第六章 定積分的應(yīng)用

1、高等數(shù)學03教學教案下載-樣章.doc第六章 定積分的應(yīng)用從定積分引入的背景來說，它就是人們在解決類似于“曲邊梯形的面積”、“變速運動質(zhì)點的運行路程”等問題中產(chǎn)生的。理論來源于實踐，回過來又用于指導實踐、服務(wù)于實踐。在這一章，我們將主要介紹定積分在幾何學、物理學中的應(yīng)用。第一節(jié) 定積分的微元法abx定積分概念的引入，體現(xiàn)了一種思想，它就是：在微觀意義下，沒有什么“曲、直”之分，曲頂?shù)膱D形可以看成是平頂?shù)模安痪鶆颉钡目梢钥闯墒恰熬鶆颉钡?。簡單地說，就是以“直”代“曲”，以“不變”代“變”；用這一思想來指導我們的實際應(yīng)用，許多計算公式可以比較便利地得出來。比如，求右圖所示圖形的面積時，在a, b

2、上任取一點x，此處任給一個“寬度”，那么這個微小的“矩形”的面積為此時我們把稱為“面積微元”。把這些微小的面積全部累加起來，就是整個圖形的面積了。這種累加通過什么來實現(xiàn)呢？當然就是通過積分，它就是。這些“面積微元”，幾乎就是細線段，當這些數(shù)都數(shù)不清的“細線段”一根一根地累加起來，就形成了整個圖形的面積。打一個不很嚴格的比方，這些“細線段”的厚度，就好比我們課本紙張的厚度，當很多很多的紙張疊在一起的時候，這個面積就出來了。不是嗎？頁數(shù)很多的書不是比較厚嗎？人們就是在這樣一個思想下解決問題的。我們把這樣的思想方法稱為“微元法”。再比如，求變速直線運動的質(zhì)點的運行路程的時候，我們在T0到T1的時間內(nèi)

3、，任取一個時間值t，再任給一個時間增量，那么在這個非常短暫的時間內(nèi)（內(nèi)）質(zhì)點作勻速運動，質(zhì)點的速度為v ( t )，其運行的路程當然就是就是“路程微元”，把它們?nèi)坷奂悠饋碇缶褪牵河眠@樣的思想方法，將來我們還可以得出“弧長微元”、“體積微元”、“質(zhì)量微元”和“功微元”等等。這是一種解決實際問題非常有效、可行的好方法。第二節(jié) 平面圖形的面積下面我們應(yīng)用微元法的思想，給出平面圖形面積的計算公式。xyabx一、 直角坐標系下求平面圖形的面積1. X 型平面圖形的面積若平面圖形由：x = a；x = b；y = g(x)和y = f(x)所圍，那么稱該圖形為X型的平面圖形。如右圖所示。為了求這個圖形

4、的面積S，在a, b上任取一點x，再任給x一個增量，于是面積微元為：所以，當然更一般地有：所以需要強調(diào)的是：面積微元 =(上邊界值 - 下邊界值)寬微元2. Y 型平面圖形若平面圖形由：x = f(y)；x = g(y)；y = c和y = d所圍，那么這個圖形稱為Y型平面圖形。如下圖說示。為求這個圖形的面積S，在c, d上任取一點y，再任給y一個增量，于是面積微元為cxdyy所以，當然更一般地有：所以需要強調(diào)的是：面積微元 =(右邊界值 - 左邊界值)高微元3. 應(yīng)用舉例y=sinxy=cosx例1 求；x = 0以及x =所圍平面圖形的面積（見右圖）。解 設(shè)所求面積為S，于是根據(jù)三角函數(shù)的

5、性質(zhì)，有：當或者時， ，當時，所以， 例2 求由曲線y = x3-2x以及y = x2所圍的平面圖形的面積。x2-1y 解 由得兩曲線的交點坐標是： (-1, 1)；(0, 0)；（2，4）因此，所求平面圖形的面積S為由于在開區(qū)間（-1； 0）范圍內(nèi)曲線y = x3-2x在y = x2之上；在開區(qū)間（0； 2）范圍內(nèi)曲線y = x3-2x在y = x2之下。從而，所求面積S為：ABCDEF4x y 例3 求由曲線x = y2以及直線y = x-2所圍的平面圖形的面積（如右圖）。解 這是一個Y型平面圖形。由解得它們的交點坐標是：(1, -1)；(4, 2)因此所求的平面圖形的面積為： 在平面圖形

