(第二講)第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)講述

1、第二講第二講 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述湯奧斐湯奧斐 20152015年年5 5月月教學六樓教學六樓210210參考資料 教材： 現(xiàn)代控制理論（第三版），劉豹主編，機械工業(yè)出版社 參考書： 現(xiàn)代控制理論基礎 （機械類），何鉞，西安交通大學 現(xiàn)代控制系統(tǒng)（英文版）（第12版）， Richard C. Dorf, Robert H. Bishop，電子工業(yè)出版社 現(xiàn)代控制工程（第5版）， Katsuhiko Ogata，電子工業(yè)出版社本章學習簡介 本章討論動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。主要介紹狀態(tài)空間分析中 狀態(tài)空間模型的建立、狀態(tài)空間模型的建立、 狀態(tài)空間模型的線性變換、狀態(tài)空間模型

2、的線性變換、 離散時間動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、離散時間動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、 基于基于Matlab的控制模型的建立與變換問題的程序的控制模型的建立與變換問題的程序設計與計算設計與計算(時間允許的話時間允許的話)目的：建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念,掌握狀態(tài)空間模型的建立方法,打下狀態(tài)空間分析的基礎。概述 控制理論主要是研究動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化和綜合等問題。 所謂動態(tài)系統(tǒng)所謂動態(tài)系統(tǒng)(又稱為動力學系統(tǒng)又稱為動力學系統(tǒng)),抽象來說是指抽象來說是指能儲存輸入信息能儲存輸入信息(或能量或能量)的系統(tǒng)的系統(tǒng)。 例如, 含有電感和電容等儲存電能量的元件的電網(wǎng)絡系統(tǒng), 含有彈簧和質(zhì)量

3、體等通過位移運動來儲存機械能量的剛體力學系統(tǒng)等。概述 這類系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學系統(tǒng))的區(qū)別在于: 靜態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于當前系統(tǒng)的瞬時輸入,而動態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于系統(tǒng)當前及過去的輸入信息的影響的疊加。 如,電阻的電流直接等于當前的電壓輸入與電阻值之比,而電容兩端的電壓則是通過電容的當前及過去的電流的積分值與電容值之比。概述 在進行動態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時,首先應建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型,它是我們進行系統(tǒng)分析、預報、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設計的基礎。 在系統(tǒng)和控制科學領域內(nèi)在系統(tǒng)和控制科學領域內(nèi),數(shù)學模型是指能描述動態(tài)系統(tǒng)的動數(shù)學模型是指能描述動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學表達式態(tài)特性的數(shù)學表達式,它包含它包含 數(shù)

4、值型的和邏輯型的, 線性的和非線性的, 時變的和定常的, 連續(xù)時間型的和離散時間型的, 集中參數(shù)的和分布參數(shù)的等等。 這種描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學表達式亦稱為系統(tǒng)的動態(tài)方程。概述 建立數(shù)學模型的主要方法有: 機理分析建模機理分析建模。 按照系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu),工作原理,并通過某些決定系統(tǒng)動態(tài)行為的物理定律、化學反應定律、社會和經(jīng)濟發(fā)展規(guī)律,以及 各種物料和能量的平衡關(guān)系等來建立系統(tǒng)模型。 實驗建模實驗建模(系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識)。 通過對系統(tǒng)的實驗或?qū)嶋H運行過程中取得能反映系統(tǒng)的動態(tài)行為的信息與數(shù)據(jù),用數(shù)學歸納處理的方法來建立系統(tǒng)模型。概述 值得指出的是,不同建模目的,采用不同數(shù)學工具和描述方式,以及對

