選修作業(yè)(劉海燕,韓佳欣)“深圳杯”數(shù)學(xué)建模A題

1、數(shù)學(xué)建模2012年“深圳杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營a題：深圳人口與醫(yī)療需求預(yù)測 參賽隊(duì)員具體信息：姓 名學(xué) 號聯(lián)系電話電子郵箱論文分工隊(duì)長劉海燕201053711818734824069380377295模型建立隊(duì)員韓佳欣200853211218234060271760043451編程隊(duì)員謝江琳（非選修）201053712015698595557815995139論文寫作18 深圳市人口變化與醫(yī)療需求的合理分析摘要 一個國家的人口與醫(yī)療問題關(guān)系到國家的發(fā)展與進(jìn)步，因此對人口合理的預(yù)測就顯的非常重要。但是不同的地區(qū)有不同的人口特點(diǎn)。深圳是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展最快的地區(qū)之一，近年來深圳市的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)有很大

2、變化，人口也發(fā)生了很大變化。深圳人口增長較快，主要原因有兩個：一是人口流入量較大。10年來，深圳經(jīng)濟(jì)保持較高增速，提供了較多的就業(yè)崗位，吸引了大量市外人員到深圳工作和生活。二是戶籍人口增長較快。10年間，深圳采取多項(xiàng)措施，降低了入戶門檻，加快了戶籍人口增長步伐。 本文就深圳人口變化及未來的床位需求進(jìn)行了預(yù)測。 對于問題一，我們先用excel軟件對深圳近十年人口數(shù)量變化作圖，對深圳市近十年的人口變化得到大致了解。針對深圳市人口結(jié)構(gòu)中非戶籍人口比重大，流動人口多這一特點(diǎn)，然后又由于所得到的數(shù)據(jù)量不是很大，并且灰色預(yù)測模型【1】所需建模信息少，運(yùn)算方便，建模精度高，所以我們采取灰色預(yù)測模型首先對深圳

3、近十年的非常住人口、常住人口及總?cè)丝诘淖兓卣鬟M(jìn)行了分析，在此過程中同時用到matlab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算及擬合，分別得到了非常住人口、常住人口和總?cè)丝诘臄M合函數(shù)。通過模擬出的常住人口與非常住人口的函數(shù)，我們可以很容易的得出深圳市人口數(shù)量的變化情況，同時我們以非戶籍人口與常住人口的函數(shù)之比作為深圳市人口結(jié)構(gòu)的變化，通過作圖發(fā)現(xiàn)，深圳市非戶籍人口正逐年下降。之后對不同年齡段的人口數(shù)用excel作圖，然后再用matlab軟件對不同年齡段的人數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合并作圖。對問題一中的預(yù)測未來全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求,通過查閱資料得知床位需求與各年齡段人數(shù)、住院率、平均住院天數(shù)以及該地平均年床開放日數(shù)有關(guān)，

4、在查找資料以及大量演算基礎(chǔ)上，利用已求出的常住人口變化函數(shù)，我們得出深圳市的床位需求函數(shù)，而深圳市各區(qū)對應(yīng)的床位需求則為深圳市總的床位需求乘以本區(qū)總?cè)丝谒忌钲谑锌側(cè)丝诘谋壤τ趩栴}二，考慮到研究的實(shí)用性與可行性，選擇比較常見的病，如高血壓、胃癌進(jìn)行預(yù)測，我們通過查找高血壓與胃癌在深圳市不同年齡段的發(fā)病率、這兩種病在市級與區(qū)級醫(yī)院的住院天數(shù)以及這兩種級別的醫(yī)院的平均年床開放日數(shù)，根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算、預(yù)測。最后對結(jié)果及不同的模型進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：灰色模型 二次擬合 matlab excel 一、問題重述 深圳市是我國發(fā)展最快的地方，從1980年到2010年，深圳市每年以30多萬的人口增幅增長。到