6、的面積計算過程當中，對圖形進行適當?shù)姆指钣袝r是必要的。我們所求面積的圖形就好比一塊大蛋糕，必要的時候，我們就得拿起小刀，對這塊“蛋糕”進行分割，把它切割成符合我們要求的形狀，然后再求出每小塊“蛋糕”的面積，最后把它們加起來就是整塊“蛋糕”的面積了。就拿上面的這個例子來說。如果我們想用X型面積公式求面積的話，首先我們要用小刀過交點A沿垂直x軸方向畫上一“刀”，這樣圖形就分割成了兩個部分，分別為（AEFCDA）和（ADCBA）,這樣整個圖形就分割成了兩個X型平面圖形了。從這個意義上說，面積計算又有：更一般地，一個不規(guī)則的平面S1S2S3S4S6+66圖形，我們就是要想方設(shè)法拿起手中的“小刀”用垂直

7、坐標軸的“刀法”，把它分割成若干塊X型或Y型平面圖形，然后再利用面積的可加性，把各小塊的面積加起來。如右圖所示，簡單橫豎畫上幾“刀”就把整個圖形分割成了幾個X型和Y型平面圖形。這樣我們就可以進一步地計算了，并且可得所求的面積S為：S=S1+S2+S3+S4+S5+S643S1例4 求橢圓9x2+16y2=144面積。解 根據(jù)橢圓的對稱性所求橢圓的面積S等于：S =4S1 （見右圖）于是：令，x從0單調(diào)遞增變到4，相當于t從0單調(diào)遞增變到，于是：在計算平面圖形面積的過程中，經(jīng)常會遇到對稱圖形，在這種情況下，我們可以只求某一部分圖形的面積，再利用對稱性得出最終的結(jié)果。二、極坐標系下求平面圖形的面積

8、1. 面積公式現(xiàn)在我們來看一下如何在極坐標系下求平面圖形的面積。設(shè)一平面圖形由以及射線；所圍（如下圖OAEFBO），求該平面圖形的面積。OOAFBE首先在到之間，任意引一條射線，再任給一個增量，得到一個非常狹小的圖形（右圖）(OEFO)，這時的這個圖形可以近似地看成小“扇形”，這樣，這個微小的“扇形”面積為：把這些微小的面積累加起來，則整個面積為：2. 應(yīng)用舉例例5 求心臟線所圍平面圖形的面積。（a0）解 由極坐標系下求平面圖形的面積公式得其實根據(jù)圖形的對稱性有例6 求x2 + y2 = 4與x2 + y2 = 4x內(nèi)的公共部分的面積。這是一個Y型平面圖形，當然可以在直角坐標系下求解，這里我們

9、主要是介紹一下直角坐標系與極坐標系的轉(zhuǎn)換方法。在實際應(yīng)用中，這種轉(zhuǎn)換有時是必要的，有時雖然不是十分必要，但是可以大大簡化我們的計算過程。解 設(shè)所面積為S，由圖形的對稱性，我們只需求出上半部分的面積。作極坐標變換，令將變換關(guān)系代入x2 + y2 = 4與x2 + y2 = 4x，整理后得到極坐標系下兩曲線的方程形式為：； 由此解得交點坐標為：；這樣，我把圖形分割成了兩個部分，一是：，二是：，于是所求面積為：例7 求圓與雙扭線圍成的圖形的面積。解 由和解得交點坐標是：；和；，于是根據(jù)圖形的對稱性，我們只需要求第一象限的圖形的面積。所以所求的面積為：=2。三、參數(shù)方程形式下求平面圖形的面積如果平面圖

10、形的邊界方程是用參數(shù)方程給出的。在此情形下，怎樣求面積呢？設(shè)一平面圖形的邊界方程是： （）并且、可導，那么面積微元為dS = xdy =或者dS = ydx = 則所求面積為在具體應(yīng)用中必須保證的非負性。為確保這一點，可根據(jù)圖形的特性，分塊進行。例8 求橢圓 （）的面積。解 由橢圓的對稱性，可限制的范圍為：。由于面積微元為：dS =| y|dx|=|3|d|= 所以所求面積S為：第三節(jié) 空間幾何體體積本節(jié)介紹的幾何體體積求法，指的是非常特殊的幾何體，它就是：已知截面面積求體積的方法，至于其它幾種類型的體積求法，都可以歸結(jié)到這種方法之中，下面我們來逐一介紹。一、已知截面面積求體積設(shè)有一空間幾何體

