自適應(yīng)時頻分析及其研究進展

1、數(shù)字信號處理學(xué) 號：130080402025學(xué)生所在學(xué)院：測試與光電工程學(xué)院學(xué) 生 姓 名 ：XXX任 課 教 師 ：李志農(nóng)教師所在學(xué)院：測試與光電工程學(xué)院2013年12月13級4班自適應(yīng)時頻分析及其研究進展XXX（南昌航空大學(xué)測試與光電工程學(xué)院 南昌 330063）摘 要：通過對自適應(yīng)時頻分析的發(fā)展歷程的了解，總結(jié)分析近幾年內(nèi)，各學(xué)科對于自適應(yīng)時頻分析方法的具有創(chuàng)新的研究進展，表現(xiàn)出其在各領(lǐng)域研究中的不可忽視的地位。對不同的時頻分析技術(shù)作了簡要介紹，并對其優(yōu)缺點、彼此間的相互關(guān)系進行了較為詳細的論述。同時，對時頻分析技術(shù)所面臨的問題及發(fā)展方向談了一點個人看法。關(guān)鍵詞：傅氏變換；適應(yīng)信號分解；

2、Matching pursuit算法；時頻分析引言 盡管信號處理的目的不同，如用于數(shù)據(jù)壓縮、降噪、檢測、參量估計及模式識別等，但信號處理的基本步驟和方法卻是一致的。那就是首先要獲取信號的特征信息。對待分析信號作各種變換處理的根本目的，就是要通過變換處理使待分析信號的特征信息盡可能地突顯出來以利于特征提取。盡管人們已經(jīng)提出了形形色色的信號變換方法，但大體上卻可分為如下3類：線性變換方法，雙線性變換方法及參數(shù)化時頻表示方法。本文就現(xiàn)有的各種方法作一綜述和比較，并就其中的一些問題談一點個人的粗淺看法。1 自適應(yīng)時頻分析的現(xiàn)狀時頻分析方法提供了時間域和頻率域的聯(lián)合分布信息，更清楚地描述了信號的頻率是如

3、何隨時間變化的關(guān)系。時頻分析的方法很多，從短時傅立葉變換到二次型時頻分析、Gabor變換、Cohen類時頻分布等，各類分布多達幾十種，但這些基于傳統(tǒng)理論的各種處理方法，有著種種自身難以克服的缺陷。短時傅里葉分析方法的不足之處是不能同時獲得高的時頻分辨率。二次型時頻分布具有最高的時頻分辨率，但其固有的缺陷是交叉干擾項的存在，使用固定核函數(shù)對于某一類信號可能較好地抑制了交叉項，但同一種核函數(shù)對另外的信號卻常常不能盡如人意。Gabor展開的基函數(shù)可以體現(xiàn)信號的時頻特征，但Gabor基的頻率、帶寬是固定的。同樣，小波變換的時移、頻移也是固定變化的，只是對時頻平面進行了機械的格型分割，其基函數(shù)不能自適應(yīng)

4、選取1。為了克服傳統(tǒng)時頻分析的種種缺陷，到二十世紀(jì)九十年代，自適應(yīng)時頻正式登上了歷史舞臺。自適應(yīng)時頻分析是一種應(yīng)用自適應(yīng)信號處理手段來完成信號的時頻分析以獲得更好的時頻信息描述與跟蹤效果的方法。在所有的時頻分析方法中最受關(guān)注的是Cohen類時頻分布2,包括:Wigner分布3,優(yōu)化平滑Wigner分布4,Choi-Willimams分布5,錐形核分布6,交叉項檢測的時頻表示(CDR)7,減少交叉頂?shù)姆植?RID)8,具有Besell核的時頻分布9,具有組合核的時頻分布10?；谛盘柗纸獾臅r頻分析方法是自適應(yīng)時頻分析方法中的一種，它采用的是信號線性空間擴展的手段，從過完備基函數(shù)集合中尋求最佳的信