5、模型精度的不同要求,都會導致不同的數(shù)學模型。 因此,一個實際的系統(tǒng)也可以用不同的數(shù)學模型去描述。 例如,嚴格說來,大多數(shù)實際系統(tǒng)的動力學模型都具有非線性特性,而且系統(tǒng)是以分布參數(shù)的形式存在。 若在建立數(shù)學模型中考慮這些復雜因素,必然將使所建立的模型中含有復雜的非線性微分方程或偏微分方程,這樣就給模型在系統(tǒng)分析、控制系統(tǒng)的設計和實現(xiàn)上帶來相當大的困難性。 在給定的容許誤差范圍內(nèi),如果將這些復雜因素用線性特性、集中參數(shù)的形式去近似描述系統(tǒng),將大大簡化系統(tǒng)模型的復雜程度,從而使所建立的模型能有效地運用到系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設計等方面。概述 當然過多考慮系統(tǒng)的各種復雜因素的簡化和近似,也必然影響數(shù)學模型

6、的精度,以及模型在分析、綜合和控制中的應用效果。 因此,一個合理的數(shù)學模型應是對其準確性和簡化程度作折中考慮,它是在忽略次要因素,在現(xiàn)實條件和可能下,在一定精度范圍內(nèi)的,盡可能抓住主要因素,并最終落腳于實際應用的目標、條件(工具)與環(huán)境的結(jié)果。 模型并不是越精確越好、越復雜越好模型并不是越精確越好、越復雜越好。概述 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的主要數(shù)學模型,它適用于SISO線性定常系統(tǒng),能便利地處理這一類系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析或頻率法的分析和設計。 但是但是,對于對于MIMO系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),這這種數(shù)學模型就無能為力。種數(shù)學模型就無能為力。

7、 傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線性傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線性動態(tài)特性動態(tài)特性,不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)變化特性。不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)變化特性。 因而是一種對系統(tǒng)的外部動態(tài)特性的描述因而是一種對系統(tǒng)的外部動態(tài)特性的描述,這就使這就使得它在實際應用中受到很大的限制。得它在實際應用中受到很大的限制。概述 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎上發(fā)展起來的。 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。 它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化它能反映系

8、統(tǒng)的全部獨立變量的變化,從而能同時從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài)確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài),而且還可以方便地而且還可以方便地處理初始條件。處理初始條件。 因而因而,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息息,是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。概述 狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等。 因而因而,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對各種不對各種不同的系統(tǒng)同的系統(tǒng),其數(shù)學表達形式簡單而且統(tǒng)一。其數(shù)學表達形式簡單而且統(tǒng)一。 更突出的優(yōu)點是更突出的優(yōu)點是

9、,它能夠方便地利用數(shù)字計它能夠方便地利用數(shù)字計算機進行運算和求解算機進行運算和求解,甚至直接用計算機進甚至直接用計算機進行實時控制行實時控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。從而顯示了它的極大優(yōu)越性。概述 本章需解決的問題與難點本章需解決的問題與難點: 基本概念: 狀態(tài)、狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型-狀態(tài)空間模型及其意義 如何建立狀態(tài)空間模型 由機理出發(fā)由機理出發(fā) 由微分方程出發(fā)由微分方程出發(fā) 由傳遞函數(shù)出發(fā)由傳遞函數(shù)出發(fā) 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā) 狀態(tài)空間變換 特征值、特征向量與特征空間特征值、特征向量與特征空間 狀態(tài)空間變換狀態(tài)空間變換 傳遞函數(shù)陣 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 離散時間動態(tài)系統(tǒng)的狀

10、態(tài)空間描述第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述主要內(nèi)容： 2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念狀態(tài)空間描述的基本概念 2.2 狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 2.3 狀態(tài)空間表達式的建立 2.4 動態(tài)方程與傳遞函數(shù)矩陣 2.5 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程及其解2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 動態(tài)(亦稱動力學)系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。 正確理解正確理解“狀態(tài)狀態(tài)”的定義與涵義的定義與涵義,對掌握狀態(tài)空間分析方法十對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。分重要。 “狀態(tài)狀態(tài)”的定義如下。的定義如下。 定義定義2-1 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述完全描述系統(tǒng)時間時間域動態(tài)行為域動態(tài)

