山西省忻州一中等四校高三第四次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、試題類型：a2015屆高三年級第四次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）命題：忻州一中 臨汾一中 康杰中學(xué) 長治二中 （滿分150分，考試時(shí)間120分）第卷（選擇題 60分）一、選擇題(51260分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)用2b鉛筆涂黑答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號)1. 設(shè)全集集合，則a . b . c . d. 2. 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，若(為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)的值為 a . b . 3 c . d. 3. 已知雙曲線過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為 a. b. c. d.4. 執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是a.1 b.2 c.3 d.45. 把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位

2、，得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于對稱，則a. b. c. d. 6. 從4名男生和6名女生中各選2人參加跳繩比賽，則男生甲和女生乙至少有一個(gè)被選中的概率是a. b. c. d. 7. 在三棱錐中，是邊長為的正三角形，面,則三棱錐外接球的表面積為a. b. c. d. 8. 已知，則有 a. b. c. d. 9. 某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱長中 長度最長的是a. b. c. d. 10. 設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)， 設(shè)直線與橢圓交于m、n兩點(diǎn)，若=16，則橢圓的方程為a. b. c. d. 11. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)在上的最大值為,且的前 項(xiàng)和為，則=a. b

3、. c. d. 12. 設(shè)函數(shù)，若存在,使得成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則正實(shí)數(shù)的取值范圍是a . b . c . d. 第卷（非選擇題 90分）二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)13. 的展開式中的系數(shù)是 .14. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 . 15. 已知m為線段bc上一點(diǎn)，且, 則的最大值為 .16. 在中，角的對邊分別為， 則的最小值為 .三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上) 17.（本題滿分12分） 已知等差數(shù)列的公差，；等比數(shù)列滿足：， （1）求數(shù)

4、列和的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求.18.（本題滿分12分）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，且分別是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值. 19.（本題滿分12分）某工廠生產(chǎn)某種零件，每天生產(chǎn)成本為1000元，此零件每天的批發(fā)價(jià)和產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響.其具體情況如下表：日產(chǎn)量400500批發(fā)價(jià)810概 率0.40.6概 率0.50.5（1）設(shè)隨機(jī)變量x表示生產(chǎn)這種零件的日利潤，求x的分布列及期望； （2）若該廠連續(xù)3天按此情況生產(chǎn)和銷售，設(shè)隨機(jī)變量y表示這3天中利潤不少于3000的天數(shù)，求y的數(shù)學(xué)期望和方差，并求至少有2天利潤不少于3000的概率. (

5、注：以上計(jì)算所得概率值用小數(shù)表示)20. (本題滿分12分)已知拋物線 ，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線c于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓在軸上截得的弦長為.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線c于f、g兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)d，設(shè)試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.21. (本題滿分12分)已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若對任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.請考生在（22）.（23）.（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分作答時(shí)用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右側(cè)的方框涂黑22. (本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講

6、如圖，已知pa與圓o相切于點(diǎn)a，經(jīng)過點(diǎn)o的割線pbc交圓o于點(diǎn)bc，的平分線分別交abac于點(diǎn)de（1）證明：.（2）若ac=ap,求的值. 23. (本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線c的參數(shù)方程為，直線的參數(shù)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線c的直角坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若為曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)p到直線的距離d的最大值和最小值.24. (本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知關(guān)于的不等式的解集是（1）求的值；（2）若均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.2015屆高三年級第四次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案（理）a卷一、選

7、擇題 1-5: ddcac 6-10: cbadb 11-12: ba二、填空題:13-20 149 15 1617解：（1）公差， 2分 4分 設(shè)等比數(shù)列的公比為 即 即 6分（2）由 得： 即 8分= 10分 = = 12分18.（1）連結(jié)，是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，.又三棱柱為直三棱柱，面面，面，. 2分設(shè)，則.，. 4分又， 平面. 6分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，.8分由（）知，平面，可取平面的法向量.設(shè)平面的法向量為，由可取. 10分設(shè)銳二面角的大小為，則.所求銳二面角的余弦值為. 12分19解：（1）50010-1000=4000,40010-100

8、0=5008-1000=3000，4008-1000=2200隨機(jī)變量x可以取：4000,3000.，2200 1分 p(x=4000)=0.60.5=0.3 p(x=2200)=0.40.5=0.2 p(x=3000)=0.60.5+0.40.5=0.5 4分x400030002200p0.30.50.2 x的分布列為: ex=40000.3+30000.5+22000.2=3140 6分(2) 由（1）知：該廠生產(chǎn)1天利潤不少于3000的概率為：p=0.8 8分ey=3=2.4 dy=30.80.2=0.48 10分至少有2天利潤不少于3000的概率為： 12分20. 解：（1）由已知:直

9、線的方程為，代入得： 設(shè)， 則 且線段的中點(diǎn)為， 3分由已知，解得或（舍去）所以拋物線的方程為： 6分（2） 設(shè)直線：y=kx+2(k0)，則，與聯(lián)立得 由得,設(shè)則 8分所以 10分則將代入上式得即為定值 12分21.解：（1）由已知，則 1分所以當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 2分所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值為. 4分（2）由已知.當(dāng)時(shí)， ，于是和時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；又因?yàn)?，要對任意?shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，只需要，即，解得，因?yàn)樗?7分當(dāng)時(shí)，在上，恒有，且僅有，故在上單調(diào)遞減.顯然成立. 8分當(dāng)時(shí)， ，于是和時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；要對任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小

10、值為，只需要，即 10分令，所以在上單調(diào)遞減，所以此時(shí)綜上所述： 12分22解：(1) pa是切線，ab是弦， bap=c， 2分又 apd=cpe, bap+apd=c+cpe, ade=bap+apd, aed=c+cpe, ade=aed 5分(2)由(1)知bap=c, 又 apc=bpa, apcbpa, , 7分 ac=ap, apc=c=bap,由三角形內(nèi)角和定理可知，apc+c+cap=180, bc是圓o的直徑， bac=90, apc+c+bap=180-90=90, c=apc=bap=90=30 在rtabc中，=, = 10分23解：(1)曲線c的直角坐標(biāo)方程為 2分 直線的直角坐標(biāo)方程為4x-3y+12=0則其極坐標(biāo)方程為 5分(2)則所以最大值為，最小值為。 10分