武漢理工大學(xué)控制工程第三章時(shí)域分析法

1、控制工程基礎(chǔ)時(shí)域分析法測控技術(shù)與儀器系 黃安O) 控制工程基礎(chǔ)時(shí)域分析方法的實(shí)質(zhì)直接解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式時(shí)間域的微分方程拉氏變換復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程復(fù)域解時(shí)域解拉氏反變換瞬態(tài)解自由解瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解強(qiáng)迫解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)域問題變換方法復(fù)域問題 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析就是在時(shí)間域內(nèi)，直接求解描述系統(tǒng)性能的運(yùn)動(dòng)微分方程或動(dòng)態(tài)方程，它們的解就是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，亦稱為時(shí)間響應(yīng)。 3.1 控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 控制工程主要研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?？刂乒こ讨饕芯肯到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 一一 零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)僅有激勵(lì)

2、而初始狀態(tài)為零的響應(yīng)僅有初始狀態(tài)而激勵(lì)為零時(shí)的響應(yīng) 若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵(lì)，則對于線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，其輸出總響應(yīng)必然是每個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)相應(yīng)輸出的疊加。 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等號右邊的第一項(xiàng)是系統(tǒng)的自然響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數(shù)G的極點(diǎn)在s平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，與激勵(lì)函數(shù)的形式無關(guān)，其中的每一項(xiàng)稱為自然響應(yīng)模式自然響應(yīng)模式；第二項(xiàng)是系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵(lì)u的極點(diǎn)在S平面的位置，即輸入信號的性質(zhì)。但是待定系數(shù)與G和u的零極點(diǎn)分布都有關(guān)系。)()(1susGy nkkmjjpszsKsG11)()()(viiullp

3、szssu11)()()(nkviiikkpscpscsy111)(tpnkviitpkikececsYLty11111)()(零狀態(tài)響應(yīng)為：設(shè)系統(tǒng)輸入為：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：若函數(shù)中不含有多重極點(diǎn)，可展成部分分式:取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應(yīng):零狀態(tài)響應(yīng)的模式由零狀態(tài)響應(yīng)的模式由系統(tǒng)系統(tǒng)G（s）和輸入）和輸入u（s）的極點(diǎn)共同確定。的極點(diǎn)共同確定。 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 若u(s)的極點(diǎn)實(shí)部大于或等于零，或者極點(diǎn)在原點(diǎn)，仍假定G(s)具有負(fù)實(shí)部的極點(diǎn)，在此情況下，自然響應(yīng)就是瞬態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 根據(jù)微分方程理論，系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)的函數(shù)結(jié)構(gòu)與微分方根據(jù)微分方程理論，系

4、統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)的函數(shù)結(jié)構(gòu)與微分方程的右函數(shù)（自變量）結(jié)構(gòu)相同，即與輸入信號結(jié)構(gòu)相同。程的右函數(shù)（自變量）結(jié)構(gòu)相同，即與輸入信號結(jié)構(gòu)相同。二二 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)還可以分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。隨著時(shí)間t的增大而衰減為零的部分為瞬態(tài)響應(yīng)，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)與G(s)和u(s)都有關(guān)系。 當(dāng)G(s)和u(s)的極點(diǎn)都在S域左半平面時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)等于自然響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之和，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于零。 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.2 控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的求解控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的求解ssR1)()2)(1(51235)()()(2sssssssRsGsY21)(321

5、sasasasY一一 基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解實(shí)質(zhì)：用拉普拉斯反變換求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程實(shí)質(zhì)：用拉普拉斯反變換求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，可按下列步驟進(jìn)行：(1) 設(shè)初始條件為零，對高階微分方程進(jìn)行拉氏變換； (2)求解關(guān)于s的代數(shù)方程，得輸出響應(yīng)的拉氏變換Y(s)；(3) 對y(s)進(jìn)行部分分式展開；(4) 取反變換后，得到y(tǒng)(t)。例例1 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸人為單位階躍函數(shù)，初始條件均為零。求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。235)(2sssG解：根據(jù)傳遞函數(shù)定義有：階躍輸入的拉氏變換為：部分分式展開：基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解基于傳遞函數(shù)的輸出響應(yīng)求解)(li

