權(quán)向量最簡(jiǎn)單的求法

1、層次分析方法李萬(wàn)祥主講層次分析法是一種多準(zhǔn)則思維的方法，它將定性分析和定雖分析相結(jié)合，把人們的思維過(guò)程層次化和數(shù) 雖化，在目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下尤為實(shí)用。自70年代美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家Saaty T丄提出以來(lái)，此方法在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)展很快。過(guò)去的物理是建立在純化的實(shí)驗(yàn)和理想化的模型的基礎(chǔ)上，去分析和探索物質(zhì)世界最基木的規(guī)律。現(xiàn) 代物理則開(kāi)始呈現(xiàn)出一種研究復(fù)雜性現(xiàn)象的趨勢(shì)，除了把物理知識(shí)應(yīng)用到其它更復(fù)雜的科學(xué)領(lǐng)域，建立象雖 子化學(xué)、生物物理、雖子生物學(xué)等交叉學(xué)科之外，在物理領(lǐng)域的木身也一反過(guò)去研究理想模型的慣例，開(kāi) 始向非理想、不規(guī)則的復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)軍。非晶態(tài)、無(wú)序、混沌、多體等問(wèn)題止在吸引許多物

2、理學(xué)家的注總。對(duì)這些復(fù)雜問(wèn)題，傳統(tǒng)的純定雖:分析方法越來(lái)越變得軟弱無(wú)力，需要借助于定性分析的方法來(lái)整體考慮。因此，層次分析方法也許會(huì)給我們 提供幫助。問(wèn)題1某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)止在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤(rùn)。在決策時(shí)需要考慮的 因素主要有(1) 調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性：(2) 提髙職工文化水平：(3) 改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請(qǐng)你對(duì)這些因素的重要性進(jìn)行排序，以供廠領(lǐng)導(dǎo)作參考。分析和試探求解這個(gè)問(wèn)題涉及到多個(gè)因素的綜合比較。市于不存在定雖的指標(biāo)，單憑個(gè)人的主觀判斷雖然可以比較兩 個(gè)因素的相對(duì)優(yōu)劣，但往往很難給出一個(gè)比較客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們能不能把 復(fù)雜

3、的多因素綜合比較問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的兩因素相對(duì)比較問(wèn)題呢？運(yùn)籌學(xué)家想出了一個(gè)好辦法：首先找出所 有兩兩比較的結(jié)果，并且把它們定雖化：然后再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法從所有兩兩相對(duì)比牧的結(jié)果之中求出 多因素綜合比較的結(jié)果。具體操作過(guò)程如下：4)進(jìn)行兩兩相對(duì)比較，并把比較的結(jié)果定雖化。首先我們把各個(gè)因素標(biāo)記為Bi：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；B2：提高職工文化水平：Ba：改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根據(jù)心理學(xué)的研究，在進(jìn)行定性的成對(duì)比較時(shí)，人們頭腦中通常有5種明 顯的等級(jí)：相同、稍強(qiáng)、強(qiáng)、明顯強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)。因此我們可以按照下表用1-1 11定性結(jié)果定雖結(jié)果Bi與Bj的影響相同Bi： Bj= 1:1Bi比Bj的影響稍強(qiáng)

4、Bi: Bj = 3:1Bi比Bj的影響強(qiáng)Bi: Bj = 5:1Bi比Bj的影響明顯強(qiáng)Bi: Bj = 7:1Bi比Bj的影響絕對(duì)強(qiáng)Bi: Bj = 9:1Bi與Bj的影響在上述兩個(gè)等級(jí)之間Bi： Bj = 2,468:1R與Bj的影響和上述情況相反Bi： Bj=9尺度來(lái)定雖化假定各因素重要性之間的相對(duì)關(guān)系為：B2比Bi的彤響強(qiáng)，B3比Bi的影響稍強(qiáng),的影響稍強(qiáng)，則兩兩相對(duì)比較的定雖結(jié)果如下：B2 比 B3Bi： 81:1; Bi： B21:5;B-i： B31：3B2: Bi 5:1; B2:B21:1; B2:B33:1U 3:1;B3： B2 1:3; B3： B3 1:1為了便數(shù)學(xué)處