5、號表示。如匹配搜索原子分解(MP)，自適應(yīng)高斯基表示(AGR)等。這類方法實際上參數(shù)化和模型化的方法，它結(jié)合了線性和二次型時頻表示的有點，雖然計算較為復(fù)雜，但是當(dāng)參數(shù)模型確實匹配被分析信號時，可以取得比非參數(shù)型方法更好的效果。由于自適應(yīng)方法潛在的優(yōu)異性能，引起了人們的廣泛關(guān)注，形成了時頻分析研究的一個新熱點。2 自適應(yīng)時頻分析的各種變換2.1 短時傅氏變換短時傅氏變換11定義為 （2.1）其中g(shù)（t）為一時間局部化了的窗函數(shù)。顯然對應(yīng)于一定的時刻，短時傅氏變換只對其附近窗口內(nèi)的信號作分析，能夠粗略地反映信號在該時刻附近的局部頻譜特征。而整個變換結(jié)果也就能提示信號頻譜隨時間的演化特性，性能優(yōu)于傅

6、氏變換。能夠保證該方法有效性的一個隱含假設(shè)是，信號在窗函數(shù)的有效持續(xù)時間內(nèi)應(yīng)是平穩(wěn)的，但此條件通常無法滿足或近似滿足。上文中所示信號作傅氏變換等價于在特定時刻對該信號作了一次短時傅氏變換，其所用窗函為一矩形窗，寬度等于信號的有效持續(xù)時間。顯然，由于不滿足局部平穩(wěn)性假設(shè)，短時傅氏變換給了人們錯誤的信息。為滿足局部平穩(wěn)性假設(shè)條件，人們又采用自適應(yīng)的方法對不同的信號段選擇不同長度的窗函數(shù)12。但如何衡量信號的局部平穩(wěn)性本身就是一大難題。再者，同傅氏變換一樣，即使信號在窗函數(shù)的有效持續(xù)時間內(nèi)是平穩(wěn)的，它也無法較好地給出信號的局部頻譜信息。2.2 小波變換小波變換定義為 （2.2）其中a 0 為尺度參數(shù)

7、，y(t) 為一個時間、頻率均局部化了的帶通函數(shù)。對復(fù)小波而言 ,母小波y(t)可表示成以下形式 （2.3）其中w 為小波y (t ) 的中心頻率， h(t) 為一低通實函數(shù)。則小波變換又可表示成式(2.4)形式 （2.4）比較兩式可見，小波變換和短時傅氏變換具有很大的相似性。區(qū)別僅在于觀察信號的不同頻率分量，小波變換使用了不同寬度的窗函數(shù)。同短時傅氏變換相比，小波變換具有多分辨能力13。目前，小波變換是信號處理領(lǐng)域的一個研究熱點。不僅關(guān)于它的理論及應(yīng)用方面的文獻浩繁，而且它也被罩上了一層神秘的光環(huán)，似乎小波變換無所不能。其實不然，它只適于分析自相似信號。在實際應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)，母小波選擇的恰當(dāng)

8、與否至關(guān)重要，幾乎是影響小波變換應(yīng)用成敗的決定性因素。其根本原因就在于此。3 自適應(yīng)時頻分析的各種分布3.1 徑向高斯核時頻分布G.B.Richard和L.J.Douglas在1993年提出了基于信號的徑向高斯核時頻分析,這種方法將待求的核函數(shù)定義為沿任意徑向剖面部都是Gauss型的二維函數(shù),即 （3.1）為在徑向角上的Gauss函數(shù)的均方差,它控制Gauss函數(shù)的形狀,稱展形函數(shù)14。利用極坐標(biāo)作為半徑變量,(3.1)式可以寫成 （3.2）且核函數(shù)滿足約束條件 （3.3）因為徑向Gauss核函數(shù)完全由一維函數(shù)所控制,尋找優(yōu)化的徑向Gauss核函數(shù),等價于尋找優(yōu)化的展形函數(shù),所以(3.3)式可

9、以等價寫為 (3.4)這種方法將二維核函數(shù)的優(yōu)化問題簡化為一維展形函數(shù)的優(yōu)化問題,使優(yōu)化函數(shù)的設(shè)計向前推進了一步。但是它仍基于信號的自項成分集中在模糊平面的原點附近、交叉項遠離原點這樣的理論基礎(chǔ),所以,當(dāng)自項成分和交叉項成分重疊時,無論體積參數(shù)取何值,都不能將自項和交叉項分開15。3.2 自適應(yīng)錐形核時頻分布N.C.Richard提出了自適應(yīng)錐形核設(shè)計，根據(jù)信號屬性自適應(yīng)調(diào)節(jié)錐形核的長度。錐形核分布是一種Cohen類16二次時頻表示，其核函數(shù)在時間相關(guān)平面呈錐形。它在提供好的時頻分辨率和抑制交叉項的同時保留了時間支持特性，在頻率軸上能夠使譜峰得到增強。錐形核分布的離散形式17-18為： （3.