6、mipsipssYai5 . 2)2)(1(501sssa待定系數(shù)的求法：用 乘上式兩邊，取spi的極限。 )(ips 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)在指數(shù)上。第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是階躍函數(shù)；后兩項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)，因系統(tǒng)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，隨著時(shí)間的增加將逐漸衰減為零。極點(diǎn)距s平面虛軸越遠(yuǎn)衰減越快。系統(tǒng)極點(diǎn)決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的特性。系統(tǒng)極點(diǎn)決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的特性。 5)2(512sssa5 . 2) 1(523sssa25 . 2155 . 2)(ssssYtteety215 . 255 . 2)(取反變換后，得到y(tǒng)(t)系統(tǒng)的零點(diǎn)對響應(yīng)的影響系統(tǒng)的零點(diǎn)對響應(yīng)的影響 可見，盡管這兩個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)相同，但由于零點(diǎn)

7、不同，它們的響應(yīng)截然不同，系統(tǒng)1有超調(diào)。2324)(21ssssG2325 . 1)(22ssssGtttteetyeety22215 . 05 . 01)(321)(例2已知兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)分別為 系統(tǒng)的零點(diǎn)影響系系統(tǒng)的零點(diǎn)影響系統(tǒng)響應(yīng)曲線的形狀。統(tǒng)響應(yīng)曲線的形狀。結(jié)論結(jié)論2324)(21ssssG2325 . 1)(22ssssG3.3 控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析 控制系統(tǒng)必須具有良好的動(dòng)態(tài)特性，從而使系統(tǒng)能迅速跟蹤參考輸入信號，并且不產(chǎn)生劇烈的振蕩。因此，對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析，改善瞬態(tài)響應(yīng)是自動(dòng)控制的核心工作。 為了衡量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，同時(shí)能對不同系統(tǒng)的性能

8、進(jìn)行比較，通常采用單位階躍函數(shù)作為測試信號。相應(yīng)地，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。任何復(fù)雜系統(tǒng)都是由簡單的一階、二階系統(tǒng)組成任何復(fù)雜信號都是由簡單信號疊加而成的傅立葉級數(shù)線性穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)輸入的微分(積分)響應(yīng)的微分(積分)輸入脈沖函數(shù)階躍函數(shù)加速度函數(shù)速度函數(shù)積分積分微分一一 低階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)分析低階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)分析（一） 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng))()()(trtytyTT11)()()(TssRsYsGTs1舉例 特點(diǎn)：有一個(gè)蓄能元件， 含時(shí)間常數(shù)， 具有慣性，輸出滯后輸入。 )()()(),()()(tututuCRtxtxtxKCiooiootToetx11)(Tt 632. 01)(1e

9、txoTeTtxdtdttTo11)(01響應(yīng)分析：時(shí)間常數(shù)一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)因?yàn)閱挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換為1，所以TsTsGsXo11)()(記系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為g（t），那么TteTtg1)(TteTtg21)( 00-0.0180.0184T-0.1350.1352T- 0.3680.368T0t)(tg )(tgT1T1T1T121T21T21T21T一階系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)： 一階系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%所對應(yīng)的時(shí)間為系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間，為4T。 一階系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應(yīng)達(dá)到初始值的2%所對應(yīng)的時(shí)間為系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間，為4T。(二) 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

10、如圖 二階系統(tǒng)閉二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為環(huán)傳遞函數(shù)為 2222)()()(sssRsYsWnn注意典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的聯(lián)系與區(qū)別 二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()()(2nnsssHsG2. 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布)1(1222 , 1nnnnnjjs11100根據(jù)系統(tǒng)阻尼比的值，二階系統(tǒng)有：由圖可知1cos3. 二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線系統(tǒng)在s左半平面上有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 欠阻尼系統(tǒng))arccossin(11)(2tetydtn 欠阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是正弦衰減振蕩，衰減的快慢與系統(tǒng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部有關(guān)，距虛軸越遠(yuǎn)，衰減越快；振蕩頻率取決于極點(diǎn)的虛部。阻尼比影響振蕩的程度。 注意極點(diǎn)的負(fù)

