柯西不等式的證明推廣及應(yīng)用

1、柯西不等式的證明、推廣及應(yīng)用1柯西不等式的證明對柯西不等式本身的證明涉及有關(guān)不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟練掌握此不 等式的證明對提髙我們解決一些不等式問題和證明其它不等式有很大幫助。本文所說的柯西不等式是指工也 0B2,得證。1-2向量法證明令 & = (cw) B = Qdb“ 、b) 則對向量 有 f _ =cos(7kl，由-一殲網(wǎng)dp = a+a2b2+- +anbn/=| /=|當(dāng)且僅當(dāng)cos()=l即平行時等號成立。13數(shù)學(xué)歸納法證明i)當(dāng)n=l時，有()2 =|2/?22不等式成立。當(dāng) n=2時，(a# + a2b2 )2 = djb： + 仇 + 2alba2b2(ct

2、2 +(1 +叨=%】+“2 苛 +4遲 +0因為,方2? +。2迓 2afya2b2,故有（砧 + a2b2）2 0（a G R）可得柯四不等式成立。以上給岀了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯四不等式的重要性。它的對稱和諧的結(jié) 構(gòu)、廣泛的應(yīng)用、簡潔明快的解題方法等特點深受人們的喜愛。所以，若將此泄理作進一步 剖析，歸納它的各類變形，將會有更多收獲。2柯西不等式的推廣2.1命題1若級數(shù)與f k收斂，則有不等式1$也土Xi】i-1/-) I1 l-i證明：&,土分收斂，05工4&1-1f-l 1=1 、筲茲2 丫左討.弓訕攵斂,且塑孕也S塑孕2半2/-1=17/=1/=1從而有不等式$心成立。

3、r-1 丿 J-12.2命題2【3】 、2若級數(shù)與f/才收斂，且對5已N有f 吶Sa：b；,則對定義在a,b.,】11/1i】 jl證明：因為函數(shù)/(Qg(x)在區(qū)間匕閏上連續(xù)，所以函數(shù)f(x)g(x f2(x g2(x)在“小上可積，將匕對區(qū)間n等分，取每個小區(qū)間的左端點為舟，由圧積分的肚義得：f f(x)djc = Jim 土冷, g(x)dx = lim g 冷 f f2 (x)dx = lim f2 G 曲 f g $ (xx = lini g2 ()心Z-lr-1令打=嚴(yán)(捫,葉=(捫,則與收斂，由柯四不等式得1-1j(f/G)gG)Ax嚴(yán)(為冷g備冷/=,丿 嚴(yán)人1=1丿從而有不等

4、式(塑步缺僥剛生爭2(加輒傘2(呂冷)( /G)g(訛) f /2(加 g2(訕。2.3赫爾德不等式設(shè) a】0,勺0( = 12“),p0,g0, 滿 足 丄+丄=1, 則p q1=1刃叮，等號成立的充分必要條件是q=W = 12小；兄0=1 證明：首先證明丄+丄=1時，對任何正數(shù)A及B,有丄Ap+-B(lAB.p qp q對凹函數(shù)/(x)=Inx,有:ln| 丄 Ap+-B(l 丄 In A + 丄 In Bq =n AB 03柯西不等式的應(yīng)用我們知道，柯西不等式在數(shù)學(xué)的各個分支里都有著極英廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域有 著不同的表現(xiàn)形式，對它的應(yīng)用可謂靈活多樣。柯西不等式在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)

5、中有著不 菲的價值，它的應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各領(lǐng)域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性。3.1在不等式的證明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接運用到其他不等式的證明中，運用柯四不等式證明其他不等式的關(guān) 鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并按照柯西不等式的形式進行探索。例1：設(shè)定義在R上的函數(shù)/=lg !2 +_+( - 1 .若oSGjiN、且11心 2,求證：/(2x)2/(x).分析：要證明/(2x)n2/(x),即證:|2x + 2“ + + ( _ 1尸 + an2x 小.V + 2 + + (n-1) + anxgN 2 lgnn只需證:l2r + 22x + + (/? - 1)2a + an2x ? l

