普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷

1、2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)（全卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘）參考公式：棱錐的體積，其中為底面積，為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1（2012年江蘇省5分）已知集合，則 【答案】。【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算。【分析】由集合的并集意義得。2（2012年江蘇省5分）某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 名學(xué)生【答案】15?！究键c(diǎn)】分層抽樣?！窘馕觥糠謱映闃佑址Q分類抽樣或類型抽樣。將總體劃分為若干個(gè)同質(zhì)層，再在各層內(nèi)隨機(jī)抽樣或機(jī)

2、械抽樣，分層抽樣的特點(diǎn)是將科學(xué)分組法與抽樣法結(jié)合在一起，分組減小了各抽樣層變異性的影響，抽樣保證了所抽取的樣本具有足夠的代表性。因此，由知應(yīng)從高二年級(jí)抽取15名學(xué)生。3（2012年江蘇省5分）設(shè)，（i為虛數(shù)單位），則的值為 【答案】8。【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念?！痉治觥坑傻?，所以， 。4（2012年江蘇省5分）下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的k的值是 【答案】5?！究键c(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)k循環(huán)前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5 最終輸出結(jié)果k=5。5（2012年江蘇省5分）函

3、數(shù)的定義域?yàn)?【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的定義域，二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對(duì)數(shù)不等式?！窘馕觥扛鶕?jù)二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。6（2012年江蘇省5分）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 【答案】?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列，概率?！窘馕觥恳?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為1，3，9，-27，其中有5個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)1計(jì)6個(gè)數(shù)小于8， 從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，它小于8的概率是。7（2012年江蘇省5分）如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積。【解析】長方體底

4、面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。由8（2012年江蘇省5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2?！究键c(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻谩?，即，解得。9（2012年江蘇省5分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 【答案】。【考點(diǎn)】向量的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，和的余弦公式，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥坑?，得，由矩形的性質(zhì)，得。 ，。 記之間的夾角為，則。 又點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，。 。 本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解。10（2012年江蘇省5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其

5、中若，則的值為 【答案】。【考點(diǎn)】周期函數(shù)的性質(zhì)。【解析】是定義在上且周期為2的函數(shù)，即。 又， 。 聯(lián)立，解得，。11（2012年江蘇省5分）設(shè)為銳角，若，則的值為 【答案】。【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù)。【解析】為銳角，即，。 ，。 。 。12（2012年江蘇省5分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 【答案】。【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離【解析】圓c的方程可化為：，圓c的圓心為，半徑為1。由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)；存在，使得成立，即。即為點(diǎn)

6、到直線的距離，解得。的最大值是。13（2012年江蘇省5分）已知函數(shù)的值域?yàn)?，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為 【答案】9。【考點(diǎn)】函數(shù)的值域，不等式的解集?！窘馕觥坑芍涤?yàn)?，?dāng)時(shí)有，即， 。 解得，。不等式的解集為，解得。14（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 【答案】?！究键c(diǎn)】可行域?！窘馕觥織l件可化為：。 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。 作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為， 則，要使它最小，須。 的最小值在處，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。 當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)， ， 的最大值在處，為7。 的取值范圍為，即的取值范圍是。二、解答題：本

7、大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（2012年江蘇省14分）在中，已知（1）求證：；（2）若求a的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，?！究键c(diǎn)】平面微量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先將表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。 （2）由可求，由三角形三角關(guān)系，得到，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得a的值。16（2012年江蘇省14分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的

8、中點(diǎn)求證：（1）平面平面； （2）直線平面【答案】證明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），為的中點(diǎn)，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥浚?）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和證得。 （2）要證直線平面，只要證平面上的即可。17（2012年江蘇省14分）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)

9、（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知。 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在，使成立， 即關(guān)于的方程有正根。 由得。 此時(shí)，（不考慮另一根）。 當(dāng)不超過6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)。【考點(diǎn)】函數(shù)、方程和基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求炮的最大射程即求與軸的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解。 （2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解。18（2012年江蘇省16分

10、）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 是的極值點(diǎn)。 當(dāng)或時(shí)， 不是的極值點(diǎn)。 的極值點(diǎn)是2。（3）令，則。 先討論關(guān)于 的方程 根的情況：當(dāng)時(shí)，由（2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為i 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng)時(shí)， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單

11、調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一i ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根，滿足。現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)?！究键c(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。 （2）由（1）

12、得，求出，令，求解討論即可。 （3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)。19（2012年江蘇省16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)p（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點(diǎn)在橢圓上知，。 同理。 由得， 。

13、 是定值。【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式。【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。 （2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解。20（2012年江蘇省16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 ?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基

14、本性質(zhì)，基本不等式，反證法。【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。數(shù)學(xué)(附加題)21選做題本題包括a、b、c、d四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修4 - 1：幾何證明選講 （2012年江蘇省10分）如圖，是圓的直徑，為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)并延長至點(diǎn)，使，連結(jié)求證：【答案】證明：連接。 是圓的直徑，（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。 （垂直的定義）。 又，是線段的中垂線（線段的中垂線定義

15、）。 （線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。 （等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。 又為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)， （同弧所對(duì)圓周角相等）。 （等量代換）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。【解析】要證，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到。從而得證。 本題還可連接，利用三角形中位線來求證。b選修4 - 2：矩陣與變換 （2012年江蘇省10分）已知矩陣的逆矩陣，求矩陣的特征值 【答案】解：，。 ，。 矩陣的特征多項(xiàng)式為。 令，解

16、得矩陣的特征值?！究键c(diǎn)】矩陣的運(yùn)算，矩陣的特征值。【解析】由矩陣的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣，從而求出矩陣的特征值。c選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （2012年江蘇省10分）在極坐標(biāo)中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程【答案】解：圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，在中令，得。 圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）。 圓經(jīng)過點(diǎn)，圓的半徑為。 圓經(jīng)過極點(diǎn)。圓的極坐標(biāo)方程為?！究键c(diǎn)】直線和圓的極坐標(biāo)方程?！窘馕觥扛鶕?jù)圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)求出圓的半徑。從而得到圓的極坐標(biāo)方程。d選修4 - 5：不等式選講 （2012年江蘇省10分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：求證：【答案】

17、證明：， 由題設(shè)。 【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)?！窘馕觥扛鶕?jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證?！颈刈鲱}】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（2012年江蘇省10分）設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望【答案】解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱， 共有對(duì)相交棱。 。 （2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)， ，。 隨機(jī)變量的分布列是：01 其數(shù)學(xué)期望。 【考點(diǎn)】概率分布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)?！窘馕觥浚?）求出兩條棱相交時(shí)相交棱的對(duì)數(shù)，即可由概率公式求得概率。 （2）求出兩條棱平行且距離為的共有6對(duì)，即可求出，從而求出（兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面），因此得到隨機(jī)變量的分布列，求出其數(shù)學(xué)期望。23（201