11、實(shí)部在指數(shù)上，虛部是振蕩頻率。3. 二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線ttyncos1)()1 (1)(tetyntn211211211)(2222sseety無阻尼系統(tǒng)有一對共軛虛極點(diǎn)，響應(yīng)是等幅振蕩曲線臨界阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，兩個(gè)相同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)單調(diào)上升曲線單調(diào)上升但不會超過穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)是非振蕩的。兩個(gè)極點(diǎn)中離s平面原點(diǎn)較遠(yuǎn)的極點(diǎn)對應(yīng)的瞬態(tài)分量幅值較小，衰減較快。 隨著阻尼比的增大，其中一個(gè)極點(diǎn)將越來越遠(yuǎn)離s平面原點(diǎn)，其幅值越來越小，衰減越來越快；而另一個(gè)極點(diǎn)越來越靠近原點(diǎn)，其幅值越來越大，衰減越來越慢。當(dāng)阻尼比1時(shí)，式右邊最后一項(xiàng)可以忽略，二階系統(tǒng)可以用靠近原點(diǎn)的

12、那個(gè)極點(diǎn)所表示的一階系統(tǒng)來近似分析。 4. 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)分析響應(yīng)特性響應(yīng)特性與閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)位置有關(guān) 響應(yīng)的快慢與極點(diǎn)響應(yīng)的快慢與極點(diǎn)距離虛軸的遠(yuǎn)近有關(guān)距離虛軸的遠(yuǎn)近有關(guān) 阻尼比阻尼比和無阻尼自和無阻尼自然頻率然頻率n 確定了系統(tǒng)確定了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性 閉環(huán)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，時(shí)間趨向無窮大時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。 極點(diǎn)距離虛軸近，對應(yīng)的響應(yīng)模式衰減慢；距離越遠(yuǎn)衰減越快。阻尼比阻尼比確定了系統(tǒng)響應(yīng)振蕩特性響應(yīng)平穩(wěn)性。越小，響應(yīng)振蕩越劇烈；越大，響應(yīng)越緩慢呆滯。無阻尼自然頻率無阻尼自然頻率 n 確定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)過程時(shí)間的長短響應(yīng)快速性。n越小，即時(shí)間常數(shù)T越大，響應(yīng)就慢

13、，反之，n越大，即時(shí)間常數(shù)T越小，響應(yīng)就越快。響應(yīng)快速性與響應(yīng)平穩(wěn)性是相互矛盾的。 共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：衰減正弦振蕩曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：響應(yīng)是單調(diào)上升曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定。共軛虛極點(diǎn)共軛虛極點(diǎn)：等幅振蕩曲線，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 二 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) qjrknknkjmiisspszsKsRsC11221)2()()()()( 不失一般性，高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為： 當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時(shí)，輸出可表示為：rqn2其中，rknknkkknkknkkkqjjjssCsBpsAsAsC12221021)()( 通過拉氏反變換，輸出響應(yīng)可表示為：01sin1cos)(121210tt

14、eCteBeAAtcrkknktkrkknktkqjtpjnkknkkj閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 當(dāng)某極點(diǎn)（一對共軛極點(diǎn)）離虛軸很近，其余極點(diǎn)實(shí)部之模大于該極點(diǎn)（該對共軛極點(diǎn)）實(shí)部模的5倍以上時(shí)，則其他極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)持續(xù)時(shí)間很短，系統(tǒng)輸出響應(yīng)可以近似地視為該極點(diǎn)（該對共軛極點(diǎn)）所產(chǎn)生，其余極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)可以忽略不計(jì)。該極點(diǎn)（該對共軛極點(diǎn)）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。據(jù)此，假如閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)時(shí)，可以消去其他遠(yuǎn)極點(diǎn)而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的降階。須注意保持系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益不變。2.偶極子 假如某極點(diǎn) 與某零點(diǎn) 很近，那么由該極點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)的 將很小，因而該響應(yīng)分量在全部響應(yīng)中所占的“比重”也必然很小，可以忽略不計(jì)。

15、這對零點(diǎn)和極點(diǎn)稱為偶極子。高階系統(tǒng)降階時(shí)可以同時(shí)取消偶極子，但須注意保持系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益不變。kplzkA3. 高階系統(tǒng)降階舉例 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：)22)(10)(2() 1 . 2(048.19)()(2ssssssRsC四個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：10, 2, 11432, 1ppjp單個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)為：1 . 2z消去偶極子和遠(yuǎn)極點(diǎn)后得到：)22(2)22(11021 . 2048.19)()(22sssssRsC三 用Matlab求系統(tǒng)響應(yīng)步驟1：啟動(dòng)Matlab步驟2：設(shè)置工作文件路徑步驟3：打開文件編輯窗口，輸入、編輯文件并存盤。下圖示例中傳遞函數(shù)為：16416)()(2sssRsC步驟4：