11、（如下圖），已知垂直x軸的截面面積為A(x)，并且A(x)在a, b上連續(xù)，x = a和x = b的截面分別位于幾何體的兩端，求該幾何體體積。我們繼續(xù)用微元法導出公式。abx在a, b上任取一點x，并且任給x的一個增量，這樣就得到一個非常薄的薄片，這個小薄片我們可以近似地把它看成柱體，于是這個微小的柱體體積為：dV= A(x)= A(x)把這些小體積加起來，就是我們要求的體積。它就是：。例1 一半徑為a的圓柱體，用與底面交角為的平面去截該圓柱體，并且截面過底圓直徑，求截下部分的幾何體體積。xyABEO解 如下圖建立坐標系。在-a, a上任取一點x，那么在這一點垂直x軸的截面為一個直角三角形，其

12、面積為A(x)=ABBEEABx yF-55而；，所以：所以，所求的體積為=例2 已知一幾何體的底面是一以5為半徑的圓，如果用垂直底圓的一條直徑的截面去截該幾何體，截得的截面是等邊三角形，求該幾何體的體積。解 根據(jù)已知條件，我們過一直徑取為x軸，取y軸過底圓圓心并垂直底圓。在-5，5之間任取一點x，過該點截取垂直底面及x軸的截面，得一等邊三角形ABE，該三角形的底邊AB為AB=2高FE為FE=所以該三角形的面積為A(x)=所以所求幾何體體積為abx y x二、旋轉(zhuǎn)體體積1. 柱體法設(shè)一平面圖形以x=a；x=b；y=0以及y=f(x)為邊界，求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。其實這是一個求X型

13、平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)y x 一周的旋轉(zhuǎn)體體積問題。我們?nèi)匀挥谩拔⒃ā钡乃枷?，來解決這一問題。在a, b上任取一點x，再任給一個自變量的增量，得到一個細長條，該細長條我們可以把它看成矩形，該矩形的寬為，高為f(x)，那么這個小“矩形”繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體就是一個圓柱體，不過，這個圓柱體非常的薄，其厚度就是，圓柱體體積是：體積 = 底面積高于是小圓柱體的體積微元是：再把這些微小的圓柱體體積累加起來，也就是積分，所以所求的體積為1這樣旋轉(zhuǎn)出來的旋轉(zhuǎn)體如圖所示。例3 求由曲線y = x2和x = y2所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。解 設(shè)所求體積為V，由于上邊界為x = y2，下邊界為y

14、= x2，則所求的體積為：“以x=0；x=1；y=0和圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積”與“以x=0；x=1；y=0和圍成的cd平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積”之差。即當然，對于Y型平面圖形，同樣可以得出旋轉(zhuǎn)體體積公式。如右圖所示的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積為-aab例4 一圓半徑為a，該圓圓心到一直線的距離為b (ba)，求這個圓繞已知直線旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。解 如圖所示，以已知直線為x軸建立坐標系。這樣，圓的方程為：于是，上半圓為：，下半圓為因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為2. 柱殼法下面我們介紹一平面圖形按另一種方式旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積的求法。abx y x我們?nèi)砸灾w法中圖形為

15、例。設(shè)一平面圖形由x=a；x=b；y=0以及y=f(x)所圍，求該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。其實這是一個求X型平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積問題。我們依然用“微元法”來解決這一問題。在a, b上任取一點x，再任給一個自變量的增量，得到一個細長條，這個細長條我們依舊把它看成矩形，該矩形的寬為，高為f(x)，那么這個小“矩形”繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體就是一個圓柱殼，它就像一個小水管，這個水管很薄很薄，那么它的體積是多少呢？事實上，這個“小水管”的體積是：“以為底半徑，以f(x)為高的圓柱體體積”與“以為底半徑，以f(x)為高的圓柱體體積”之差。即略去高階無窮小部分，得4所以所求得幾何體體積

16、為例5 求4x = y2以及x = 4所圍的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積（如右圖）。解 由于拋物線上邊界與下邊界的方程分別為：；那么，在x處（）細長條旋出的微小體積為所以所求得體積為本題也可以用另一種方法求得：解法二 ：曲線4x=y2（）繞y軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積為以4為底圓半徑、8為高的圓柱體體積為因此，所求旋轉(zhuǎn)體體積為V=V2-V1=x例6 求由擺線一拱()以及x軸所圍的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。解 先求繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積在0到之間，任意取定一值x，再任意給定一個自變量的增量，所以，得到一個小長條，這個小長條繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積為dVx =所以繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體