5、2010年深圳市人口已達(dá)1037萬人。從結(jié)構(gòu)上來看，深圳人口的顯著特征是流動人口遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過戶籍人口且年輕人占絕對優(yōu)勢。深圳流動人口主要從事第二第三產(chǎn)業(yè)的一線工人和商業(yè)服務(wù)人員。年輕人身體強(qiáng)壯、發(fā)病較少，因此深圳目前醫(yī)療設(shè)施雖然低于全國類似平均水平，但仍能滿足現(xiàn)在人口的就醫(yī)需求。然而隨著時間推移和政策的調(diào)整，深圳老年人口比例會逐漸增加，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的變化也會影響外來務(wù)工人員的數(shù)量，這些都可能導(dǎo)致未來深圳市的床位需求于現(xiàn)在有較大差異，難以滿足人口和醫(yī)療預(yù)測的需求，為了了解此情況，根據(jù)深圳人口發(fā)展變化態(tài)勢以及全社會醫(yī)療衛(wèi)生資源投入情況收集數(shù)據(jù)，建立針對深圳具體情況的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測深圳未來人口的增長和床位需

6、求解決下面問題： 首先分析深圳近十年戶籍人口，非戶籍人口變化特征，其次預(yù)測未來十年深圳市人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢，最后以此為基礎(chǔ)預(yù)測未來全市和各地區(qū)醫(yī)療床位需求，并針對幾種病在不同類型的醫(yī)療機(jī)構(gòu)就醫(yī)的床位需求分析。二、問題分析深圳市是外來人口比例大得城市，分析深圳市近十年常住人口、非常住人口的變化特征來預(yù)測未來十年深圳市的人口數(shù)量和人口特征，對于這種數(shù)據(jù)不太多的問題，可以選擇灰色預(yù)測模型來解決，灰色預(yù)測模型在此方面有較好的優(yōu)勢。預(yù)測出來，得到擬合函數(shù)后，可以通過excel作圖，使結(jié)果更加的清晰、明了，易于觀察。床位的需求受總?cè)丝?、人口結(jié)構(gòu)等的影響，總?cè)丝诳梢杂傻谝粏柕幕疑Ｐ皖A(yù)測。人口特征可以

7、由非戶籍人口占總?cè)丝诘谋壤案髂挲g段占總?cè)丝诘谋戎貋斫鉀Q。對于第一個比例可以由第一問的預(yù)測得到，然后作圖；對于第二個比例，可以先以往年的數(shù)據(jù)做圖看分布情況，然后用matlab擬合函數(shù)并作圖。由歷年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，老年人群是各種疾病的高發(fā)人群，老年人口的比重嚴(yán)重影響著床位需求，但是老年人的比例一直在變化，不好統(tǒng)計(jì)，所以假設(shè)在未來的十年老年人的比例基本上保持不變。因此可以由人口總數(shù)和不同年齡段的人口比例數(shù)及患病率預(yù)測深圳市床位需求量。深圳市各地區(qū)的床位需求又可以通過各地區(qū)人口數(shù)及不同年齡段的人口數(shù)和患病率分析得到。對于對選擇的幾種病預(yù)測在不同類型的醫(yī)療機(jī)構(gòu)就醫(yī)的床位需求，我們考慮到高血壓和胃癌是比較常見

8、的病，所以選擇這兩種病進(jìn)行分析。通過查資料得到有關(guān)數(shù)據(jù)，代入公式進(jìn)行計(jì)算。三、模型假設(shè)1.在研究期間不考慮重大事件、自然災(zāi)害及國家有關(guān)人口調(diào)動政策的影響，只選取人口數(shù)量與年齡地區(qū)、戶籍、性別方面因素的關(guān)系；2.深圳市各區(qū)相同年齡段的人口體質(zhì)相同，即患病率相同；3.各地區(qū)相對封閉，各部區(qū)人口不會跨地區(qū)就醫(yī)；4.不考慮老齡化的現(xiàn)象；5.深圳市當(dāng)前的人口政策保持不變 ；6.相同的病醫(yī)療所需的時間相同；7.高血壓人群中，由于35歲以前的發(fā)病情況幾乎沒有，忽略不計(jì)；8.對于研究的患病人口均需住院治療，即需要床位； 四、符號說明1. 個元素的數(shù)列（每年的人口數(shù)）；2. 的前項(xiàng)和；3. 的灰導(dǎo)數(shù)；4. 發(fā)展