11、行為的一個最小變量組最小變量組。 該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。 該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 “狀態(tài)”定義的三要素 完全描述完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。 動態(tài)時域行為動態(tài)時域行為。 最小變量組最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。 減少變量,描述不全。 增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。要掌握哦！2.1 狀

12、態(tài)空間描述的基本概念 若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以這若以這n個狀態(tài)變量為分量個狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個構(gòu)成一個n維變維變量向量量向量,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量則稱這個向量為狀態(tài)變量向量,簡稱簡稱為為狀態(tài)向量狀態(tài)向量,并可表示如下并可表示如下:1212.nnxxx xxxx 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x1,x2,xn u1 u2 ur y1 y2 ym 圖2-1 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部

13、動態(tài)特性行為的變量。 它可以是能直接測量或觀測的量它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測也可以是不能直接測量或觀測的量。量或觀測的量。 狀態(tài)矢量（狀態(tài)向量）狀態(tài)矢量（狀態(tài)向量） 如果如果n個狀態(tài)變量用個狀態(tài)變量用 表示，并把這些表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量狀態(tài)變量看作是矢量 的分量，則的分量，則 就稱為狀態(tài)就稱為狀態(tài)矢量，記作：矢量，記作： 12,.,nx txtxt tx tx 12,.,Tntx txtxtx2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量以狀態(tài)變量 為坐為坐標軸所構(gòu)成的標軸所構(gòu)成的n維空間，稱為狀維空間，稱為狀態(tài)空間態(tài)空間,記為Rn 。 狀態(tài)向量

14、的端點在狀態(tài)空間中的狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置位置,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。狀態(tài)。 隨著時間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。 狀態(tài)軌線如圖2-2所示。 12,.,nx txtxt x1 x2 x(t0) x(t1) x(t2) x(t) 圖2-2 二維空間的狀態(tài)軌線2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型是應用狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學模型,它是應用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎。 狀態(tài)空間模型由狀態(tài)空間模型由 描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的描述系統(tǒng)

15、的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程狀態(tài)方程和和 描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程輸出方程所組成。所組成。 下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進行一般的討論。2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 例例 某電網(wǎng)絡系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。 試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。 + R - L C + - uC iL ui 圖2-3 例2-3的RLC電網(wǎng)絡系統(tǒng)q 解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式

16、。 對本例,針對RLC網(wǎng)絡的回路電壓和節(jié)點電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程ddddLLCiCLiRiLuutuiCt2. 選擇狀態(tài)變量。選擇狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的個數(shù)應為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的個數(shù)。 對本例x1(t)=iL, x2(t)=uC3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組-狀態(tài)方程。 每個狀態(tài)變量對應一個一階微分方程,導數(shù)項的系數(shù)為1,非導數(shù)項列寫在方程的右邊。 對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程1122- /-1/1/1/00ixxR LLLuxxC寫成向量與矩陣形式為：212 10 xxxuC122111dd11ddxCtxuL

17、xLxLRtxi4. 列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。 對本例其中5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型ABCxxuyx 100/ 10/ 1/ 1-/-21CLBCLLRAuuxxCiyux 由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為ABCDxxuyxu其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為nn維的系統(tǒng)矩陣;B為nr維的輸入矩陣;C為mn維的輸出矩陣;D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空的主要狀態(tài)空間模型間模型,切記切記! 對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如

18、下討論: 狀態(tài)方程狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性, 其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。 輸出方程輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況, 它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。 輸入矩陣輸入矩陣B又稱為控制矩陣, 它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 輸出矩陣輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 直聯(lián)矩陣直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)。1. 非線性時變系統(tǒng)非線性時變系統(tǒng)( , , )( , , )ttxf x uyg x

19、u其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數(shù)f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t)2. 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)( , )( , )xf x uyg x u其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。 這些非線性函數(shù)中不顯含時間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時間變化而變化。3. 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)( )( )( )( )A tB tC tD txxuyxu其中各矩陣為時間t的函數(shù),隨時

