平面向量基本定理

1、百度文郵-讓每個人平零地捉升口我平面向量基本定理教學目標1. 了解基底的含義，理解平而向量基本定理，會用基底表示平 而內任一向量.（重點）2. 掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義.（難點）3. 兩個向量的夾角與兩條直線所成的角.（易混點）基礎初探教材整理1平面向量基本定理閱讀教材P93至P94第六行以上內容，完成下列問題1. 定理：如果S，02是同一平面內的兩個不共線向量,那么對 于這一平面內的任壷向量有且只有一對實數(shù)九 心，使a= +血空.2. 基底：不共線的向量02叫做表示這一平而內所直向量的 一組基底.判斷（正確的打“，錯誤的打“X”）（1）一個平面內只有一對不共線的向量可作為表

2、示該平面內所有 向量的基底.（）（2）若引，是同一平而內兩個不共線向量，則Aiei+22e2（2p久2 為實數(shù)）可以表示該平而內所有向量.（）（3）若 aei+be2=ce 1 + deia, b, c, GR）,則 a=c, b=d.（）解：錯誤根據基底的概念可知，平面內不共線的向量都可 以作為該平面內向量的基底(2) 正確根據平面向量基本定理知對平面內任意向量都可以由 向量5,02線性表示(3) 錯誤.當們與02共線時,結論不一定成立.【答案】(l)x (2)V(3)X教材整理2兩向量的夾角與垂直閱讀教材P94第六行以下至例1內容,完成下列問題.1.夾角：己知兩個非零向量a和,作ffh=b

3、,則ZAOB =0叫做向量a與的夾角(如圖2-3-1所示).(1) 范圍：向量a與的夾角的范圍是0。WW180。.(2) 當&=0。時，a與b同向;當0=180時，a與b反向2.垂直：如果與的夾角是90 ,我們說a與垂直，記作a丄工微體驗如圖2-3-2,在ZXABC中，At,朋的夾角與動，朋的夾角的 關系為.圖2-3-2解：根據向量夾角定義可知向量恥，At夾角為ABAC ,而向量CA ,皿夾角為TTZBAC 故二者互補.【答案】互補小組合作型用基底表示向量卜例(1)己知AD是ABC的BC邊上的中線，若茲=a,花=,則 Ab=()B.蘇)D. (a+b)A. *a_b)C. *(a+b)(2)如

4、圖2-3-3,設點P, Q是線段AB的三等分點，若OA=a,並=b,則前=, O)=.(用a, 表示)圖2-3-34用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則 或平行四邊形法則解：(1)如圖所示，因為註二皿+ At = 2AT), 所以Ab =扣+ b)百度文庫讓每個人平等地捉升口我(2)前二麗 A& 二 + OA=|(0 OA) + OA=|(5X +,22西=胚 A&二評+鬲=(筋 oA)+ oa1【答案】(1)D (2)|a+如|a+|i平面向量基本定理的作用以及注意點:(1) 根據平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向 量.用基底表示向量，實質上主要是利用三角形法

5、則或平行四邊形法 則，進行向量的加減法運算(2) 要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知 向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關系，用方程的觀 點求出未知向量再練一題1.已知ABC中，D為BC的中點，E, F為的三等分點， 若兀&=a, A=b 用 o, 表示AT), AE, AF.圖2-3-4【解】Ab = A + Bb=A + Bt=a+ (b a)=如 + 如；AE = A + b = A& + *(b “)=|a + 如；AF = A + BF = A += a+ |(Z - a) =+ b.向量的夾角問題U!0 (1)(2016-韶關高一檢測)已知向量a, b,

6、 c滿足lal=l, b=2, c=a+b, c丄a,則a, 的夾角等于.(2)若 aHO, b工0,且a=b=ab9 求 a 與 a+b 的夾角. 可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識來解決 解：作貳=a , CA=b ,則c二a +方二前(如圖所示)，則a，夾角為180ZC因為a-l , 161=2 , ca ,所以ZC = 60 ,所以a丿的夾角為120.【答案】120(2)由向量運算的幾何意義知a + b , a 是以a、b為鄰邊的平 行四邊形兩條對角線6百度文郵-讓每個人平零地捉升口我如圖,01 = 01 = 0 I ,:.ABOA = 60.又a：Ot = a+b ,且在菱

7、形OACB中，對角線OC平分ZBOA , 與a+b的夾角是30.兩向量夾角的實質與求解方法：(1) 兩向量夾角的實質：從同一起點出發(fā)的兩個非零向量構成的 不大于平角的角，結合平面幾何知識加以解決.(2) 求解方法：利用平移的方法使兩個向量起點重合，作出兩個 向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出再練一題2已知a = b = 2,且a與的夾角為60 ,則a+b與a的夾 角是, ab與a的夾角是解：如圖所示，作鬲=a ,B = b ZAOB = 60 z 以 OA , OB 為鄰邊作口 04 CB, 貝！= + Oa + b , BA = OA B-a b , = OA = a.因為01 -b