9、系數(shù)；5. 灰作用量；6. 數(shù)據(jù)向量；7. 數(shù)據(jù)矩陣；8. 參數(shù)向量；9. 年份；10. 年；11. 殘差；12. 相對殘差；13. ;14. 第個年齡段；15. 第個年齡段的人口數(shù)；五、模型的建立與求解5.1問題一： 深圳市最近十年常住人口、非常住人口變化特征和未來十年人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的發(fā)展情況及在此基礎(chǔ)上對全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求的預(yù)測。 5.1.1灰色模型1、模型說明：設(shè)給定的原始數(shù)據(jù)序列 對此數(shù)據(jù)序列累加得到一個新的數(shù)據(jù)序列 ，其中 ，顯然為得原始數(shù)列，對中的數(shù)進(jìn)行后減運(yùn)算，在此過程中定義的灰導(dǎo)數(shù)為 再設(shè)滿足一階常微分方程 ，其中稱為發(fā)展系數(shù)，稱為灰作用量。此方程滿足初始條件當(dāng) 時，的解為

10、 對等間隔取樣的離散值則為 * 令 ，則由最小二乘法可以求得 把估計(jì)值與代入*式得時間響應(yīng)方程 當(dāng)時，由上式得到的擬合值，當(dāng)時，為預(yù)測值；用后減運(yùn)算還原，當(dāng)時，就可以得到原始數(shù)據(jù)的擬合值，當(dāng)時，可得原始序列的預(yù)測值，即為人口的預(yù)測值。由已有數(shù)據(jù)用excel作圖，可以看出深圳近十年的常住人口和非常住人口都呈上升趨勢，并且非常住人口增長快于常住人圖一：近幾年深圳市的人口變化下面就用灰色預(yù)測模型對深圳市的人口進(jìn)行詳細(xì)、具體的分析及未來十年的人口預(yù)測預(yù)測。2.建立模型：1） 對于常住人口（1）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算并整理一次累加序列 ，結(jié)果如下：表一：2001年2010年常住人口數(shù)年份20012002200

11、32004200520062007200820092010132.04139.45150.93165.13181.93196.83212.38228.07241.45251.03132.04271.49422.42587.55769.48966.311178.691406.761648.211899.24（2） 建立矩陣：，（3）計(jì)算，并由求估值和經(jīng)過matlab的計(jì)算得， ，即，。則把和的值代入事件響應(yīng)方程，由于，故時間響應(yīng)方程為，即（4）計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原計(jì)算 又殘差 相對殘差 表二：2001年2010年常住人口灰色預(yù)測法的擬合值年份擬合值殘差相對殘差相對誤差2001132.04

12、0002002143.82-4.37-0.03130.0242%2003154.76-3.83-0.02540.0245%2004 166.56-1.43-0.00870.0063%2005179.232.70.01480.0325%2006192.893.940.02000.0156%2007207.574.810.02260.0082%2008223.394.680.02050.0022%2009240.4 1.050.00430.0036%2010258.7-7.670.03060.0155% 由殘差、相對殘差及相對誤差的大小可得所得的擬合函數(shù) 還是比較準(zhǔn)確的，所以可以以此函數(shù)來預(yù)測未來

13、十年的常住人口，則可得：表三：2011年2020年常住人口的預(yù)測值年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測值299.61322.43347373.41402.06432.47465.4500.84538.99580.042）對于非常住人口我們用同樣的方法得到非常住人口發(fā)展趨勢的擬合函數(shù) 代入值的 表四：2001年2010年非常住人口灰色預(yù)測法的擬合值年份擬合值殘差相對殘差相對誤差2001592.530002002598.268.910.01470.0242%2003617.689.660.01540.0245%2004 638.2-2.53-0.