17、體積為再求繞y軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積在0到之間，任意取定一值x，再任意給定一個自變量的增量，所以，得到一個小長條，這個小長條繞y軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積為dVy =所以繞y軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積為第四節(jié) 平面曲線的弧長一、直角坐標系下求弧長abxAB在直角坐標系下，設(shè)曲線L的方程為：y=f(x) ，并且y=f(x)在a, b上存在連續(xù)導數(shù)。那么在a, b內(nèi)任取一點，并任意截取一小弧段 這個小弧段我們近似地看成直線段，那么小弧段 的弧長微元為 且 即 所以，所求得弧長為例1 求懸鏈線由x = -a到x = a的曲線的弧長。解 由于，所以，所以所求曲線的弧長為例2 求對數(shù)曲線y = lnx由x = 1到x =

18、3一段的曲線的弧長。解 由于，所以，所以所求曲線的弧長為二、參數(shù)方程形式下求曲線弧長設(shè)曲線L由參數(shù)方程 （）給出，并且；在上存在連續(xù)導數(shù)，那么在任意一點得弧長微元是x2a所以所求得弧長為例3 求旋輪線一拱（）的弧長。解 在任一點的弧長微元是所以所求弧長為: 例4 求形星線（）的全長。解 由對稱性只需求第一象限的曲線的弧長。在任一，弧長微元為=所以所求的弧長為三、極坐標系下求曲線弧長設(shè)曲線L由極坐標方程（）給處，并且是關(guān)于的連續(xù)導數(shù)，那么在任意一點的參數(shù)方程形式是那么；于是弧長微元為所以所求弧長為例5 求對數(shù)螺線（m0）由到的弧長。解 在任一處，弧長微元為所以所求弧長為例6 求阿基米德螺旋線（a

19、0）這一段的弧長。解 在任一處，弧長微元為所以所求的曲線的弧長為第五節(jié) 定積分的物理應(yīng)用一、質(zhì)量由物理學我們知道，均勻分布的物體，其質(zhì)量是很好求得的。線狀物體的質(zhì)量=物體的弧長線密度面狀物體的質(zhì)量=物體的面積面密度幾何形體的質(zhì)量=物體的體積體密度并且，這些密度（線密度、面密度、體密度）值都是常量，因此只要知道物體的幾何量值（弧長、面積、體積），物體的質(zhì)量就可以很輕松地求出來。ABx在許多的實際應(yīng)用中，物體的質(zhì)量并不是均勻分布的，這樣我們同樣面臨矛盾轉(zhuǎn)換的問題，如何實現(xiàn)這種由非均勻到均勻的轉(zhuǎn)換呢？當然，我們?nèi)匀唤柚拔⒃ā彼枷?，當把物體分割得非常微小的時候，非均勻分布的物體就可以近似地看成均勻

20、分布的了。例如：（1）設(shè)有一物質(zhì)曲線L，已知該物質(zhì)曲線的曲線方程為 y = f (x) ，該曲線在任意點（x, f (x)）的線密度是，求該物質(zhì)曲線的質(zhì)量。在曲線上任取一點A(x, f (x)，在此任意截取一個小弧段 (即 )，該弧段非常的微小，小到這段物質(zhì)弧可以近似看成是均勻分布的，于是該小弧段的質(zhì)量是由上一節(jié)的計算我們知道，小弧段的弧長微元是所以，所求的物質(zhì)曲線的質(zhì)量是abx（2）設(shè)一物質(zhì)薄片在直角坐標系下所占的平面圖形是（如右圖）：x = a; x = b; x = f1(x)和y = f2 (x)所圍。已知該物質(zhì)薄片在任一橫坐標為x（a, b）處的面密度為，求該物質(zhì)薄片的質(zhì)量。在任一點

21、x（a, b）處任意截取一細長條，該細長條的面積微元為所以這個細長條的質(zhì)量微元為所以該物質(zhì)薄片的質(zhì)量為ab（3）設(shè)一物體介于垂直x軸的兩個平面x = a與x = b之間，已知截任一點a, b處垂直x軸的截面面積為A(x)，并且在這一點處的體密度為。求該物體的質(zhì)量。在任一點x（a, b）處任意截取一個非常薄的薄片，于是該薄片的體積微元為所以該薄片的質(zhì)量微元為所以該物體的質(zhì)量為我們在實際應(yīng)用中，利用“微元法”的思想，當把物體分割得非常微小的時候，就可以把它看成均勻分布的了，同時這個“微元”也可以把它看成規(guī)則幾何體，于是不難的出“小微元”的質(zhì)量。下面我們來看幾個例題。例1 設(shè)一物質(zhì)曲線（）上任一點的

