算術(shù)-幾何平均值不等式

1、算術(shù)-幾何平均值不等式信息來源：維基百科在數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式 是一個常見而基本的 不等式，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)： 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間恒定的不等關(guān)系。設(shè) 肚譏逖為 個正實(shí)An數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)是xi + x2 Hxn，它們的幾何平均數(shù)是f-T V、v 稅八。算術(shù)-幾何平均值不等式表明，對任意的正實(shí)數(shù)An Gn等號成立 當(dāng)且僅當(dāng)：=：= = t樸算術(shù)-幾何平均值不等式僅適用于正實(shí)數(shù)，是 對數(shù)函數(shù)之凹性的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用。 算術(shù)-幾何平均值不等式經(jīng)常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子3.5+ 6

2、.2+8.4+ 5A4 =t在兀一的情況，設(shè)：；： mI 、，那么=5775, G4 = 3.5 x 6.2 x 84 x 5 = 5.4945.可見 A4 G4歷史上的證明歷史上，算術(shù)-幾何平均值不等式擁有眾多證明。記一卜.的情況很早就為人所知，但對于一般的，不等式并不容易證明。1729年，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林 最早給岀了一般情況的證明，用的是 調(diào)整法，然而這個證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，是錯誤的?？挛鞯淖C明1821年，法國數(shù)學(xué)家 柯西在他的著作分析教程中給岀了一個使用 逆向歸納法的證明：命題：對任意的.11個正實(shí)數(shù)匕 臥， An Gn當(dāng)氷一工時，二顯然成立。假設(shè)二J成立，那么P*成立。證明：對于冋個正實(shí)數(shù)

3、,一廠，心軟廠：,紀(jì)，衍+ +珀一 1假設(shè)成立，那么 -1成立。證明：對于n 1個正實(shí)數(shù) 擊.叮十總曲一:1.設(shè)打一1.,( I，+ * * * +1 + A冷一nf TD2 f G鳥A也就是說入11 n1b有A + n+l可以先找使得2廣譏，再結(jié)合第三條就可以得到命題P譏成立了歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有喬治克里斯托(George Chrystal )在其著作代數(shù)論(algebra )的第二卷中給岀的2由對稱性不妨設(shè)二;“7是： ：:十1中最大的，由于根據(jù)二項式定理，hh槎喑=(An+-r)n+1 A-+fn+lJA： = A：(Art+6) = A誼卄】 Gn+1ft I-丄/

4、& I- X 2時G讓卄iG詔=2Gn+1SCn+l = An + &=衍叼叭+i = G舄于是完成了從，到-1的證明 此外還有更簡潔的歸納法證明3：成立，于是:，設(shè)，則3二：卩，并且CTn+l十- 1)G卄1 仇欽rG儲在心I的情況下有不等式 AnGn 和r+1= n+l綜上可以得到結(jié)論： 對任意的自然數(shù)，命題丿 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數(shù)，命題匸。日都成立。因此對任意的所以：飛- I:基于琴生不等式的證明(111 X1 + 111 X2 + I- 111 Xn 11丿，因此算術(shù)-幾何平均不等式等價于:,Xx + X2-xn . In + In + - - + InIn

5、 。由于對數(shù)函數(shù)是一個凹函數(shù)，由琴生不等式 可知上式成立?；谂判虿坏仁降淖C明令1于是有.，再作代換_-:5，運(yùn)用排序不等式得到:3 跑Cl Cl C2仏于是得到（，即原不等式成立。此外還有基于 伯努利不等式 或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強(qiáng)命題的證明推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè) 且 /:- I,那么：丨-咋。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩陣形式算術(shù)-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數(shù)的平均數(shù)不等式。對于二維的矩陣，一樣有類似的不等式:翌

6、1.十一 T逛:.和，打”為正實(shí)數(shù)，并對于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣Gi + G寵+十Gnn也就是說：對-個縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均小于等于對/AiA2 Akii Gut* . ank0 個橫行取的個幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。極限形式也稱為積分形式：對任意在區(qū)間-.上可積的正值函數(shù)，都有f(x)dx expi ln/(T)dr iXi+x2 +1. 人 August in-Louis Cauchy,Cours da nalyse de r e cole Royale Polytech ni que, premier partie, An alyse alg和rique, Paris, 1821.

7、 p457.2. 人 George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II , Chapter XXIV.p46.3. 人 P. H. Dia nanda , A Simple Proof of the Arithmetic Mea n Geometric Mea n In equality ,The America n Mathematical Mo nthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., I960), pp. 1007*匡繼昌，常用不等式，山東科技出版社。*李勝宏，平均不等式與柯西不等式，華東師大出版社。 莫里斯克萊因(Morris Kline )，張理京 張錦炎江澤涵譯，古今數(shù)學(xué)