45802pm-04pm3025，359

30、04pm-06pm310，351006am-08pm3535，351108am-10pm3030，301210pm-12am200，20護(hù)士人數(shù)8080，40最少加班人數(shù)4040,40由此可知：所需的護(hù)士人數(shù) mi在以上區(qū)間內(nèi)，對(duì)醫(yī)院需要加班人數(shù)的影響較??； 在護(hù)士人數(shù)不變的情況下，當(dāng)加班人數(shù)變?yōu)?2時(shí),只能使在凌晨0: 00到早上4： 00這段時(shí)間內(nèi)開始上班和下班的護(hù)士人數(shù)減少1名，因此，改變護(hù)士加班人數(shù)對(duì)護(hù)士對(duì)工作時(shí)間安排滿意度改變較底；而當(dāng)護(hù)士加班人數(shù)不變時(shí)，醫(yī)院護(hù)士人 數(shù)增為85人時(shí)可使所有護(hù)士都不在凌晨 0： 00到早上4： 00這段時(shí)間內(nèi)開始上 班和下班。因此，醫(yī)院可考慮新引進(jìn)5名

31、護(hù)士，即可使護(hù)士對(duì)工作時(shí)間安排滿意 度最高。七 模型的評(píng)價(jià)與推廣 優(yōu)點(diǎn)：所建模型簡(jiǎn)單，通俗易懂，并為求得更為合理的時(shí)間工作調(diào)度表，我們對(duì) 模型I、III都進(jìn)行了改進(jìn)，有較強(qiáng)的實(shí)用性；利用LINGO軟件，算法簡(jiǎn)便,編程實(shí) 現(xiàn)簡(jiǎn)單,推廣容易，運(yùn)籌學(xué)的題目到都可以用整數(shù)規(guī)劃模型解決；增強(qiáng)和減弱約 束條件后能運(yùn)用到各個(gè)方面的員工工作時(shí)間調(diào)度問題上， 如減弱約束條件， 工作 日為早上 9 點(diǎn)到晚上 9 點(diǎn)，分為 6 個(gè)時(shí)間段， 所建模型就可解決超市工作人員的 時(shí)間調(diào)度問題。缺點(diǎn)：所建模型是建立在假設(shè)每名護(hù)士在且連續(xù)工作 4小時(shí)后只能休息 2 小時(shí)， 在休息 2 小時(shí)后連續(xù)工作的基礎(chǔ)上。 有一定的不合理度

32、。 因?yàn)樵趯?shí)際生活中， 護(hù) 士工作 4 小時(shí)后，在工作人員充足的情況下， 該護(hù)士可以休息多個(gè)小時(shí)再工作接 下來的 4 小時(shí)。這樣就更貼近實(shí)際生活。推廣：像這類問題在實(shí)際中經(jīng)常碰到， 例如實(shí)驗(yàn)室工作人員和商場(chǎng)的工作人 員值班的問題；生產(chǎn)過程中在制品庫存問題，都可建立類似的線形規(guī)劃模型。參考文獻(xiàn)：1 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社， 2003。2 何堅(jiān)勇，最優(yōu)化方法，北京：清華大學(xué)出版社，2007。3 趙靜 但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：高等教育出版社，2000。4 董臻圃，數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)踐，北京：國防工業(yè)出版社，2006。5 牛映武，運(yùn)籌學(xué)，陜西：西安交通大學(xué)出版社，1994。o2a“l(fā))x+(ll)x+(6)x+60)x oec( LL)X+(O L)x+60)x+p)x bcoA(o l)x+(6)x+r)x+(9)x hcoa(6)x+6o)x+(9)x+(9)x ocoa60)x+ex+(9)x+(寸)x o寸Ap)x+(9)x+($x+(e)x o寸c(9)x+(9)x+x+sx o寸a(9)x+(寸)X+C)X+(L)X bcoA“L)x+($x+(e)x+(L)x & L)x+( LL)x+(e)x+“)x &la(ll)x+(ol)x+c)x+(l)x &la