5、理，我們通常把上面的結(jié)果寫(xiě)成如下矩陣形式，稱為成對(duì)比較矩陣。1B21/5Ba1/3B2513B331/312）綜合排序?yàn)榱诉M(jìn)行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重雖進(jìn)行類比。體：Al, A2,-,An,它們的重雖分別為 W1, W2t-,Wno若將它們兩兩相互比較重雖, 雖）可構(gòu)成一個(gè)nxn成對(duì)比較矩陣設(shè)有n件物其比值（相對(duì)重fl1.1 a1,2L訃W-1 /W-iWi / W2LWi / WnA 也82.2L82.nw2A A /W2 / w2LW2 /WnaLLLLLLLLmi恤2Lan ,nWn /WiWn / W2LWn /Wn經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)成對(duì)比較矩陣的各行之和恰好

6、與重雖向雖W =(Wl, W2,-,Wn) 丁 成止比.即9/7(1)之間也有同樣的關(guān)系存在。a2j根據(jù)類比性，我們猜想因素的重要性向雖與成對(duì)比較矩陣由此.我們可以得到因素的重要性向雖為W111/51/323/15W W25139*331/3113/3矛盾和原因同一個(gè)問(wèn)題，相似的方法，為什么(5)與(8)兩個(gè)結(jié)果不一致(盡管不影響排序)？現(xiàn)在為了使用方便.我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為1 (這個(gè)過(guò)程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向雖稱為權(quán)重向雖),這樣就 得到一個(gè)權(quán)重向雖*10.103W W20.606(5)30.291上式中元素的權(quán)重大小給出了

7、各因素重要性的綜合排序。對(duì)(2)式的進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)-1.1a1.2LM.nW11a2.1AUU 2.1憶2La2.n屹*2nnW(6)LLLLLLan.1嘰2LAn.n*n這說(shuō)明W還是成對(duì)比較矩陣A的特征向雖，對(duì)應(yīng)的特征值為n,理論上己嚴(yán)格地證明了n是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的辦法來(lái)得到重要性向雖。與(1)式對(duì)應(yīng)的 待征方程為Itl此可以解出其最大特征值為n3.038,對(duì)應(yīng)的特征向雖為:11/51/3*1513吃n W231/31*3-3(8)W =(0.105, 0.537, 0.2587)我們來(lái)分析一下其中的原因。對(duì)于由重雖比值構(gòu)成的成對(duì)比較矩陣（2）

8、不難證明它具有性質(zhì)1）唯一性ai,i = 1 : 2）互反性ai.j=1/aj.i； 3） 一致性ai.jj=ai.k,然而，重耍性是由人來(lái)判斷的，由 于人對(duì)復(fù)雜事物采用兩兩比較的方法獲得的重要性比值不可能做到完全一致，往往存在估計(jì)誤差，因此所得的成對(duì)比較矩陣只具有性質(zhì)1）和2）, 一般不具有性質(zhì)3）。比如說(shuō)對(duì)丁成對(duì)比較矩陣（1，就有fl2J 5, *2.3 ft3.13；-2.1吃3“3一致性的缺少是造成兩種類比方法結(jié)果不同的原因。利用最小二乘法可以證明：用求解映了不一致的程度。考慮到因素個(gè)數(shù)的影響.Saaty 將定義為一致性指標(biāo)。當(dāng)CI = O時(shí)，成對(duì)比較矩陣A矩陣完全一致,否則就存在不一

9、致:越大.不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍,Saaty又定義了一個(gè)一致性比率CR,當(dāng)應(yīng)用上面的結(jié)果.我們可以算出成對(duì)比較矩陣特征方程得到的權(quán)重向雖平均誤差較小。因此我們最好采用這個(gè)方法來(lái)求解權(quán)重向雖。致性檢驗(yàn)既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會(huì)不會(huì)影響綜合排序的結(jié)果？理論上已經(jīng)證 明：對(duì)于具有一致性的成對(duì)比較矩陣，最大特征值為n；反之如果一個(gè)成對(duì)比較矩陣的最大特征值為n,則一定具有一致性。估計(jì)誤差的存在破壞了一致性，必然導(dǎo)致特征向雖及特征值也有偏差。我們用n表示帶有偏差的最大特征值，則n與n之差的大小反(11)CI = 0.019, CR = 0.033因此其不一致