6、v + 2* + +(“ -1/ + anxnn證明：nl2x +2 +(n 一 1 )2n2 2n + an2x= (l2 +12+- + 12 )l2x 4- 22x + - + (” -l)2v + an2x rl +2“ + +(n-i)v+亦討又因 0 a即尸 +肺,n21gll +2X + + (/?-l)v + anxn11證明：由柯西不等式得: +例2：已知,為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意的正整數(shù)n,有不等式4an 1+ + + 55因普+尹+斧（嗨+f 1 11 + + + 2Hi 1 r+11 1 + + + 1 2n丿】+丨1.4.a a25所以有1+丄+丄v 2 n

7、I11“11 1+ +12n1 + + + 2 H i +aa2所以有屮務(wù)+斧1+”+n / n A例3：設(shè)q no(j = i,2曲),則證明：工J工-a, n厶-1仏+ “2 +勺)證明：由柯西不等式，對于任意的】個實數(shù)有（襯+才+1?+卩+12)丄+吃+ )22?- (X + X. + + Xn )2即冊+%+ + N =n于是口-q 心-1）I”飛肓（-1）號=如弘+勺+%）。3.2利用柯西不等式求最值例已知實數(shù)abc,d滿足a+b+c+d=3, a1+ Ur +3c2 +6J2 =5試求a的最值解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2即 2b2+3c2+6cl2(b + c +

8、 ciy 由條件可得，5-a2(3-)2解得，1S&S2當(dāng)且僅當(dāng)血-辰一血時等號成立,代入b = c= d=時，6/max = 23 o21h = i c=_ J=_ 時，mln = 13.3求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛的應(yīng)用于求函數(shù)的極值或最值。事實上，由”1勺4- a2b2 + anb, +亦+ 4：加 + bj ),如將上式左邊當(dāng)作一個函數(shù)，而右邊值確定時，則可知5勺+6$+5乞的最大值與最小值分別是 +a2+b2 + + bn)與+Ct2 +b2 + + bn且取最大值與最小值的充要條件是 =學(xué)=4 2 bn反過來，如果把柯四不等式右邊的一個因式或兩個的積當(dāng)作函數(shù)，而苴他的因式已知

9、時, 則可求出此函數(shù)的最小值。例1：求函數(shù)y=4VT + j9-3x的最大值。解：函數(shù)y = 4VT + j9_3x的泄義域為：2,3y = 4A/r2 + V9-3x=45/x-2+V3-A/3xA/42-(V3)2當(dāng)且僅當(dāng)4 匸=V3匸即x = e 2,3時等號成立。所以 ymax = 例2：求函數(shù)y = asmx + bcosx的極值，英中a.b是常數(shù)。解：由柯四不等式：y2 =(dsinx + /?cosx)，(6/2 +Z?2)(sin2 x + cos2 x)=/ +b2故有 _ +歹 y yla1 +b2 o當(dāng)且僅當(dāng)蘭上=時,即x = arc tan+ (/: wZ)時， a b

10、b函數(shù) y = sin x + bcosx 有極小值 一la2 +b ,極大值 y/a2 +b2。例 3：已知 a.b,c,R 為常數(shù)，當(dāng) a-2 +y2 + z2 = R2 時，求函數(shù) f (x, y, Z)= cix + by + cz 的最大值與最小值。解：由柯四不等式：f2(x, y,z) = (ax + by + cz)2 (2 +b2 + c2)(x2 + y2 +?)=(/ +b2 +c2)R2故 |/(x, y, z y = bt,z = ct 代入 x2+y2+z2 =疋得(g2 +b2+c22 = R2則 t = ； 、 、即當(dāng)(X, y,z) = , , = (d,b,c

11、)時, 、lc廣 +b +cy/cr +Zr +rfyyz) = Ra2+h2+c2分別為所求的最大值與最小值。3.4求參數(shù)范圍例：已知對于滿足等式x2+3y2=3的任意實數(shù)，對(x,y)恒ax+y2,求實數(shù)a的取值解： . ax+ y =ax + =-4= y3y J/ +* J/ +3y2 = J3a，+1/.要使對(兀y)恒有|ax+ y 2|ov+兒 ,2 即V32 + l -lt/z-2+b2+c2 證明：由柯西不等式得看+ =+ 厲亠 + 何丄 S Jor+by + cz J丄+ 丄 + 丄ylbJcV a b c 記SABC的而積，則2曙二等y/x + yfy +4z 43S中a

