偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型2.1 常微分方程的解(復(fù)習(xí))一. 二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式12121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xkyxy xyxy xyx 定定義義：設(shè)設(shè)為為定定義義在在內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，如如果果存存在在非非零零常常數(shù)數(shù) , ,使使得得, ,則則稱稱線線性性相相關(guān)關(guān)，否否則則稱稱線線性性無無關(guān)關(guān)12( ),( )0y xyxypyqy定定理理 設(shè)設(shè)是是方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)線線 性性無無關(guān)關(guān)的的解解，則則12,.CC是是方方程程的的通通解解，其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)第1頁/共

2、28頁二. 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根： (1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：第2頁/共28頁齊次方程的通解為：特解為：(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程的通解為特征根為：特解為：(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)第3頁/共28頁小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解02 qprr,2422, 1qppr 特征根：齊次方程：特征方程：利用了歐拉公式第4頁/共28頁例: 求下列方程的通解1430( ) yyy (2) 2 220yyy (3) 230yyy 解 (1)特征方程為0342 rr所以方程的通解為 為任意常數(shù)為任意常數(shù)21231 C,CeCeCyxx

3、 1, 321rr解得第5頁/共28頁 為任意常數(shù)為任意常數(shù)21221 C,CexCCyx 所以方程的通解為221 rr解得 (2)特征方程為02222rr所以方程的通解為 (3)特征方程為0322 rr解得ir212, 1 為任意常數(shù)為任意常數(shù)2121, 2sin2cosCCxCxCeyx 第6頁/共28頁解 特征方程為0542 即0)5)(1(特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5, 121 512xxyC eC e 所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得5125xxyC eC e 例:求 滿足初始條件 450yyy 的特解.(0)1y (0)2y 將 、 代入以上二式,得1)0(y2)0( y第7頁

4、/共28頁1212125CCCC 解此方程組，得1211,22CC所以所求特解為51122xxyee 第8頁/共28頁)(xfqyypy (2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：, 0 qyypy (3)通解結(jié)構(gòu):*( )( )( ),y xY xyx 三. 二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個(gè)特解，如果是方程的一個(gè)特解，是方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解為為(1)非齊次線性方程通式：第9頁/共28頁2. 二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別111222122xxxyyyxya ua ua ub ub ucu

5、f fcbbaaa,21221211其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：1112222xxxyyya ua ua u21211220 =0 0 aa a 3.判別式及分類：雙曲型拋物型橢圓型第10頁/共28頁22222uuaxtx22222uuauxt222uuaxuxt222110uu 判斷下列方程的類型思考：第11頁/共28頁3. 方程簡化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變量)111222122xxxyyyxya ua ua ubub ucuf fcbbaaa,21221211其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。 n個(gè)自變量：2111a0

6、nnnijiijiijiuubcufx xx 其中 fcbaiij,是自變量 nxxx,21的函數(shù)第12頁/共28頁2. 變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：(2)一般式轉(zhuǎn)為：系數(shù)為：變量替換是研究偏微分方程的有效手段，適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡化方程、易求解。第13頁/共28頁注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換：雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)(x0, y0)不等于零，即：則：在點(diǎn)(x0, y0)附近變換是可逆的。第14頁/共28頁3. 方程簡化4. 求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解 ，則：再求另一個(gè)特解 ，則A22= 0偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程第15頁/共28頁5. 特征方程與特征曲線1.特征

7、方程：2.解：3.特征曲線：第16頁/共28頁例2.1.1 判斷偏微分方程類型并化簡：2360 xxxyyyyuuuu111222113a, a, a 解：123, yxCyxC102uu2()230dydydxdx特征方程3, 1dydydxdx 特征方程的解：特征線：3 , yxyx令：212112240aa a 雙曲型方程第17頁/共28頁例2.1.3 設(shè)常數(shù)A,B,C滿足240BAC20AmBmCm1、m2是如下方程的兩個(gè)根12()()uf m xyg m xy的通解為：0 xxxyyyAuBuCu 證明二階線性偏微分方程12, m xym xy0u 證明：設(shè)21(4)0ACBuA則：

8、第18頁/共28頁4 三類方程的簡化形式當(dāng) 02211212aaa時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線1),(cyx2),(cyx取 ),(yx),(yx則02211 AA方程變?yōu)槿粼僮?,則上述方程變?yōu)椋?1.雙曲方程型方程：第19頁/共28頁當(dāng) 02211212aaa時(shí)，只有一個(gè)解 它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線， cyx),(。取與 ),(yx函數(shù)無關(guān)的 ),(yx作為另一個(gè)新的變量則有： 2.拋物型方程：第20頁/共28頁當(dāng) 02211212aaa時(shí)，給出一族復(fù)特征線),(yx),(yx在該變換下： 0, 02211AA且方程化為：令 ii,則有：3.橢圓型方程：第21頁/共28頁小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型

9、式：第22頁/共28頁例題1：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：解：該方程的0)(222yxxy故該方程是拋物型的。特征方程：0)(2)(222ydxdyxydxdyxdyydxx從而得到方程的一族特征線為：dydxyxlnlnyCxCxy/自變量代換yxy;(由于和必須函數(shù)無關(guān),所以宜取最簡單的函數(shù)形式,即=x 或=y)原方程化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：0u特征的解：第23頁/共28頁例2. 判斷偏微分方程類型并化簡： 23260 xxxyyyxyuuuuu 解： 111a112a322a故 042211212aaa故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程032)(2dxdydxdy故有 13Cxy或 2Cxy取新變量 yx 3yx 則3dxdy1dxdy或 解為第24頁/共28頁例2(續(xù)) 3uuux， uuuy222222296uuuux 22222222uuuuy 代入原方程得：2161240uuu 即：23144uuu 第25頁/共28頁例3. 判斷偏微分方程的類型并化簡：22cos(3sin)0 xxxyyyyuxux uyu21112221cos3sina, ax, a(x) 解：12sin2,