8、 = 2 ,所以ZiOAB為正三角形，所以AO AB = 60 = A ABC ,即a 與a的夾角為60因為lai = I仞，所以平行四邊形OACB為菱形， 所以OC丄A3 ,所以ACOA = 9060 = 30 ,即a + 與a的夾角為30.【答案】3060探究共研型平面向量基本定理的綜合應用探究/在向量等式前=xA+yB中，若卄=1,則三點P、A、B具有什么樣的位置關系？【提示】 三點P、A、B在同一直線上.在向量等式前=xOA + y俞中，若x + y= ,則P , 3三點共線；若P ,A ,B三點共線, 則 x + y=l.探究2如圖2-3-5所示，有點O, A, D, B,以OA和O

9、B 為鄰邊作一平行四邊形ADBO,將此平行四邊形的各邊所在直線延 長，將平面分成9部分，對于平面上任一向量況，存在唯一有序實 數(shù)對(x,刃，使O，C=xOA+yB成立.對于點C的位置與實數(shù)x, y的取值情況需分幾種討論?【提示】需分12種情況.點C與點O重合，則x = y = 0.(2)點C與點A重合,則x=l ,y = 0.點C與D重合，則x = y=.(4) 點C與點B重合，則“0 ,)，= 1.(5) 點C在直線04上，貝IJxeR , y = 0.(6) 點C在直線AD上，則,)R.(7) 點C在直線上，則xGR,y=l.(8) 點 C 在直線 OBjt ,則 x = 0 ,)R.(9

10、) 點C在直線OD上，則x =(10) 點C在直線腦上，則x + y=l.(11) 點0在區(qū)域上，則xl ；點C在區(qū)域上，則 Owl ；點C在區(qū)域上，則xvO.(點C在區(qū)域上，則y0 ；點C在區(qū)域上，則 0l.卜例陰如圖2-3-6所示，在中，OA=af %=b,點M 是AB的靠近B的一個三等分點，點N是OA的靠近A的一個四等分 點.若OM與BN相交于點P,求前.圖2-3-6可利用前=f刃/及前=on +恥二ok + 兩種形式來表示 前，并都轉化為以a , b為基底的表達式根據任一向量基底表示的 唯一性求得st進而求得前.2解：O=OA+AM=OA+jA2 _2=OA +-鬲)二亍a + 申.9

11、百度文郵-讓每個人平零地捉升口我因為前與沏共線z_t故可設前=tdl二亍a +又麗與麗共線，可設；二儷，前二師+ 儷二泗+s(衍a 3Ok)二(1 s)a + sb t3 /、 f94( 1 r )二廠心帀，所以2解得333所以前=祁+申.1任意一向量基底表示的唯一性的理解:條件一平面內任一向量a和同一平面內兩個不共線向量ei , e2條件二a -Xe +“02 且 a+“202結論)入=2 ,屮 二 “22.任意_向量基底表示的唯一性的應用：平面向量基本定理指出了平面內任一向量都可以表示為同一平 面內兩個不共線向量ei ,2的線性組合Aiei +逑2在具體求Ai ,入時 有兩種方法：(1)

12、直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理(2) 利用待定系數(shù)法，即利用定理中兒，入的唯一性列方程組求 解.再練一題3如圖237所示，在ABC中，點M是初的中點，且嵌 =g厳?，與CM相交丁 E,設恥=a, AC=b,試用基底a, 表 示向量碇.圖2-3-712由N ,E , 三點共線，設存在實數(shù)加，滿足猛=m命 + (1 - inb + (1 - m)a.由C ,E ,M三點共線，設存在實數(shù)斤滿足：碇二斤初+(1砒花 =na + (1 - n)b.所以g血 + (1 - m)a = na + (1 - n)b ,由于a , 為基底,所以S3構建體系百度文庫讓每個人平等地捉升口我1. （

13、2016-黃石高一檢測）己知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中，是該平而內所有向量基底的是（）A. AS, ffcB. AT), BC15D. AB. DA解：由于皿”場不共線”所以是一組基底.【答案】D2.已知向量a=e 2e2f b = 2e+e其中創(chuàng)，02不共線，貝U a+與c=6e2ei的關系是（ ）B.共線A.不共線C.相等D.不確定解：a +b = 3e e:.c = 2(a + b), a+b與c共線【答案】B3.如圖2-3-8,在矩形ABCD中，若5&=5eH D&=3e2,則況A.亍(5w 1+3)圖2-3-8B.1一3)C. *(3025引)D. *(53引)解：ot =