12、, b, c為三角形的三邊長，S為三角形的而積。證明：由海倫一一秦九韶而積公式：S2=5(5-4-y-4其中S=“ + + .2于是16S2 = (a + b + cb + c-ac + a -ba + b-c)= 2(lrc2 +c2a2 +a2b2)-a4 -b4 -c4由柯西不等式：(b2c2 + c2a2 + crb4(/?2c2 +c2a2 +a2b2)o變形得：a4 +b4 +c4 + 2b2c2 4-2c2a2 +2a2b2 3(2b2c2 + 2c2a2 + 2ct2b2 -a4 -b4 -c4)即(,+滬+可 3x165故有“2 +b2 +c2 4y/3S,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c

13、時等號成立。例 3：在三角形 ABC 中，證明一 sin nA + srn nB + sin nC 2 2證明：由柯西不等式：(sin nA + sin nB + sin nCf = (1 - sin nA +1 sin ”3 +1 sin nC)2 (l2 +12 + l2)(sin2 nA + sin2 nB + shv nC)即(sin nA + sin nB + sin nC)2 3(sin2 nA + sin2 nB + sin2 nC) (1)因為2 sin nA + sin /?B + sin nC = 1-cos nA +l-cos2/?B2l-cos2nC2=2-cos2 M

14、-*(cos2“B + cos2”C)=2-cos2 nAconB + nCjcoriB - nC) 2-cos2 nA + |cos(7iB + nC)cos(nB-nC 2-cos2 nA + |coS(nB + nC)|故 sin ziA + sin2 z/B + sin2 7?C2-cos2 M + |cos(/z3 + C)|(2)又因為2 一 cos2 /?A + |cos(/?B + Cj = 2 + |cos /zA|(l - |cos 內(nèi))S 2 +|cos /z/l| + (1 - |cos /zA|)-,19因而 2-cos- nA + |c osnA 2 + - = -

15、(3)將(3)代入(2)得sin2 nA +sin2 nB + sin2 nC -(4)4將(4)代入(1)得(sinnA + sinnB + sinnC)2 (-8x + 6y-24 z)2(1)(x2 + y2 + z2)(- 8)2 + 6, + (- 24)2 = 2 x(64 + 36 + 576)= 39?4又(-8x+6y-24)2=392 即( + 尸 + 盤(_8+62+(_24)2=(_8% + 6丁-24“2 即（1）式取等號。由柯西不等式取等號的條件有 （2） -86-24（2）式與一8x + 6y-24z = 39聯(lián)立，則有x = - = ,z = 1326133.7

16、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在槪率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)-13- （兀-秋兀-刃J,并指出且I越接近于1,相關(guān)程度越大；I越接近于 r-1r-10,則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。記4=兀一工，勺=x_y,則廠= j =,由柯四不等式有|r| 1“nnv _ 卞 b當(dāng)im=i時，工鬧:此時，-j-=-L=k. k為常數(shù)。（.1/./-1齊一x q點（齊，x） j = l,2,均在直線y-y = k（x-x）.,當(dāng)|t1 時，Mab即乞（柿右質(zhì) * r-1/-Ir-1j-Ir-1r-1而f （也-ixi?;=- z（吶-幻勺fr-l/-I/-

17、i15/S j0= atb： - a ,/, P 為常數(shù)。= = k, k 為常ai兀一壬 a,數(shù)點（兀.,切均在直線y-亍=乩丫一壬）附近，所以|M越接近于1,相關(guān)程度越大；當(dāng)|M 0 時，仏0）不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使點（心片）都在直線y-y = -J） 附近。所以I越接近于0,則相關(guān)程度越小。4中學(xué)數(shù)學(xué)中柯西不等式的應(yīng)用技巧在上文柯西不等式的應(yīng)用中可以看出，柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的 不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用，利用它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān) 問題。下而我們特別以柯西不等式證明不等式為例，談?wù)劥祟悊栴}的解題技巧。4.1巧拆常數(shù)222 Q例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：二一+ 二+ 二一a + b b + c c + a a + h + c分析：因為a、b、c均為正 所以為證結(jié)論正確只需證2(G + b + dj 丄 + 丄+ ! 9 a + b b + c c + a J而2G + + c) = (d + )+(b + c)+(c + d)又9 = (1 + 1 + 1)24.2重新安排某些項得次序例：a b 為非負數(shù)，a+b=l x.x2 e /?+ 求證：(6/x)+ bx2