10、5）其中 （3.6） （3.7）式中x(n)(n=0,1,N-1)為待分析信號，CKD的性質(zhì)決定于錐形長度T。為得到好的時頻分布效果，對于變化較快的信號，通常選取較小的T;而對于變化較平緩的信號，常選取較大的T。也就是說，對于某一信號，過大或過小的了都會降低CKD的時間一頻率分辨率，使其時頻能量分布分散。因此以時頻分布的能量集中程度為準(zhǔn)則，確定出最佳的了值。信號的能量為 （3.8）如果記 （3.9）則 （3.10）采用如下優(yōu)化準(zhǔn)則 （3.11）其中為核函數(shù)能量。表示n時刻時頻分布的能量與核函數(shù)能量之比，使最大的T即為最優(yōu)錐形核長度，記為。從而得到自適應(yīng)錐形核時頻分布為 （3.12)3.3 自適

11、應(yīng)最優(yōu)核時頻分布定義具有時頻局部化性質(zhì)的模糊函數(shù)19-20如下 （3.13）式中,變量t和給出了二維窗函數(shù)的中心位置,將Wigner-Ville分布與窗函數(shù)A(u-t,v-)相乘,可以將積分區(qū)域限制t和的鄰域內(nèi)。與加窗傅里葉變換相同,窗函數(shù)的選取要保證其既要具有時頻域局部化性質(zhì),也要具有模糊域局部化性質(zhì)。雖然采用加窗的方法降低了模糊域的分辨率,但是對最優(yōu)化核函數(shù)影響并不大。式中的窗函數(shù)要求同時在時頻域和模糊域具有較好的分辨率。在定義局部模糊函數(shù)以后,時頻自適應(yīng)最優(yōu)核函數(shù)的設(shè)計轉(zhuǎn)換為如下的最優(yōu)化問題 （3.14） （3.15）從而得到時頻自適應(yīng)最優(yōu)核時頻表示 （3.16）縱觀自適應(yīng)時頻表示的發(fā)展

12、歷程,無一不是以追求完美地刻畫復(fù)雜多樣的信號時頻特征為動因,以增加算法的復(fù)雜性和降低速度為代價。本文認為在信號時頻分析方面 ,結(jié)合信號的分解方法也許是一個比較好的出路 ,而如何正確地使用不同的分解方法來對不同的信號進行自適應(yīng)地分解 ,從而達到有效地抑制交叉項的目的 ,以及參數(shù)優(yōu)化選擇的快速計算方法 ,還有待于做進一步的研究。此外 ,多種分析方法的有機結(jié)合可能更有意義 , 將小波理論引入時變系統(tǒng)的建模 ,利用小波基函數(shù)的時頻局部化能力 ,應(yīng)用多分辨率最小二乘算法進行模型參數(shù)的估計;將小波基與高階統(tǒng)計量相結(jié)合進行模型辨識和參數(shù)估計等 ,為解決時變線性系統(tǒng)的建模和辨識問題提供了新的思想和方法21。4

13、 自適應(yīng)信號分解與各種線性變換之間的關(guān)系令 為Hilbert空間，且，信號,可以證明, 當(dāng)原子集D為H 的正交基時,所以基于“Matching Pursuit”算法的自適應(yīng)信號分解等價于在基D上的正交展開。故此時短時傅氏變換22、小波變換23、線調(diào)頻傅氏變換24以及Fm let變換25等與自適應(yīng)信號分解方法將是等價的。否則，自適應(yīng)信號分解方法將給出更合理的結(jié)果。這一點很好理解，因為盡管信號的正交展開有許多優(yōu)點，但由于信號的組成成分之間通常都是相關(guān)的，正交展開必然使信號的特征信息彌散在較多的展開系數(shù)上，因此正交展開并不利于刻畫信號的內(nèi)部特征結(jié)構(gòu)。從這個意義上講，自適應(yīng)展開將優(yōu)于正交展開。自適應(yīng)信

