冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計(jì)

1、題目冪法和反冪法求矩陣特征值具體內(nèi)容隨機(jī)產(chǎn)生一對(duì)稱矩陣，對(duì)不同的原點(diǎn)位移和初值(至少取3個(gè))分別使用冪法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。要求1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法；3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4.對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋說明；采用方法及結(jié)果說明對(duì)于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計(jì)和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。一問題的分析：求n階方陣a的特征值和特征向量，是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題等。對(duì)于n階矩

2、陣a，若存在數(shù)和n維向量x滿足 ax=x （1）則稱為矩陣a的特征值，x為相應(yīng)的特征向量。由高等代數(shù)知識(shí)可知，特征值是代數(shù)方程 |i-a|=+a+a+a=0 （2）的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齊次方程組 （i-a）x=0 （3）的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對(duì)于n很小時(shí)是可以的。但當(dāng)n稍大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計(jì)算帶有誤差，方程（2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程（2）與（3）的困難了。冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，特別是用于大型稀疏

3、矩陣。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三角陣的對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法設(shè)計(jì)及流程圖1、冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）計(jì)算v=au,m=max(v), u= v/ m（3）若| m= m|，則停止計(jì)算（m作為絕對(duì)值最大特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（2）2、反冪法算法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,1)）,置精度要求，置k=1. （2）對(duì)a作lu分解，即a=lu（3）解線性方程組 ly=u,uv=y（4）計(jì)算 m=max(v), u= v/ m（5）若|m=m|，則停止計(jì)算（1/m作為絕對(duì)值

4、最小特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）;否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（3）.冪法流程圖：開始輸入a；m,u,index=pow(a,1e-6)k=0;m1=0v=a*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1) 1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始輸入a；m ,u,index =pow_inv(a,1e-6)k=0;m1=0v=inva*uvmax,i=max(abs(v)m=v(i);u=v/mabs(m-m1)|則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v=au,m=max(v), u= v/ m （1）其中

5、max(v)表示向量v絕對(duì)值的最大分量。2、對(duì)于冪法的定理按式（1）計(jì)算出m和u滿足 m=, u=（二）反冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)反冪法是用來計(jì)算絕對(duì)值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對(duì)冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)a是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為|則按a的特征值絕對(duì)值的大小排序，有 |對(duì)a實(shí)行冪法，就可得a的絕對(duì)值最大的特征值1/和相應(yīng)的特征向量，即a的絕對(duì)值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。由于用a代替a作冪法計(jì)算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為 v= au,m=max(v), u= v/ m （2）2、對(duì)于反冪法的定理按式（2

6、）計(jì)算出的m和u滿足： m=, u=在式（2）中，需要用到a，這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組 a v= u （3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣a作lu分解，即 a=lu所以線性方程組（3）改為 ly=u,uv=y四、算法程序設(shè)計(jì)代碼冪法程序，在matlab中建立一個(gè)m文件并保存。%pow.mfunction m,u,index,k=pow(a,u,ep,it_max)if nargin4 it_max=1000;endif nargin3 ep=1e-5;endn=length

7、(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;while k=it_max v=t*u;vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)ep; index=1; break; end m=m+m0; m1=m; k=k+1;end在matlab輸入面板，輸入a=rand（4）；%產(chǎn)生一個(gè)4維隨機(jī)矩陣b=a+a；u=1 1 1 1;%設(shè)立初始向量m,u,index,k=pow(b，u,ep,it_max)%最多可省略2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在m文件中可以通過改變m0的值改變?cè)c(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序

8、設(shè)計(jì)代碼：在matlab中建立一個(gè)m文件并保存。%pow_inv.mfunctionm,u,index,k=pow_inv(a,u,ep,it_max)if nargin4 it_max=1000;endif nargin3 ep=1e-5;endn=length(a);index=0;k=0;m1=0;m0=0; i=eye(n);t=a-m0*i;invt=inv(t);while k=it_max v=invt*u; vmax,i=max(abs(v); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)b=rand(4);a=b+ba =0.2675 0.5776 0.6344 1

9、.3130 0.5776 1.1503 0.7641 0.1367 0.6344 0.7641 0.0257 0.4193 1.3130 0.1367 0.4193 1.2248 u=1 1 1 1; m,u,index,k=pow(a,u)m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k =49修改m0=1e-3m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0 %此時(shí)為冪法m = 2.6815u = 0.8576 0.6935 0.5623 1.0000ind

10、ex = 1k = 10修改u=1 2 3 4修改m0=1e-4m = 2.6813u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改m0=1e-3m = 2.6805u = 0.8576 0.6934 0.5622 1.0000index = 1k = 7修改m0=0m = 2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 1k = 9修改u=3 5 6 7修改m0=1e-4m = 2.6819u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7修改m0=1e-3m =

11、2.6814u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000index = 0k = 1001修改m0=0m = 2.6820u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000index = 1k = 7總結(jié)以上,冪法如下：um0muindexk1 1 1 10.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001490.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.00001101 2 3 40.00012.68130.8576 0.6934 0.

12、5623 1.0000190.0012.68050.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000193 5 6 70.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.0000170.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反冪法結(jié)果顯示：在m0為0時(shí)m0=0.001 u=1 1 1 1m0=0.1 u=1 1 1 1m0=0 u=1 3 5 7m0=0.1 u=1 3 5 7m0=0.5

13、u=1 3 5 7m0=0 u=2 3 4 5m0=0.1 u=2 3 4 5m0=0.7 u=2 3 4 5綜上，反冪法結(jié)果如下：um0muindexk1 1 1 10.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411600.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641161 3 5 70.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641202 3 4 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.2