第六節(jié) 冪級數(shù)的應(yīng)用

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 一、近似計算一、近似計算 二、計算定積分二、計算定積分 三、求數(shù)項級數(shù)的和三、求數(shù)項級數(shù)的和 四、歐拉公式四、歐拉公式 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項數(shù)給定項數(shù),求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數(shù)確定項數(shù).關(guān)健關(guān)健: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數(shù)確定精度或項數(shù).上頁上頁下頁下頁返回

2、返回上頁上頁下頁下頁返回返回常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數(shù)若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;例例1 1.10,5 使使其其誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值計計算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和從而求出其和.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 n

3、nn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 2.,9sin! 3sin03并估計誤差并估計誤差的近似值的近似值計算計算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、計算定積分原

4、函數(shù)不能用初等例如函數(shù),ln1,sin,2xxxex., 難以計算其定積分函數(shù)表示解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)定積分的近似值定積分的近似值被積函數(shù)被積函數(shù)上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第四項第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數(shù)收斂的交錯級數(shù)上頁上頁

5、下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回三、求數(shù)項級數(shù)的和1.1.利用級數(shù)和的定義求和利用級數(shù)和的定義求和: :(1)直接法直接法;(2)拆項法拆項法;(3)遞推法遞推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假設(shè)假設(shè)221ar

6、ctan1arctankkksk ,1arctan kk上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2.2.阿貝爾法阿貝爾法( (構(gòu)造冪級數(shù)法構(gòu)造冪級數(shù)法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐項積分、逐項求導(dǎo)逐項積分、逐項求導(dǎo))例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 222

7、1)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例5 5.2!12的和的和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回四、歐拉公式復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù): )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)

8、為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,則則稱稱級級數(shù)數(shù) 1)(nnnivu收收斂斂, , 且且其其和和為為 ivu . .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念三個基本展開式三個基本展開式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)(x收斂若nnvuvuvu2222221212數(shù)絕對收斂則絕對收斂稱復(fù)數(shù)項級上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式由由

9、xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsin上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xjxejxsincos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系一種關(guān)系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosyjyeexjyx 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回五、小結(jié)、近似計算,求不可積類函數(shù)的定積分，、微分方程的冪級數(shù)的解法、微分方程

10、的冪級數(shù)的解法(第十二節(jié)介紹第十二節(jié)介紹)求數(shù)項級數(shù)的和，歐拉公式的證明；求數(shù)項級數(shù)的和，歐拉公式的證明；上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題思考題利用冪級數(shù)展開式利用冪級數(shù)展開式, 求極限求極限.sinarcsinlim30 xxxx 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題解答思考題解答,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 將上兩式代入將上兩式代入上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 54231321lim530 xxxxx 553

11、3! 533! 33341xx原式原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數(shù)將函數(shù)xexcos展開成展開成的冪級數(shù)的冪級數(shù)x .