10、性可以被接受。問(wèn)題2某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地便用企業(yè)留成的利潤(rùn)?？晒┻x擇的方案有：I、發(fā)獎(jiǎng)金：II、擴(kuò)建食堂、托兒所；III、開(kāi)辦職工技校：IV、建圖書(shū)館：V、引進(jìn)新技術(shù)。在決策時(shí)需要考慮到調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況等三個(gè)方而。請(qǐng)你對(duì)這些方案的優(yōu)劣性進(jìn)排序，以便廠領(lǐng)導(dǎo)作決策。解答 劃分層次顯然這是一個(gè)多口標(biāo)的決策，問(wèn)題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉，情況比較復(fù)雜。要處理這類復(fù)雜的決策問(wèn)題，首先需要對(duì)問(wèn)題所涉及的因素進(jìn)行分析：哪些是要相互比較的：哪些是相互購(gòu)響的。把那些要相互比較的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個(gè)各因素類之間相互

11、聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。各因素類的層次級(jí)別由其與目標(biāo)的關(guān)系而定。在上述問(wèn)題中，因素可以分為三類：第一是口標(biāo)類，即合理地使用今年企業(yè)留利XX萬(wàn)元：第二是準(zhǔn)則類，這是衡雖口標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，如調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提髙企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平等等：第三是措施類，指實(shí)現(xiàn)口標(biāo)的方案、方法、手段等等。按口標(biāo)到措施口上而下地將各類因素之間的直接彤響關(guān)系分不同層次排列出來(lái)，可以構(gòu)成一目標(biāo):層個(gè)直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下圖所示:合理便用企業(yè)雷成誰(shuí)則層昂調(diào)動(dòng)職工國(guó)改諏工勞動(dòng)積極性物質(zhì)文化生活盡提咼職工文化水平層次單排序不同準(zhǔn)則對(duì)LI標(biāo)的彤響U經(jīng)在問(wèn)題下：1中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對(duì)各準(zhǔn)則的彤響如(J2)1 不同措施對(duì)調(diào)動(dòng)職

12、工勞動(dòng)生產(chǎn)枳極性影響的成對(duì)比較矩陣U CiC2c3C4c5Cii3547c2 i/3 i325C3 i/5i/3Ii/22C4i/4i/22i3c5i/7i/5i/2i/3i其權(quán)重向雖為：Wi( 0.491, 0.232, 0.092, 0.13& 0.046)丁2.不同措施對(duì)提高職工文化水平影響的成對(duì)比較矩陣022C3c4c5Ii/7i/3i/5C3753(C43i/5Ii/35i/33I其中措施I (發(fā)獎(jiǎng)金)對(duì)提高職工文化水平?jīng)]有什么彤響，在成對(duì)比較矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計(jì)算。其權(quán) 重向雖為：w2( 0 ,0.055,0.564,0.118,0.263)t3.不同措施對(duì)改善職工物質(zhì)文化生

13、活狀況影響的成對(duì) 比較矩陣B3Cic2C3c4CiII33c2II33c3i/3i/3IIC4i/3i/3II其權(quán)重向雖為：W3 (0.406,0.406,0.094,0.094, 0 )T總排序上述過(guò)程中求出的是同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中的某個(gè)因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這稱為 層次單排序。若模型由多層次構(gòu)成，計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序稱為總排序。這 一過(guò)程是由呆高層到最低層逐層進(jìn)行的。設(shè)上一層次A包含m個(gè)因素A,A2,Am,其總排序的權(quán)重值分別 為ai, a2,am：下一層次B包含k個(gè)因素B“ B2,Bk.它們對(duì)于A的層次單排序的權(quán)重值分別為bij, b2j,bk.

14、j(當(dāng)Bi與Aj無(wú)聯(lián)系時(shí)，bi.j=0)：此時(shí)B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以市上一層次總排序的權(quán)重值與木層次的層次單排 序的權(quán)重值復(fù)合而成，結(jié)果為：W.b jaji 1,2, k(15)111此.各個(gè)方案和對(duì)于I標(biāo)層的總排序可以用下表計(jì)算C層對(duì)B層的相對(duì)權(quán)值Bi0.105B20.637Ba0.258c層總排序Ci0.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.113C50.0460.26300 仃2寫(xiě)成矩陣形式為0.4910.0000.4060.1570.2320.0550.4060.1050.1460.0920.5640.0940.6370