14、+ A&)=g(就* + DC) - g(5ei + 3勸【答案】A4. (2016-福州市八縣一中高一聯(lián)考)己知A, B, Q三點共線，且4_對任一點C,有CbCA+XCB,則久=()2 1A. 亍B.C. -壬D. -|解：TA , B , D三點共線,存在實數(shù)t ,使AT) =,則劭CA = CA),即劭=CA(4I 1 -= Q /1+1 厲)二(1t)CA + tB彳艮卩久二牙t-k,【答案】c5. 己知6，是平面內兩個不共線的向量，a = 3g22，b=201+2，c = 7g42，試用向量“和方表示c.解：f不共線，二可設c = m +勸,則 xa + yb = x(3ei -

15、2ei) + y( - 2ei + ei)=(3x - 2y)e + ( 2x +)2 = 7 4W?.百度文庫讓每個人平等地捉升口我又Ts ,2不共線,學業(yè)分層測評學業(yè)達標一、選擇題1. （2016-衡水高一檢測）設1，02是平面內所有向量的一組基底, 則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A. 01+2 和 0|02B. 3ei4血和6侖牝2C. 1 + 22和 201+2D. 0和 6 +纟2解：B 中,.61 - 82 2(31 - 42)I.*.（6| - 8勺） （31 - 42）,31 - 4血和6 -込不能作為基底【答案】B2. （2016-合肥高一檢測妝口圖239,向量ab等

16、于（）圖2-3-9A. -4012B. 2引一42C. S 3血D. 3ei02解：不妨令a-A ,貝!Jab = CA 前二麗,由平行四邊形法則可知BA = e - 3e?.【答案】C3.(2016-大連高一檢測)如圖2-3-10,己知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G,若兀&=a, Ab=b,用a、表示A&=()圖 2-3-10解：易知, c&=|c.設Cb = ACA ,則由平行四邊形法則PTC& = z(C + cb) = 2/1 cfe19百度文郵-讓每個人平零地捉升口我+ 2A叭由于E, G , F三點共線，則 2/1 + 22 = 1 ,即2 =扌，

17、從而= CA ,f 3 f 3 從而花=才 +方）.【答案】D4.若D點在三角形ABC的邊BC上，且劭=4厲=則3卄s的值為（）解：血詁筋二曲+顯,44【答案】c5. 如要6，02是平面a內所有向量的一組基底，那么下列命題正確的是（）A. 若實數(shù)久,久2,使久1引+滋2=0,則久1=久2 = 0B. 空間任一向量a可以表示為=小1+加2,其中小，久2GRC. 對實數(shù)2|,久2，久冏+加02不一定在平面Q內D. 對平面a中的任一向量Q,使a=Me+）e2的實數(shù)久i，人2 有無數(shù)對解：選項B錯誤，這樣的a只能與 , 在同一平面內，不能是 空間任一向量；選項C錯誤，在平面a內任一向量者8可表示為21

18、 +滋2的形式，古攵小1 +屜2 定在平面a內；選項D錯誤，這樣的久1 , 入是唯一的，而不是有無數(shù)對【答案】A二、填空題6. 已知a與是兩個不共線的向量，且向量a+）J）與一（方一3a） 共線，則2=.解：由題意可以設a +肪=兒（方+ 3a） = 32皿-kb ,因為a與方不共線，fl=32i , |入詁所以有 ,解得 |久= 21 ,二.【答案】-扌7設S，勺是平面內一組基向量，且a=ei+le2y b=ei+e2, 則向量ej+e2可以表示為另一組基向量a,方的線性組合，即刃+21百度文郵-讓每個人平零地捉升口我解:因為a = ei + 2e2f b =勺+ 02，顯然a與方不共線，

19、+ B a+ b = 3e2 fa+b所以02二丁代入f曇a+b 12ei-eib= q b-a耳2 1【答案】刼孑三、解答題8.如圖2-3-11,平面內有三個向量鬲，筋，Ot,其中鬲與筋 的夾角為120。，鬲與況的夾角為30 ,且I前1 = 1亦1=1, 1況1 = 2羽，若況=2頁+“前(2, “WR),求久+“的值.【導學號00680047圖2311解：如圖，以OA ,OB所在射線為鄰邊,OC為對角線作平行四邊形ODCE , 則況二 Ob + O ,在直角ZiOCD 中，因為 1(5& = 2萌，ZCO = 30 , AO CD - 90 ,所以 101)1=4 ,cb = 2 , Uidb = 4OA f 徒=2 亦，即 2=4 , “=2 ,所以久+“ = 6.9.(2016-馬鞍山二中期末)如圖2-3-12所示，BCD中，E, F 分別是BC, DC的中點，BF與DE交于點G,設朋=a, Ab=b.圖 2-3-1225用a, b表不DE；(2)試用向量方法證明：A、G、C三點共線.解:(1)龐 二亦 AT) = Afe + B 莊)a + b - b=a - b(2)證明：連接AC、BD交于O ,CO = CA ,:E , F分別是BC . DC的中點，:.G是?的重心，.g& = |c5 = |x(辰二捉,又C為公共點，.A , G