14、00400.0063%2005659.41-13.59-0.02100.0325%2006681.32-7.05-0.01050.0156%2007704-4.01-0.05730.0082%2008727.38-1.17-0.00160.0022%2009751.5620.00270.0036%2010776.549.630.01220.0155% 和表五：2011年2020年非常住人口的預(yù)測值年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測值802.36829.02856.59885.06914.47944.88976.281008.731042.2

15、71076.91 所以對于總?cè)丝诳捎沙Ｗ∪丝诤头浅Ｗ∪丝谙嗉涌傻?。或用上面同樣的方法?時間響應(yīng)方程為 ，即 計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原計(jì)算得 表六：灰色預(yù)測法的擬合值年份擬合值殘差相對殘差相對誤差2001724.570002002739.77 6.850.00920.0012%2003771.496.780.00870.0011%2004 804.56-3.760.00470.0006%2005839.06-11.310.01370.0017%2006875.03-3.930.00450.0156%2007912.54-0.170.00020.0082%2008951.662.620.00

16、270.0022%2009992.462.550.00260.0036%20101035.012.190.00210.0155% 和 表七：20112020年總?cè)丝诘念A(yù)測值年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測值1079.41125.71173.91224.21276.71331.51338.51448.11510.11574.9利用表七得出的數(shù)據(jù)我們可以看到人口還在增長，應(yīng)用excel軟件做圖，我們可以清晰地看到人口變化的情況，如圖：圖二：未來十年深圳市人口的變化3） 人口結(jié)構(gòu)的分析（1）由上面的預(yù)測值可以算得非常住人口占總?cè)丝谥械谋嚷首兓?/p>

17、即 令 經(jīng)過數(shù)據(jù)處理并由excel軟件的處理得到如下的圖 圖三：未來十年非常住人口所占比例 我們發(fā)現(xiàn)深圳市的非戶籍人口所占的比例總的來說有所下降，所以說，雖然非戶籍人口數(shù)量在增加，但比例在下降，跟這10年來，深圳采取的多項(xiàng)措施，降低了入戶門檻有很大的關(guān)系，加快了戶籍人口增長步伐。5.1.2二次擬合根據(jù)2000、2005和2010年各個年齡段所占比例的數(shù)據(jù)用excel作圖得圖四：深圳市2000年不同年齡段的人口比例圖五：深圳市2005年不同年齡段的人口比例圖六;深圳市2010年不同年齡的人口比例 從以上圖中看出，每年深圳市各年齡的人口變化不是很大，因此可預(yù)測未來十年人口的年齡變化與此接近。用ma

18、tlab進(jìn)行二次擬合得函數(shù)用matlab繪制出得擬合曲線為 圖七：深圳市不同年齡段人口變化曲線5.1.3 未來全市和各區(qū)醫(yī)療的床位需求 1）全市的床位需求 為解決該問題，我們假設(shè)在最近的十年內(nèi)各年齡段的人口所占比例保持不變。經(jīng)過我們的討論，然后又查找資料得病床的需求量公式得：【2】經(jīng)過查找資料得各年齡段的住院率3做成餅圖為： 圖八：各年齡段的住院比率由給出的數(shù)據(jù)并計(jì)算得到各年齡段占總?cè)丝诘谋嚷?，然后做成餅圖得： 圖九：各年齡段占總?cè)丝诘谋壤?由表七中的預(yù)測值得到未來十年的總?cè)丝跀?shù)，再由查資料得到平均住院天數(shù)和平均年床位開放日數(shù)分別為292和6.0。將數(shù)據(jù)代入上式公式得到醫(yī)院病床需求量為表八：未

19、來年床位數(shù)年份2011201220132014201520162017201820192020數(shù)量（萬張）120.665132.248137.654145.158150.112158.207163.072169.591174.020177.3192） 各區(qū)的床位需求 由查閱資料【4】得到各地區(qū)人口占深圳市總?cè)丝诘谋壤?，羅湖區(qū)11.05% ，福田區(qū)12.98% ，南山區(qū)10.30 ，寶 安 區(qū)39.02% ，龍 崗 區(qū)24.47 % ，鹽 田 區(qū)2.17% 。再由上面的公式及未來十年的人口預(yù)測的相關(guān)數(shù)據(jù)得未來十年各區(qū)的床位需求為：表九：未來十年各區(qū)總的床位需求區(qū)名羅湖區(qū)福田區(qū)南山區(qū)寶安區(qū)龍崗區(qū)鹽