16、運(yùn)行文件，顯示結(jié)果。例2)22)(10)(2() 1 . 2(048.19)()(2ssssssRsC降階前后階躍響應(yīng)對比。四四 控制系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)最大超調(diào)量:相對穩(wěn)定性,響應(yīng)平穩(wěn)性,阻尼程度時(shí)間指標(biāo)：響應(yīng)的快速性。注意：響應(yīng)的平穩(wěn)性與快速性是相互矛盾的。)(,),(,fMfttttppnsprd時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)概念與定義時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)概念與定義線性控制系統(tǒng)典型的單位階躍響應(yīng)曲線延遲時(shí)間延遲時(shí)間td：系統(tǒng)階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時(shí)間。上升時(shí)間上升時(shí)間tr：系統(tǒng)階躍響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)概念與定義時(shí)域動(dòng)態(tài)性能

17、指標(biāo)概念與定義 峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線第一次到達(dá)最大峰值所需時(shí)間。 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts：系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線進(jìn)入并保持在穩(wěn)態(tài)值%允許誤差范圍內(nèi)的最小時(shí)間。%取穩(wěn)態(tài)值的2%或5%，根據(jù)系統(tǒng)所完成的任務(wù)而定。調(diào)節(jié)時(shí)間又稱調(diào)整時(shí)間、過渡過程時(shí)間。%100)()()(cctcp 超調(diào)量超調(diào)量：又稱最大超調(diào)量，反映系統(tǒng)響應(yīng)振蕩的劇烈程度。 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時(shí)間ts內(nèi)，響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。 在上述指標(biāo)中，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量反映了對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能最重要的要求：響應(yīng)快速性和相對穩(wěn)定性。2.欠阻尼二階系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算欠阻尼二階系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)計(jì)算 只有二階系統(tǒng)可以推導(dǎo)出上述性能指標(biāo)的解析式，其他

18、系統(tǒng)只能從響應(yīng)曲線、仿真結(jié)果中獲取相應(yīng)指標(biāo)數(shù)值。 延遲時(shí)間、上升時(shí)間、峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都是系統(tǒng)無阻尼自然頻率和阻尼比的函數(shù)，當(dāng)阻尼比給定時(shí)，系統(tǒng)自然頻率越高，這些時(shí)間指標(biāo)越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。 超調(diào)量僅僅是阻尼比的函數(shù)。學(xué)生思考的學(xué)生思考的問題問題：綜合性能指標(biāo)；高階系統(tǒng)的降階處理；速度反饋的作用；傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影響；系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的微分（積分）。 自然響應(yīng)模式的概念)()()()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsRsYsGnnnnmmmm 若輸出函數(shù) 中不含有多重極點(diǎn)，可展成部分分式: 取拉氏反變換，得到零狀態(tài)響應(yīng): 零狀

19、態(tài)響應(yīng)的模式由系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的模式由系統(tǒng)G(s)和輸入和輸入R(s)的極點(diǎn)共同確定。的極點(diǎn)共同確定。式中，等號右邊的第一項(xiàng)和式是系統(tǒng)的自然響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于系統(tǒng)函數(shù)G(s)的極點(diǎn)在S平面的位置，體現(xiàn)了系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，與激勵(lì)函數(shù)的形式無關(guān)，其中的每一項(xiàng)稱為自然響應(yīng)模式自然響應(yīng)模式，亦稱為主振型、主模態(tài)主振型、主模態(tài)；第二項(xiàng)和式是系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，其變化規(guī)律只取決于輸入激勵(lì)R(s)的極點(diǎn)在S平面的位置。但是待定系數(shù)Ck（留數(shù)）與G(s）和R(s）的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布都有關(guān)系。)(sYnkviiikkpscpscsY11)(tpnkviitpkikececsYLty1111)()( 自然響應(yīng)模式的概