20、間變化而變化。4. 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)q 為簡便,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為(A(t),B(t),C(t),D(t). 類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為(A,B,C,D). 幾種簡記符的意義:ABCDxxuyxu( , ,):ABA B CCxxuyx( ,):A BABxxu( ,):AA CC xxyx第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述主要內(nèi)容： 2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 2.2狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 2.3 狀態(tài)空間表達式的建立 2.4 動態(tài)方程與傳遞函數(shù)矩陣 2.5 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程及其解2.2狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖

21、 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時,它是一個強有力它是一個強有力的工具。的工具。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件: 積分器積分器, 加法器加法器, 比例器比例器,其表示符如圖2-4所示。圖2-4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件 x2 x1 x1+x2 k x(t) x kx ( )x t (a) 積分器 (b) 加法器 (c) 比例器 例 線性時變系統(tǒng)( )( )( )( )A tB tC tD txxuyxu的結(jié)構(gòu)圖如圖2-5所示。 y x B(

22、t) A(t) C(t) D(t) u + + + + x 圖2-5 多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實際的狀態(tài)空間模型,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。 圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。11112111121221222212221111211112122122221222xaaxbbuxaaxbbuyccxdduyccxddu如何繪制其結(jié)構(gòu)圖？圖2-6 雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述主要內(nèi)容： 2.1 狀態(tài)空間描述的基本概念 2.2 狀態(tài)空間表達

23、式的模擬結(jié)構(gòu)圖 2.3 狀態(tài)空間表達式的建立狀態(tài)空間表達式的建立 2.4 動態(tài)方程與傳遞函數(shù)矩陣 2.5 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程及其解2.3 狀態(tài)空間表達式的建立 三個途徑求得：由系統(tǒng)方框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個由系統(tǒng)方框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空間環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空間表達式；（課后自學）表達式；（課后自學）從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導；（自學為主）由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。從系統(tǒng)方框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個積分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 ，其輸入便是相

24、應的 ；然后由模擬圖直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。ix ix 111KT s u y x=y 11KT ( )x t u 11T 2.3 狀態(tài)空間表達式的建立 三個途徑求得：由系統(tǒng)方框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空間表達式；（課后自學）從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導；（自學為主）導；（自學為主）由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型 建立被控對象的數(shù)學模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎. 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所上一節(jié)討論了由電容和電感

25、兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為構(gòu)成的電網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機理及電網(wǎng)絡分析方法各電氣元件的物理機理及電網(wǎng)絡分析方法. 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學模型的方法這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學模型的方法稱為機理建模稱為機理建模. 機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、電壓、電流、力和熱量等力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關(guān)系在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關(guān)系,以及各以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關(guān)系

26、電流滿足的動態(tài)關(guān)系. 在實際工程系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞能量并能通過某種形式傳遞; 化工熱力學系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞化工熱力學系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞.l對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學變化的機理,由相應描述這些變化的物理和化學的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型. 建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的主要機理/依據(jù)有: 電網(wǎng)絡系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電

27、流平衡關(guān)系電網(wǎng)絡系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關(guān)電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關(guān)系系. 機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系體的力與位移、速度間的關(guān)系. 對旋轉(zhuǎn)運動對旋轉(zhuǎn)運動,則相應的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度則相應的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應化工反應工程系統(tǒng)中參加反應的物料的傳遞和平衡關(guān)系工程系統(tǒng)中參加反應的物料的傳遞和平衡關(guān)系. 經(jīng)濟系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。經(jīng)濟系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。

28、 建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導數(shù)系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成上述狀態(tài)變量的數(shù)學投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量）為某種標準形式的變量） 下面通過常見的 剛體力學系統(tǒng)剛體力學系統(tǒng)、 流體力學系統(tǒng)流體力學系統(tǒng)、 典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型1. 剛體動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述剛體動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動力學系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型. m kfuy圖2-7 彈簧-質(zhì)量體-阻尼器系統(tǒng) q 解 對許多實際系統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。 對本例的剛體力學系統(tǒng),一般先假設在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,