20、田區(qū)床位（萬）168.85198.34157.39596.24373.9133.165.2問題二：不同疾病在不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的床位需求以高血壓和胃癌為例查閱文獻(xiàn)【5】得在高血壓人群中，由于35歲以前的發(fā)病情況幾乎沒有，忽略不計(jì)。而35歲以上不同年齡的發(fā)病率及不同年齡段胃癌的發(fā)病率分別如下表所示：表十：不同年齡高血壓發(fā)病情況分組 調(diào)查人數(shù)患病人數(shù)患病率（）3554107440.3755-641756110.6765-741861231.2475以上18963.17 表十一:不同年齡段胃癌的發(fā)病情況分組調(diào)查人數(shù)患病人數(shù)患病率（）44歲以下82120.244554107430.2855-64175630

21、.1765-741861140.7575以上18963.17 不同醫(yī)院類型政府辦醫(yī)院綜合醫(yī)院市級區(qū)級街道社會辦醫(yī)院 平均住院天數(shù) 8.18.19.496.97.2經(jīng)查閱資料，疾病在不同類型醫(yī)院的住院天數(shù)如下表：再由公式可得出不同類型醫(yī)療機(jī)構(gòu)的床位需求，比如以市級醫(yī)院2011年高血壓的床位需求量為例（查資料的年開放日數(shù)為317），其它類型的醫(yī)院機(jī)構(gòu)也可以用同樣的方法得到。六、模型評價與改進(jìn)方向1. 灰色預(yù)測模型比較適合信息不全面，數(shù)據(jù)不太多的問題，本論文比較巧妙的使用了灰色預(yù)測模型分別分析和預(yù)測了深圳市常住人口、非常住人口及全市人口的發(fā)展趨勢；2. 本模型巧妙的忽略了問題的次要矛盾，即年齡結(jié)構(gòu)，

22、各區(qū)所占比例，雖然喪失了一些精確度，但是相對于其它繁瑣的模型而言，還是利大于弊的；3. 在分析不同年齡段的發(fā)展趨勢時應(yīng)用了二次擬合模型，但是只適應(yīng)于預(yù)測短期，不適應(yīng)于長期；4. 模型沒有體現(xiàn)出深圳不同區(qū)的人口變化函數(shù)，而只是假設(shè)其人口總量對深圳總?cè)丝诹勘３植蛔?，?shí)際上每個區(qū)的發(fā)展不同，人口變化也不同；5. 模型建造中沒有考慮到年齡結(jié)構(gòu)的變化，而深圳市年齡結(jié)構(gòu)是趨向老齡化方向的，老年人體質(zhì)弱，易生病住院，因此實(shí)際得出的床位數(shù)小于實(shí)際需求的床位數(shù)；6. 從提高準(zhǔn)確性與普遍性的角度考慮，還可以引入關(guān)于年齡結(jié)構(gòu)的擬合函數(shù)以及各區(qū)獨(dú)立的人口發(fā)展函數(shù)。七、參考文獻(xiàn)1 唐麗芳、賈冬青、孟慶鵬，2008.用m

23、atlab實(shí)現(xiàn)灰色預(yù)測gm(1,1)模型.滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報，24:352 饒克勤、陳育德關(guān)于制定衛(wèi)生資源配置標(biāo)準(zhǔn)的幾點(diǎn)建議，1999年03期 39頁3 2003年調(diào)查地區(qū)各年齡段居民住院率 中國發(fā)展門戶網(wǎng)4 2010年深圳市衛(wèi)生和人口計(jì)劃生育委員會衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)年鑒（衛(wèi)生機(jī)構(gòu)、床位、人員情況）5 高血壓、肥胖、血脂紊亂和糖耐量異常在不同年齡段人群中分布的基線調(diào)查 廣西醫(yī)科大學(xué)第一附屬醫(yī)院 呂澤平6 李彥卿 小城鎮(zhèn)人口規(guī)模研究 天津大學(xué)7 景倩 中國人口增長趨勢預(yù)測模型 8 朱艷偉、張永利 中國人口增長預(yù)測模型及其改進(jìn)j 統(tǒng)計(jì)與預(yù)測 附錄（1）計(jì)算，并計(jì)算求估值和的matlab程序% 表示數(shù)據(jù)矩陣b=-201.765 1;-346.955 1;-504.985 1;-678.515 1;-867.895 1;-1072.5 1;-129