20、念單重實(shí)數(shù)極點(diǎn)p pte單重共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)j tetettsin,cosr重實(shí)數(shù)極點(diǎn)p ptrptptettee1,r重共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)j tettetttettetetetrtrttttsin,cos,sin,cos,sin,cos11 自然響應(yīng)模式的概念 當(dāng)G(s)的極點(diǎn)與R(s)的零點(diǎn)或G(s)的零點(diǎn)和R(s)的極點(diǎn)相消時(shí)，就會使G(s)的極點(diǎn)所對應(yīng)的自然響應(yīng)模式或R(s)的極點(diǎn)所對應(yīng)的強(qiáng)迫響應(yīng)模式消失。 若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸人激勵(lì)，一般它相當(dāng)于脈沖信號，可以證明零輸入響應(yīng)(自然響應(yīng))的模式由D(s)0的根確定，它的幅度和相位則與初始狀態(tài)有關(guān)。這里D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程

21、，其根稱為特征根或系統(tǒng)的固有頻率?？梢哉f零輸入響應(yīng)的模式由系統(tǒng)的固有頻率確定。 如果G(s)沒有零、極點(diǎn)相消，則特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的極點(diǎn)，則零輸入響應(yīng)的模式由G(s)的極點(diǎn)確定。但是，當(dāng)G(s)有零極點(diǎn)相消時(shí)，系統(tǒng)的某些固有頻率在G(s)的極點(diǎn)中將不再出現(xiàn)，這時(shí)零輸入響應(yīng)的模式不再由G(s)的極點(diǎn)確定，但G(s)的零極點(diǎn)是否相消，并不影響零狀態(tài)響應(yīng)的模式。這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)傳遞函數(shù)這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)一般只用于研究一般只用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。學(xué)習(xí)中應(yīng)思考的問題學(xué)習(xí)中應(yīng)思考的問題 綜合性能指標(biāo)高階系統(tǒng)的降階處理速度反饋的作用傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影

22、響系統(tǒng)對輸入信號的微分（積分）的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的微分（積分）。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)系統(tǒng)的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性即系統(tǒng)性能瞬態(tài)性能指標(biāo)響應(yīng)的快速性響應(yīng)的平穩(wěn)性無阻尼自然振動(dòng)頻率n系統(tǒng)阻尼比3.4 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一 穩(wěn)定性概念與物理意義系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定舉例系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定舉例 穩(wěn)定穩(wěn)定 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 c點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)穩(wěn)定，a、e點(diǎn)不穩(wěn)定點(diǎn)不穩(wěn)定 當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態(tài)被破壞，但它仍能恢復(fù)到原有平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，通常稱為穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)屬性。穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠工作的首要條件！一 穩(wěn)定性概念

23、與物理意義 系統(tǒng)處于偏離平衡位置的初始狀態(tài)，且不存在輸入作用，若在初始狀態(tài)的影響下，系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)影響下,系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨時(shí)間的推移發(fā)散(即偏離平衡位置來越遠(yuǎn))，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。小偏差穩(wěn)定穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性概念 系統(tǒng)的由初始狀態(tài)所引起的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零，即回到平衡位置的性質(zhì)。 系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用后，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)能恢復(fù)到原有平衡工作點(diǎn)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)：系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的。大范圍穩(wěn)定 穩(wěn)定性的物理意義 響應(yīng)是有界的；系統(tǒng)能夠消耗初始狀態(tài)提供給系統(tǒng)的能量。

24、系統(tǒng)的初始狀態(tài)就是系統(tǒng)的蓄能狀態(tài)，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性就是研究系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的情況。如果零輸入響應(yīng)逐漸衰減并趨向于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即系統(tǒng)能夠消耗系統(tǒng)初始蓄存的能量。或者說，系統(tǒng)的響應(yīng)是能量有界的。（BIBO穩(wěn)定）穩(wěn)定性的物理意義穩(wěn)定性的物理意義 穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性穩(wěn)定程度穩(wěn)定程度相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)逐漸衰減并趨于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是發(fā)散的，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。而如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)趨于某一恒定值或成為等幅振蕩，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定的邊緣，即處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 顯然，對于實(shí)際的系統(tǒng)，臨界穩(wěn)定狀態(tài)一般是不能工作的。而且即使沒有超出臨界穩(wěn)定狀態(tài)，只要與臨界穩(wěn)定

25、狀態(tài)接近到某一程度，系統(tǒng)在實(shí)際工作中就可能變成不穩(wěn)定。 因此，對一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，只知道系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定是不夠的，還要了解系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即系統(tǒng)必須具有穩(wěn)定性儲備。系統(tǒng)離開臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定的程度，稱為相對穩(wěn)定性。 二二 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件 系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負(fù)實(shí)部；反之，若特征根中只要有一個(gè)具有正實(shí)部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。 也可以表述為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的全部極點(diǎn)均位于s平面的左半開平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定,反之，只要有一個(gè)極點(diǎn)位于s平面的右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 注意：注意：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程右端各項(xiàng)系數(shù)，對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響，這相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞

26、函數(shù)的各零點(diǎn)對穩(wěn)定性沒有影響，因?yàn)檫@些系數(shù)僅反映系統(tǒng)與外界作用的關(guān)系，與系統(tǒng)穩(wěn)定與否無關(guān)。線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根，即取決于系統(tǒng)本身的固有特性。三三 穩(wěn)定性時(shí)域判據(jù)穩(wěn)定性時(shí)域判據(jù)Routh判據(jù)判據(jù) 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此，要判別某系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要解得系統(tǒng)特征根即可。但實(shí)際控制系統(tǒng)的特征方程往往是高階的，求解困難。如果不去直接求解特征方程，就能判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么在工程上就有現(xiàn)實(shí)意義。為此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，其中最重要的是(1884年)勞斯(Routh)判據(jù)。勞斯判據(jù)是基于方程式的根和系數(shù)的關(guān)系建立起來的，它是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。 1

27、. 應(yīng)用勞斯判據(jù)的步驟下面以六階系統(tǒng)為例說明勞斯判據(jù)的用法。步驟判據(jù)列寫閉環(huán)系統(tǒng)特征方程（特征多項(xiàng)式）列出勞斯表考查勞斯表第一列元素的符號，進(jìn)行判別。符號相同則系統(tǒng)穩(wěn)定，符號不同則系統(tǒng)不穩(wěn)定；符號改變的次數(shù)是正實(shí)部根的數(shù)目。2. 勞斯判據(jù)應(yīng)用舉例01012102113502460123456000aeadccabbaaaaaaasssssss列出勞斯表，勞斯表將有n+1行；此例有7行。 已知六階系統(tǒng)的特征方程為0012233445566asaasasasasa535461aaaaab515262aaaaab121351bbbaac101152babaac121211cccbbd101211da

28、dcce勞斯表的排列與計(jì)算 將系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)排列成最高的兩行，可以順著排，亦可倒著排。注意補(bǔ)零。 0531642056aaaaaaass 用56ss兩行按下列方法計(jì)算4s行： 535461aaaaab 515262aaaaab 用45ss兩行按下列方法計(jì)算3s行： 121351bbbaac 101152babaac 以下類推。 勞斯判據(jù)的用法 判據(jù)：當(dāng)勞斯表中第一列的全部元素具有相同的符號時(shí)，系統(tǒng)的特征根全部位于s平面的左半部，而其符號改變次數(shù)恰恰就是具有正實(shí)部或位于s平面右半部的根的個(gè)數(shù)。 4. 勞斯判據(jù)的其它應(yīng)用勞斯判據(jù)的其它應(yīng)用計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的某個(gè)參數(shù)的取值范圍。估計(jì)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定

29、性。確定自激震蕩頻率。 5. 兩種特殊情況的處理兩種特殊情況的處理第一列出現(xiàn)零元素用任意小的正數(shù)替代； 出現(xiàn)全行元素都為零用該行構(gòu)造輔助方程。 舉例1 Consider the stability of a system having the characteristic equation of 0103 . 25175 .41423sss0103.205.38103.25.415171440123ssss The characteristic equation has two roots with positive real parts. Hence, the system is unsta

30、ble. The complete Routh array is 舉例2If a feedback control system has open loop transfer function as2) 1(/ssK Find out the value of K to enable the closed-loop system to be stable.closed-loop characteristic equation 0223KsssRouths array005.012110123KKKssss So that the value of K is as 20 K舉例30233ss F

31、orm the Routh array, replace the zero by an epsilon, , and complete the array.020232)(0310123ssss If is chosen positive, the system is unstable and has two poles in the right half-plane. If is chosen negative , the result is exactly the same as that for a positive choice for . Thus, the system is un

32、stable .舉例4 Determine the number of right half-plane poles in the closed-loop transfer function, if its characteristic equation is0161620128223456ssssss We stop at the fourth row, since the entire row consists of zeros. We have to use the following procedure.00000161220161221620813456ssss Return to