14、號分解能給出更合理的分析結(jié)果的另一重要原因是，它使用了“消去”處理的思想。所謂“消去”處理是指：每估計出一個信號分量的參量后，將該信號分量從待分析信號中剔除得到殘差信號，然后再從殘差信號中估計下一個信號分量的參量，直至提取出所有的信號分量26。5 存在的問題及研究方向(1)研究導(dǎo)致信號的頻率成分隨時間變換的物理機制。弄清這個問題將為信號處理的具體應(yīng)用提供必要的先驗信息，從而有利于減少計算量，同時輸出更為準(zhǔn)確和合理的處理結(jié)果；(2)自適應(yīng)信號分解方法雖有許多潛在優(yōu)點，但在無任何先驗 信息的情況下其計算量將大得令人無法接受，幾乎沒有實際應(yīng)用價值，更談不上實時處理。所以，必須解決快速算法問題。(3)

15、在信號時頻分析方面 ,結(jié)合信號的分解方法也許是一個比較好的出路 ,而如何正確地使用不同的分解方法來對不同的信號進行自適應(yīng)地分解 ,從而達到有效地抑制交叉項的目的 ,以及參數(shù)優(yōu)化選擇的快速計算方法 ,還有待于做進一步的研究。參考文獻1 胡廣書.現(xiàn)代信號處理教程M .北京:清華大學(xué)出版社, 20042 張賢達,保錚.非平穩(wěn)信號分析與處理M.北京:國防工業(yè)出版社,1998.3 WOLFGANG MARITN, PATRICK FLANMDRIN. Wigner-Ville Spectral Analysis of Nonstationary ProcessesJ. IEEE Trans ASSP,1

16、985,33(6):1461-1469.4 ANDRIEUX J C, MARC R FEIX, GERARD MOURGUES. Optimum Smooth of the Wigner-Ville DistributionJ. IEEET rans ASSP,1987,35(6):764-769.5 HYUNG-ILL CHOI, WILLIAM J WILLIMAS. Improved Time-Frequency Representation of Multicomponent Signals Using Exponential KernelJ.IEEE Trans ASSP,1989

17、,37(6):862-871.6 YUNXIN ZHAO,LES E ATLAS,ROBERT J MARKS.The Use of Cone-Shaped Kernels for Generalized Time-frequency Representation of NonStationary SignalJ.IEEE Trans ASSP,1990.7 SHIE QIAN,JOELMMORRIS. Wigner Distribution Decomposition and Cross-terms Deleted RepresentationJ.Signal Processiong1992

18、,27:125-144.8 JECHANG JEONG, WILLIAM J WILLIAMS.Kernel Design For Reduced Interfeence DistributionsJ.IEEE Trans Signal Processing,1992,40(2):402-412.9 ZHENYUGAO,LOUIS-GILLES DURAND, HOWARD C ETAT.The Time-Frequency Distributions of Nonstationary Signals Based on a Bessel KernelJ.IEEE Trans Signal Pr

19、ocessing,1994.10 BILIN ZHANG, SHUNSUKE SATO.A Time-Frequency Distribution of Cohen.s Class with a Compound Kernel and its Application to Speech Signal ProcessingJ.IEEE Trans Signal Processing,1994,42(1):54-64.11 Yang H Y, Mathew J, Ma L. Fault diagnosis of rolling elementbearings using basis pursuit

20、 J . Mechanica l Systems and Sign l Processing, 2005, 19: 341356.12 N.E.Huang,Zheng Shen, Steven R.Long, etal .The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc R. Soc. Lond. A., 1998:903-99.13 張賢達現(xiàn)代信號處理北京：清華大學(xué)出版社，200214 張子瑜，陳進等高斯核函

21、數(shù)時頻分布及在故障診斷中的應(yīng)用振動工程學(xué)報200115 種勁松，余穎雷達成像與信號分析時頻變換北京：海洋工業(yè)出版社，200816 Mihovilovicd，Bracewell RNAdaptive Chirplet Representation of Signals on Time-Frequency Plane.Electronics Letters，199117 Manns，Haykin SChirplets andWarblets ：Novel Time-Frequency MethodsElectronic Letters，192，28(2)：114-11618 Sleven Mann，Simon HaykinAdaptive Chirplet Transform：an Ad