22、線密度的值與該點到y(tǒng)軸的距離成正比，已知曲線在點（2，4）的線密度為4。求該物質(zhì)曲線的質(zhì)量。解 由已知可設(shè)物質(zhì)曲線的線密度為，已知，所以k =2。設(shè)所求的物質(zhì)曲線的質(zhì)量為m，則例2 設(shè)一物質(zhì)薄片在直角坐標系下所占的平面圖形以y = x2和x = y2為邊界，該簿片上任一點處的面密度為。求該物質(zhì)薄片的質(zhì)量。xy1x解 在0到1之間任取一值x，并任意截取一細長條（如圖所示），于是該細長條的質(zhì)量微元是所以所求物質(zhì)薄片的質(zhì)量是=例3 一半徑為的物質(zhì)球，已知球內(nèi)任意一點的密度與該點到球心的距離的平方成正比，球該物質(zhì)求的質(zhì)量。解 在0到之間任意取定一半徑值r，任意給定半徑值的一個增量，得到球殼的體積于是，

23、球殼的體積微元為由已知可設(shè)球的密度函數(shù)是所以球殼的質(zhì)量微元為所以球的質(zhì)量為二、 功由物理學我們知道，一恒力F作用在一物體上，該物體作直線運動，如果物體沿力的方向運行的距離是s，則力F對物體所作的功是W = Fs在實際應(yīng)用中，常常會遇到變力作功的問題，這樣的話，我們又要進行“變”與“恒”的矛盾轉(zhuǎn)換，于是，又要把整體問題微小化，在非常微小的范圍內(nèi)就可以近似地看成恒力做功問題了。設(shè)一物體在外力F的作用下，沿力的方向由點a移到點b，已知物體處于點處時，外力F的大小為F(x)，求外力F對該物體所作的功。ab在點a到點b之間任意取定一值，并且任給自變量一個增量，得到功微元為所以外力F對物體所做的功為30米

24、10米例4 一盛滿水的圓柱形水池，池高30米，底面直徑20米， 求將水從池口全部抽出所做的功。解 我們以圓柱形的軸心為坐標軸，水池的池口位置為坐標原點，在0到30之間任意取定一值x，再任給一個增量。由于水的比重是9.8kN/m3，那么這個圓柱形薄片移出池口所做得功為那么抽出池中的水所做的攻是（kJ）例5 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫的情況下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞由點a推到點b，計算在移動過程中，氣體壓力對活塞所做得功。ab解 如圖所示取坐標系。圓柱形左端底面位置為坐標原點。在a到b之間任意取定一值x，由物理學可知，在等溫情況下氣體的壓強p與體積V的乘積等于常

25、數(shù)k，即PV = k而氣體體積V = xS，因此所以作用在活塞上壓力是那么氣體對活塞所作的功是例6 彈簧在伸長過程中，力與伸長量成正比，如果用F表示力，x表示伸長量，那么F = kx。求彈簧由平衡位置拉伸S(cm)所消耗的功。解 由已知，在0到S之間任取一值x，此時作用在彈簧上的拉力為F = kx此時，拉力所做得功微元是：所以，拉伸彈簧所消耗的功為三、轉(zhuǎn)動慣量在工程應(yīng)用問題中，我們經(jīng)常會遇到計算轉(zhuǎn)動慣量的問題。例如，很多機器上都裝有飛輪，要計算飛輪的轉(zhuǎn)動動能，就要涉及飛輪的轉(zhuǎn)動慣量的計算問題。由物理學我們知道，如果一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，繞軸L轉(zhuǎn)動的角度為，則該質(zhì)點的線速度為，其中，r為轉(zhuǎn)動半徑（即質(zhì)點到軸L的距離），因此，該質(zhì)點的轉(zhuǎn)動動能為由上式我們可以看到，當角的一定的時候，轉(zhuǎn)動動能E與mr2成正比，質(zhì)量量越大，轉(zhuǎn)動動能就越大，轉(zhuǎn)動半徑越大，獲得的能量就越大，這就是我們用的大錘，為什么錘頭質(zhì)量大、錘把比較長的原因。mr2反映