33、the row immediately above the row of zeros and form an auxiliary polynomial, using the entries in that row as coefficients.16122)(24sssPa舉例4(續(xù)） Differentiate the polynomial with respect to s and obtainssssPa248d)(d3Use the coefficients of the equation to replace the row of zeros. Thus the entire Rou

34、th array becomes:1603/8016602480161220161221620810123456sssssss All elements in the 1st column are positive, hence the system is stable.舉例4(續(xù)） When a row of zeros occurs, there exists an even or odd polynomial divisor of the original polynomial. The coefficients of this divisor polynomial are given

35、by the previous nonzore row of the array. For this Example polynomial, the divisor is 1612224ss Dividing the original polynomial by this even divisor gives) 121)(16122(161620128222423456ssssssssss舉例4(續(xù)） Evenly dividing implys that the divisor polynomial is a factor of the original polynomial. Hence

36、the roots of the divisor polynomial also are the roots of the original polynomial. 01612224ssThe roots are: 2,2jj Which indicates that the divisor represents two conjugate pairs of imaginary axis roots, and acturely the system is critically stable. By the mean, the oscillation frequencies can be det

37、ermined.3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 控制系統(tǒng)的控制精度用穩(wěn)態(tài)誤差來表征，穩(wěn)態(tài)誤差越小控制精度越高。穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的誤差分為原理性誤差和結(jié)構(gòu)性誤差：與系統(tǒng)型號、輸入信號性質(zhì)有關(guān)的誤差稱為原理性誤差，而因制造、間隙、死區(qū)等造成的誤差是結(jié)構(gòu)性誤差。這里僅這里僅僅討論原理性誤差。僅討論原理性誤差。 誤差與偏差的定義、關(guān)系決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法一一 誤差與偏差的概念與關(guān)系誤差與偏差的概念與關(guān)系偏差：在輸入端定義的誤差，它是輸入信號與反饋信號之差，亦稱偏差。既可計(jì)算，也可量測。誤差：在輸出端定義的誤差，它是期望輸出與實(shí)際輸出之差。只能計(jì)算，不能量測。當(dāng)偏差為

38、零時(shí)，系統(tǒng)的輸出定義為系統(tǒng)的期望輸出誤差與偏差的關(guān)系)()(1)(sEsHsE)()()(sCsCsEd)()()(11)()()()(sRsHsGsCsHsRsE)()()(0sCsHsRd)()(1)(sRsHsCdG(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)+1/H(s)E(s)Cd(s)+二二 瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 二二 瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 誤差本身是時(shí)間函數(shù)，包含瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分： )()()(tetetessts 由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定， 故當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)， 瞬態(tài)誤差必然趨于零。因而，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量。 穩(wěn)態(tài)誤差

39、的過程值和終值穩(wěn)態(tài)誤差的過程值和終值 )()()(ssdsssetete 穩(wěn)態(tài)誤差的過程值也稱為動(dòng)態(tài)誤差。可以用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)來求。穩(wěn)態(tài)誤差的終值也稱為終值誤差。 一般而言，穩(wěn)態(tài)誤差指終值誤差，除非指明要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的過程值動(dòng)態(tài)誤差。 三三 主令輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算主令輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 穩(wěn)態(tài)誤差的終值與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差的終值與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(即系即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)統(tǒng)結(jié)構(gòu))和輸入信號的性質(zhì)有關(guān)！和輸入信號的性質(zhì)有關(guān)！)()()(11lim)(lim00sRsHsGsssEessss用終值定理計(jì)算用終值定理計(jì)算結(jié)論結(jié)論設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分別求出系統(tǒng)在單位階躍、速度、加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。單位階躍輸入時(shí)：單位速度輸入時(shí)：單位加速度輸入時(shí)：穩(wěn)態(tài)誤差為。結(jié)論：0型系統(tǒng)不能跟蹤速度和加速度信號。）（104. 0) 15 . 0(20)()(sssHsG21120111)()(11lim0ssHsGsesssssHsGssHsGsessss1)()(11lim1)()(11lim020用靜態(tài)誤差系數(shù)計(jì)算用靜態(tài)誤差系數(shù)計(jì)算階躍信號輸入 引入位置誤差系數(shù) 0型系統(tǒng) kp=K0，型以上系統(tǒng)kp= 引入速度誤差系數(shù) 0型系統(tǒng) kv=，型系統(tǒng)kv=K0，型系